= 0
a = 5(2a -5)
3(x + 2)(x – 2)=(x – 4) +8x
6
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5. Halle el conjunto solución de las siguientes ecuaciones cuadráticas, utilice la
fórmula general en caso de que las soluciones sean decimales.
3x(2x +3)= 2x+3
(x +5)(2x -1)= x(x+9)
= 2x -3
(x -1)2
6×2 + a2 = 5ax
9
4
=
(2x -1)2
2x(x -2)+ 2 = 5-3x
)
= 2(7 – x2
(2x -3)2
2
(1- x)(2x+3)-1= 2
(x – 4)2 + 2(x – 4)+1= 0
t 2 -5t + 6 = 0
x2 -9 = 0
g 2 -11g +30 = 0
49a 2 -1= 0
2
t(t +3)=10
x(x +3)= 5x +3
3(3x -2)=(x + 4)(x -4)
9x +1= 3(x2 -5)-(x -3)(x + 2)
(2x -3)2 -(x + 5)2= -23
2 2
3x(x -2)-(x -6)= 23(x -3)
7(x -3)-5(x2 -1)= x2 -5(x + 2)
(x -5)2 -(x -6)2 = (2x -3)2 -118
(5x – 2)2 -(3x -1)2 – x2 -60 = 0
(5x – 4)2 -(3x + 5)(2x -1)= 20x(x – 2)+ 27
x2 =19x -88
(x -1)2 +11x +199 = 3×2 -(x – 2)2
(x -1)(x+ 2)-(2x -3)(x +4)- x+14 = 0
(x -2)(x+ 2)-7(x -1)= 21
5x(x -1)- 2(2×2 -7x)= -8
= -80
(x – 2)2 -(2x +3)2
x(x-1)-5(x -2)= 2
(x + 2)2 – 2x – 5 = 3
3 3
3×2 = 48
5×2 -9 = 46
7×2 +14 = 0
(2x -3)(2x +3)-135 = 0
2
(2x-1)(x +2)-(x +4)(x-1)+5 = 0
–
= 2
2x +11x +12
2h -7h + 6
x -1
7
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6. Halle el conjunto solución y el conjunto de restricciones de las siguientes ecuaciones
fraccionarias. Recordar excluir del conjunto solución el conjunto de restricciones.
=1
–
1
x + 2
5
x
= -1
15 11x -5
x x2
= 3
+
5x -1
x +1
8x
3x +5
1
6
=
–
1
x -1
1
x – 2
=
1-
x – 2
10
2x -3
x +5
10(5x +3)
x2
= 5-
x -13
x
5
2
=
–
x – 2
x
x
x – 2
20x
3
=
1-3x
4
–
4×2
x -1
7
6
= 0
–
–
2x
2x -1
3x -1
x
=
7x – 4
x + 2
5x -8
x -1
= 0
–
5x -1
4x + 7
x +3
2x -1
1
6
=
–
1
x +1
1
4- x
1
24
=
–
x + 2
x +3
x + 4
x +5
29
8
5
2
=
–
6
x +1
=
+
2x +9
x +3
x +1
x -1
x -1
x +1
=
–
1
x -1
1
x – 2
3
x + 2
74
x
+ x =
x + 2
x
3x +15
4
+ x =
x
x – 2
– 2 =
x +3
3
x -1
x +1
=
2x -1
6x +5
4x -1
2x +3
9x +14
12x
= 5-
3x + 2
4
=
–
10
(a -3)(a -1)
3
a -1
4
a -3
=
2
t +1
11
6t +1
–
6
a -7a +12
2
a -3
3
a – 4
2
-6
=
+
6
2x +3
4
x + 4
6
2
=
–
3
2h -3
2
h -2
=
–
6
3a -13
2
2a -5
3
a +3
=
+
12t +6
2t 2 -t -1
4
t -1
5
2t +1
?18x + 6y = -18
+
?x + y y
?9h -9b + 21= -14h +8b – 23
?-13x -5b =14
?-5h + 2b = -12
+
?h +b 2h -3b
+
=
?g g -3b 3
?2h + 20b + 6 = -16h -7b + 24
+
?a +3b a
?6g + 4b = 6
?21t +11b +18 = 6t + 20b +36
?2t -3b = -16
= 2
? a – 2b +1
?2a -5b + 2
+
= –
?a + 2b + 3a + 2b = 6
?-10h +9b = -15
?-17h -18b -6 = -17h -14b +50
+
=
?2g + 2b – 3g + 2b = 0
?-7h +11b = -4
?18a +8b = 5
?-15g -12b – 4 = -17g -5b -13
? ? 2 +
=
?
?2t +b – 4t +3b = – 2
= 2
?2h +3b -1
? 2h -b + 2
8
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7. Resuelva los siguiente sistemas de ecuaciones, puede utilizar cualquier método de
resolución.
?-10x – 2y = 30
?
?16h -11b +17 =11h + 6b +17
?
?-11x -14b = -37
?
?-3h + 2b = -11
?
?5h -6b – 20 = 3h -8b – 26
?
?13g -6b = 5
?
?- 2t + 2b +16 = 8t -5b + 22
?
?-13t + 2b = -21
?
?8h -5b = -13
?
?14h -7b -12 = -7h -16b +30
?
?11h -8b = 4
?
?10a + 2b = 21
?
?6g -19b -15 = -6g +14b – 24
?
= 4
=
5
4
?
? 3 2
??3x – y = 2
?
? 8 4
??2h -b = 7
?
?4 6 4
??g +b = 4
= –
1
12
?
? 4 6
??a + 4b = 2
?
?
?
?
??a – 2b =1
?2a – 2b a -b 4
? 2 3 3
?
? 4 3
?2g +b g +b 3
? 4 6 4
?
? 3 2
?t +b 3t + 2b 1
3 6
? 3 2 3
?
??h + 2b =11
9
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8. Resuelva cada uno de los siguientes problemas que involucran en su solución la
ecuación de segundo grado con una incógnita.
1. En un rectángulo, el perímetro
mide 40cm y el área es de 64
cm2. ¿Cuáles son las
dimensiones del rectángulo?
2. La diferencia de los cuadrados
de dos números consecutivos es
-17. Hallar dichos números.
3. Halle dos números cuyo
producto sea -6 y su suma sea 4.
4. El producto de dos números es
408 y el mayor de ellos es 3
unidades mayor que seis veces
el menor. ¿Cuáles son los
números?
5. Halle una ecuación cuadrática
que tenga por soluciones el
opuesto aditivo y el inverso
multiplicativo de 2.
6. Una sala de sesiones tiene 13m
de ancho y 16m de largo, y
quieren alfombrarla, excepto un
borde de ancho uniforme. ¿Qué
dimensiones deberá tener la
alfombra si su área es de 108m2
?
7. El largo de un rectángulo es el
doble que el ancho x. Si el
ancho y el largo del rectángulo
se duplicaran, el área sería de
400m2. Calcular las
dimensiones originales del
rectángulo.
8. El producto de dos números
enteros consecutivos es 156.
¿Cuáles son esos números?
9. La suma de los cuadrados de tres
números es 549. Si el segundo
es dos tercios del primero y el
tercero es la mitad del primero,
entonces ¿Cuáles son los
números?
10. Si el área de un terreno
rectangular mide 896m2y el
largo excede al ancho en 4m,
entonces ¿Cuál es la longitud en
metros del largo del rectángulo?
11. El área de un rectángulo es 15
m2. Si el largo es igual a 4
aumentado en el triple del
ancho, entonces ¿Cuál es la
longitud del largo del
rectángulo?
12. La suma de dos números es 23 y
su producto es 102 ¿Cuáles son
esos números?
13. Si el área de un rombo es 6,4m2
y la longitud de una diagonal es
un quinto del cuádruplo de la
longitud de la otra diagonal,
entonces ¿Cuál es la medida de
la diagonal de mayor longitud?
14. El área de un rectángulo es 225
m2 y su perímetro es 95m.
¿Cuánto mide el ancho del
rectángulo?
15. Un terreno rectangular de 5m
por 21m es rodeado por un
camino de ancho uniforme.
Determinar el ancho del camino
si el área del camino es 120m2.
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
10
16. En un triángulo rectángulo la
hipotenusa mide 2cm más que
un cateto y 16cm más que el
otro cateto. ¿Cuál es el área de
ese triángulo?
17. La suma de un número y su
cuadrado es 42. ¿Cuál es ese
número?
18. Las áreas de dos cuadrados
difieren en 57cm2. Si el lado de
uno mide 3cm más que el lado
del otro. ¿Cuáles son las
dimensiones de esos cuadrados?
19. La diagonal de un rectángulo
mide 3m más que su longitud y
6m más que su anchura ¿Cuáles
son las dimensiones de ese
rectángulo?
20. Si la suma de dos números es 42
y su producto es 432. Determine
los dos números.
21. El área de un rectángulo es 24.
Si el largo es igual a 2
aumentado en el doble del
ancho, determine la longitud del
largo del rectángulo.
22. La suma de dos números es 16 y
la diferencia de sus cuadrados es
32. Hallar los números.
23. En un triángulo la base es 3
veces más grande que la altura y
el área del triángulo es 37.5 cm2
. Determine la longitud de la
base y la altura del triángulo.
24. La diferencia de dos números es
14 y la cuarta parte de su suma
es 13. Hallar los números.
25. La suma de dos números es
1429 y su diferencia es 101.
Hallar los números.
26. La diferencia de dos números es
7 y su suma multiplicada por el
número menor equivale a 184.
Hallar los números.
27. La longitud de una sala excede a
su ancho en 4m. Si cada
dimensión se aumenta en 4m el
área será doble. Hallar las
dimensiones de la sala.
28. La suma de las edades de A y B
es 23 años y su productos es
102. Hallar ambas edades.
29. Hallar tres números
consecutivos tales que el
cociente del mayor entre el
menor equivalga a los
3
10
del
número intermedio.
30. El producto de dos números es
180 y su cociente es
5
4
. Hallar
los números.
31. La edad de A hace 6 años era la
raíz cuadrada de la edad que
tendrá dentro de 6 años. Hallar
la edad actual.
32. El cociente de dividir 84 entre
cierto número excede en 5 a éste
número. Hallar el número.
33. Miguel es 6 años mayor que su
hermana, y la suma de sus
edades es 68. Hallar la edad de
la hermana de Miguel.
34. Dos lados de un triángulo son
iguales, y el tercero es 5
unidades menor que la suma de
los dos lados iguales. Hallar la
longitud de los lados si se sabe
que el perímetro del triángulo es
47.
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10
FUNCIONES
y
–1
–2
1
•
3
• –4
x
l1
l2
2
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1. Indique si cada una de las relaciones propuestas definen una función o no. En caso
afirmativo, determine el domino y el rango.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
{(2,4),(6,8),(10,12),(6,14),(2,16)}
{(-5,4),(0,6),(5,2),(10,6)}
{(a,1),(a,2),(y,1),(y,2),(z,1)}
{(2,0),(2,1),(2,2),(2,7),(2,10)}
{(1,1),(1,2),(2,2),(3,1)}
{(-1,1),(-2,2),(-3,3),(-4,4),(-5,5)}
{(3,2),(2,-1),(1,2)}
{(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,0)}
{(3,1),(4,2),(5,3)}
{(p,q): p =1,q = 2}
{(1,-1),(2,-1),(3,-1),(4,-1)}
{(g,b):0 = g =1,b = g}
{(-1,14),(-8,2),(-3,32),(-9,4),(-1,5)}
{(2,54),(6,8),(11,2),(67,14),(2,16)}
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
{(m,n):m =1,n =1}
{(a,1),(a,2),(a,1),(a,2),(a,1)}
{(3,1),(4,2),(5,3),(0,0),(7,8)}
{(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
{(g,b):0 = g =8,b = 7}
{(0,0),(0,0),(0,0),(0,0),(0,1)}
{(-2,-1),(-1,-1),(0,0),(1,1),(2,1)}
{(-3,0),(0,3),(3,0)}
{(-4,5),(-2,0),(0,4),(-2,3),(-4,0)}
{(1,1),(1,4),(1,-3),(0,0),(2,0)}
{(1,1),(2,2),(3,3),(-1,-1)}
{(0,0),(1,-1),(-1,1),(2,-2),(3,-3)}
{(2,1),(0,3),(3,0),(-1,4),(9,-6)}
{(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),(4,16)}
2. Escribir una fórmula que defina cada una de las funciones siguientes
1. El perímetro, P , de un cuadrado es cuatro veces el lado, l.
2. El volumen, V , de un cubo es la tercera potencia de su arista, a.
3. El área de un cuadrado en función de: su diagonal, su lado, su perímetro.
4. El área de un círculo en función de su radio.
5. La altura de un triángulo cuya área es 2m2, como función de la base.
11
t + 2t -1
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3. Para cada una de las siguientes funciones calcule las imágenes y preimágenes
1- x
2
indicadas.
1. Si g es una función definida por g(x)=
entonces calcule la preimágen de -3
4-3x
2
7 -3x
5
2. Para la función dada por f(x)=
3. Para la función dada por f(x)=
calcule la preimágen de -6
calcule la preimágen de -2
2- x
3
4. Si f(x)=
, entonces calcule f(-1)
1
x
5. Para la función dada por f(x)=1-
1
2
calcule la imagen de –
6. Para la función dada por f(x)= 2x – x2 calcule la imagen de -3
7. Para la función dada por f(x)= -x2 – 2x calcule la imagen de -3
8. Para la función dada por f(x)= -x2 – x calcule la imagen de -2
2- x
2
9. Para la función dada por f(x)=1-
calcule la imagen de -1
10. Calcule la imagen de
1
4
en la función f(x)= 21-x
11. Si g es una función definida por g(x)= 3 2×3 +1calcule la imagen de -2
3x
1-3x
12. Para la función dada por f(x)=
1
3
calcule la imagen de –
13. Para la función dada por f(x)= 2x – x2 calcule la imagen de -3
2x -1
3
14. Para la función dada por f(x)=
calcule la preimágen de
1
2
15. Sea f una función dada por f(x)= 5x -3 calcule la preimágen de
2
2
4t -1
16. Para la función dada por f(x)=
calcule la imagen de
1
4
17. Para la función dada por f(x)= 2x – x2 calcule la imagen de -16
12
x + 2x -3
m(x)=
l(x)=
r(x)=
f(x)=
–
x -3 x -1
j(x)=
–
h(x)=
+ x -1
t(x)=
2x -11x +12
f(x)=
w(x)=
+
+
g(x)=
h(x)=
x2 -1
x + a
13
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4. Para cada una de las siguientes funciones determine el máximo dominio real para el cual
se encuentran definidas.
6+ x
3- x
4x
2x -1
3x +1
x2 – 4
f(x)=
g(x)=
h(x)=
f(x)=
h(x)=
x2 -1
x2 + x
x2 + 2x +1
x2 – x
2
x – 2
g(x)=
3x -1
2x(x -3)
x -3
(3- x)(2+ x)
1
2- x
1 x +1
2
3 x
2 2x +1
x2 + 2x +1
x2 – x
, a constante
f(x)= 3 3- x
m(x)= 3- x
x -1
2 x
3×2-1
4- x2
3×2 – 4x +1
7x – 2-3×2
g(x)=
k(x)=
s(x)=
27
11
67×2
1
x -1
h(x)=
f(x)=
f(x)= 2+ x + 2x -6
3x -1
2- x
4+ x
2
x
x
1 4 1
x x -1 x + 2
g(x)= x + 2 + 4- x
g(a)= (a -1)2
x
x -1
x + 2
1- x
x +3
1- x
y(x)=
g(x)=
f(x)= 3
14
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5. Hallar la ecuación y = mx +b y la intersección con los ejes coordenados de la recta que pasa
por los puntos dados. Además determine si la recta resultante es creciente o decreciente.
(2,-3) y (-1,1)
(2,-4) y (1,1)
(2,0) y (-4,3)
(2,0) y (0,-4)
(-2,3) y (0,-5)
(0,-2) y (3,0)
(-3,-5) y (5,-5)
(5,-34) y (11,-88)
(-3,-7) y (2,13)
(-4,15) y (-3,9)
(-3,5) y (-9,35)
(-11,72) y (5,-40)
(-3,32) y (-9,80)
(-9,83) y (-8,75)
(9,91) y (7,73)
(-5,-12) y (-10,-22)
(3,14) y (5,26)
(6,-18) y (5,-14)
(9,-31) y (2,-3)
(-2,-13) y (9,20)
(-3,38) y (-6,68)
(-10,108) y (-2,28)
(-3,-33) y (3,27)
(-6,51) y (2,-29)
(7,42) y (-3,-28)
(11,92) y (-4,-43)
6. Escriba las ecuaciones de las rectas dadas en la forma canónica ( y = mx +b)
3x + 7y = 9
– 4x +5y = 3
7x -11y = -7
4y -9x = -7
-5x + 7y = -2
-5x + 4y = 9
-3x +11y = -2
11x + 5y = 8
8x -10y = -6
– 6x + 5y = 2
– 2x + 2y = 9
6x – 4y = -2
10x – 4y = -2
5x + 4y = 6
2x +3y = -8
3x + y = -12
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7. Determine la ecuación de la recta que satisface las condiciones descritas a continuación.
1. Pasa a través de (-6,-7), con pendiente -5
2. Pasa a través de (-3,-1), con pendiente 9
3. Pasa a través de (-8,10), con pendiente 2
4. Pasa a través de (5,-6), con pendiente 2
5. Pasa a través de (3,-11), con pendiente -3
6. Pasa a través de (5,6), con pendiente 10
7. Pasa a través de (-7,8), con pendiente 5
8. Pasa a través de (-2,5), con pendiente 6
9. Pasa a través de (-2,11), con pendiente -3
10. Pasa a través de (-5,3), con pendiente -3
11. Pasa a través de (-5,6), con pendiente -6
12. Pasa a través de (-7,-7), con pendiente 2
13. Pasa a través de (1,2) y tiene la misma pendiente que la recta que pasa por (4,-1) y(3,6)
14. Pasa a través de (3,0) y tiene la misma pendiente que la recta 3x + 2y = 5
?1 ?
? 2 ?
16. Pasa por (8,-2) y corta al eje y en 8.
17. La intersección con el eje y es 3, y tiene la misma pendiente que la recta 2x +3y = -8
1
5
x – 4
18. La intersección con el eje y es -4, y tiene la misma pendiente que la recta y =
19. Corta al eje x en 4 y al eje y en -3
20. El grado de inclinación de la recta es
1
2
y corta al eje x en 3
21. Determinar a de tal manera que 3x + ay = 9 tenga la misma pendiente que la recta que
pasa por (7,-2) y (5,-1)
22. Hallar k tal que la recta que pasa por (4,k) y (-1,3) tenga la misma intersección con el
eje y , que la recta x +3y = 6
23. Si (-1,3),(4,2),(-7,5) son los tres vértices consecutivos de un paralelogramo, halle el
cuarto vértice.
15
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16
8. Obtenga la ecuación de la recta que satisfaga las condiciones dadas.
1. Pasa por (7,-3) y es perpendicular a la recta 2x -5y = 8
2. Pasa por (1,3) y es perpendicular a la recta y = -3x + 2
3. Pasa por (2,-3) y es perpendicular a la recta x -3y +1= 0
4. Pasa por (-6,3) y es perpendicular a la recta 5x -10y = 3
5. Pasa por (1,3) y es paralela a la recta y = -3x + 2
6. Pasa por (-2,4) y es paralela a la recta 3x + y – 2 = 0
7. Pasa por (4,5) y es paralela a la recta 7x + 6y = -3
8. Pasa por (-3,2) y es paralela a la recta 3x +5y = 2
9. Pasa por (-5,4) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (1,1) y (3,7)
10. Pasa por (1,4) y es paralela a la recta – 4x + 6y = 2
11. Pasa por (-3,2) y es perpendicular a la recta 5x -3y + 21 = 0
12. Hallar la ecuación de una recta paralela a 2x +3y = 5
13. Hallar el grado de inclinación de una recta paralela a 2x -3y =1
14. Hallar la ecuación de una recta perpendicular a y = -2x – 2
15. Hallar la ecuación de una recta perpendicular a 4x -5y -6 = 0
16. Hallar una recta perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-3,2) y (-4,0)
17. Pasa por (-3,0) y es perpendicular a la recta x – 2y = 6
18. Hallar el punto de intersección de las rectas 2y = 3x – 4; 3y +1= 2x
19. Hallar el punto de intersección de las rectas – x – y = -3; x + y = 4
20. Determine la intersección de las rectas 10x – 2y – 2 = 0 y y = 5+ 4x
21. Dos rectas perpendiculares se intersecan en el punto (-1,2). Si la ecuación de
una de las rectas es 2y – x = 5, entonces hallar la ecuación de la otra recta.
22. Hallar el valor de k para que la recta kx -3y =10 sea paralela a la recta 2x +3y = 6
23. Si 5x + 2ky -3 = 0 y 4k 2x +3y +1= 0 son las ecuaciones que definen dos rectas
perpendiculares. Hallar el valor de k
24. Si la recta definida por (5-a)x +(3+ 2a)y = 2a -1 es perpendicular a la recta
definida por y = -x +12 . Hallar el valor de a
25. Hallar el valor de k para que la recta 5x +3y = 4 sea paralela a la recta 7x + ky =1
f(x)=
f(x)= 7(x – 7) -3
f(x)= 2? +1?
f(x)= -9(x +8)
f(x)= 3(x -8) + 4
17
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9. Determine la inversa de cada una de las funciones (bien definidas) dadas.
Suponga que tales funciones son biyectivas.
f(x)= x3
f(x)= 2-3x
f(x)= 2x -6
5
x -1
2x +11
f(x)= -23
f(x)= 8×2 +7x +3
1
x – 2
1
x
f(x)=
f(x)=
f(x)= x +1
f(x)= -33 6x – 6
3
-11
x + 2
2
f(x)= 3
-10x + 7
x -1
f(x)=
3
3
2- x
3
f(x)=
-3
+3
x
2
x
4
f(x)=
f(x)=
1
2
f(x)= 3x –
f(x)= 3-2x
3+ x
4
f(x)=
1
3
f(x)= 2x –
2- x
5
f(x)=
-1
x
5
f(x)=
1- x
2
f(x)=
? x ?
? 3 ?
1- 2x
3
f(x)=
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10. Realice el estudio completo de cada una de las siguientes funciones
f : IR ? IR. Debe calcular discriminante, concavidad, intersección con los ejes,
vértice, eje de simetría, intervalos de crecimiento, decrecimiento y ámbito. Además
debe trazar un bosquejo de la grafica correspondiente.
f(x)= x – x2 +6
f(x)= x2 – 4x +3
f(x)= -x2 + 6x -8
f(x)= -x2 + x -6
f(x)= -5×2 +3x
f(x)= 2×2 -3x + 4
f(x)= -3×2 – 2x -1
f(x)= x2 – 4x + 4
f(x)= 3×2 -5x – 2
f(x)= 3×2 -5x +1
f(x)= x2 +1
f(x)= x – x2 -12
f(x)= 3-5x + 2×2
x2 – 2x
2
f(x)=
f(x)= 2×2 + x -1
f(x)= x2 -3
f(x)= -x2 – 2
f(x)= x2 – 2x -3
f(x)= -5×2 +3x +1
f(x)= x2 – x -2
f(x)= 3x – x2 +10
f(x)= 3-5x + 2×2
f(x)= -5×2 +3x – 2
2
f(x)=(x – 4)
f(x)= 4- x2
f(x)=1- 2×2 + x
f(x)= x(x-2)
f(x)= 6- x – 2×2
11. Encuentre el valor numérico de cada uno de los siguientes parámetros de manera
que cumplan las condiciones dadas a continuación.
•
•
•
•
Hallar el valor de m para que f(x)=(2- m)x2 +3x +3 sea una cóncava
hacia arriba
Hallar el valor de a para que f(x)=(a – 2)x2 +3x + 6 sea una cóncava hacia
abajo.
Sea f(x)= 2×2 + 4mx – 2. Hallar el valor de msabiendo que la coordenada
en xdel vértice es 16.
Sea f(x)= 2×2 + 4mx – 2. Hallar el valor de f(2) en función de m
18
R(x)= 6000+ 60(40 – x)-(40 – x) , donde x es el número de asientos ocupados.
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12. Resuelva cada uno de los siguientes problemas haciendo uso de la función cuadrática.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Sea f una función dada por f(x)= 20t – 4,9t 2 +50 que describe la trayectoria a
los “t” segundos de una piedra lanzada hacia arriba desde el techo de un edificio.
¿Cuál es aproximadamente el tiempo en segundo necesario para que la piedra
alcance su máxima altura con respecto al suelo? ¿Cuál es aproximadamente la
máxima altura en metros, con respecto al suelo, que alcanza la piedra?
Un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba, alcanza una altura h en metros
dada por h(x)= -4,9t 2 +10t , donde t es el tiempo en segundos que tarda en
alcanzar esa altura. ¿Cuál es aproximadamente la máxima altura que puede
alcanzar ese objeto?
Un fabricante de ropa ha encontrado que cuando el precio por unidad es p
colones, el ingreso R en colones está dado por R(p)= -4p2 + 4000p . ¿Cuál es
el precio unitario en colones que se debe establecer para maximizar el ingreso?
Determine las dimensiones del corral rectangular de mayor área que puede
construirse con 1.5km de malla.
Dividir el número 120 en dos partes de modo que el producto de ellas sea lo
mayor posible.
Hallar el valor máximo que se pude obtener al multiplicar dos números cuya suma
sea 1.
Hallar dos números cuya suma sea 24 y cuyo producto sea tan grande como sea
posible.
Las ventas en un teatro con capacidad de 40 asientos están dadas por
2
Determine las ventas máximas y el número de asistentes que las producen.
Suponga que con una manguera se lanza un chorro de agua hacia arriba,
describiendo una parábola con ecuación f(t)=160t -5t 2. Calcular la altura
máxima del chorro.
Un precarista desea cercar un terreno en forma rectangular, utilizando como uno
de los lados un muro ya existente. Si dispone de 100m de malla ¿Cuáles deben ser
las dimensiones del rectángulo para que éste tenga área máxima?
Un granjero dispone de 600m de malla con la cual desea encerrar un corral
rectangular a lo largo de un río (el cual tiene forma rectilínea). Si no se va a
utilizar malla en el lado que corresponde al río, ¿Qué dimensiones generarán el
corral de mayor área?
19
8 = 2
32 = 8
8-2 =
? = -5
? = -4
? = -2
? = -6
? = -4
20
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13. Convierta las siguientes ecuaciones a su forma logarítmica
1
77
6-5 =
1
3
1
729
3-6 =
1
3
27
1
3
=
–
2
83 = 4
53 =125
1
64
1
1
1024
4-5 =
3
5
1
36
6-2 =
26 = 64
ab = c
a 2x = c
1
64
1
125
8-2 =
5-3 =
6
14. Convierta las ecuaciones dadas a la forma exponencial
? 1 ?
log3?
? 243?
? 1 ?
log2?
?16?
loga a2 = 2
log6 46656 = 6
? 1 ?
log5?
?15625?
loga3 a6 = 2
log5 3125 = 5
log216 = 4
log3 9 = 2
log8 512 = 3
? 1 ?
log6?
?36?
log61296 = 4
? 1 ?
log3?
?81?
57x-5 = ? ?
?16?
2·2x =
4
? 3?
? 8 ?
3 + 3·3 = 36
? 2?
?9?
3x+5 ·
=
2-x =
0,027 = ?
?10?
?
= ? ?
= 5x
2 ·
2a -2a+3 = 4
? 1 ?
? 1 ?
? 1 ?
9
64 = 4·2
?1?
? 9 ?
= ? ?
?1?
= ? ?
21
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15. Hallar el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones exponenciales.
3·92x = 27 x-1
2x-1 = 16
125 -52x = 0
1
32
x-1
2x =
8
25
5
?1?
?5?
x+2
x
1
4
= 8x-1
x
= 8
? ?
?16?
x+1
2x-3
= 2·4x
? ?
?16?
3-2x
·8
x+1
x
? ? = 2
? 4?
? ?
?3?
= 92x+1
x+1
x
?1?
?5?
? 2? ? 27?
x x
? 3? ? 4?
x-1 3-2x
? ? = ? ?
2x+6 2x
? ? = ? ?
64
8
23x
4x-1
8
2x =
= 8
? ?
?16?
x+1
2x-3
= 3x-1
27
x
x
3
x
?5?
?3?
? ?
? 25?
x+2
x-3
2x
8
?1?
? 2?
x-1
4
9
= 4
? ?
?81?
2x-1
1 1
3
9 81x-3
3 4
8x+1
? 3 ?
-x+1
4·16a = 64a-1
5t =125
2
e-2ae3a = e4
92x = 3·27 x
22x-5 =128
27 x-1 = 9x+3
511-x = 58-x
7 x+2 = 343
[
]
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16. Resuelva cada uno de los siguientes problemas haciendo uso de la función
exponencial.
•
•
•
•
El crecimiento de una colonia de bacterias C , si se empiezan con 5000 bacterias,
al cabo de t horas está dada por C(t)= 5000·22t. ¿Cuál es el crecimiento de esa
colonia de bacterias al cabo de 1,5 horas?
La función f dada por f(x)= 2e-0,35x se utiliza para aproximar el área en
centímetros cuadrados de una herida en la piel después de x días de producida.
¿Cuál es aproximadamente el área en centímetros cuadrados de la herida después
del cuarto día en que se produjo?
Se dispone de una cartulina de 1mm de espesor que se puede doblar
sucesivamente de modo que cada doblez se hace sobre el anterior. Si la relación
entre la altura h de la cartulina doblada y el número de dobleces x está dada por
h(x)= 2x , entonces ¿Cuántos dobleces se han realizado si en el ultimo doblez se
alcanza una altura de 8mm?
La función f dada por f(x)= Pe0,05x sirve para aproximar el interés ganado al
final de un periodo de pago y que se agrega al capital inicial P a los x años.
¿Cuántos años se requieren aproximadamente para duplicar el capital?
•
-2x
5
La función f dada por f(x)= 5e
se utiliza para determinar la cantidad de
•
•
•
•
miligramos de cierto medicamento en el flujo sanguíneo de un paciente, x horas
después de su administración. Si a un paciente se le inyecta dicho medicamento a
las 3 p.m., entonces ¿Qué cantidad en miligramos de ese medicamento tendrá
aproximadamente el paciente a las 5 p.m. de ese mismo día?
Una población P =100 000personas aumenta a Pe0.05n , después de n años.
Determine la población existente al cabo de 5 años.
Una sustancia radioactiva se descompone a una taza tal que si B es el número
inicial de átomos de la sustancia, y N es el número remanente al cabo de t horas,
entonces N = Be-kt , donde k es una constante. Si se empieza con 17000 átomos
y 14500 es lo que queda al cabo de media hora. Determine el valor de la constante
k .
El número n de bicicletas que un mecánico aprendiz puede ensamblar
diariamente después de t días de entrenamiento está dado por n = 601-e-0,04t .
Determine después de cuántos días de entrenamiento el mecánico armará 40
bicicletas diarias.
En una maquiladora, Steven puede coser P pantalones por día después de t días
de entrenamiento, en donde P = 400 – 400e-t . ¿Cuántos pantalones coserá Steven
al cabo de 1386 días?
22
log1? ? = x
? = x
2log 3?
log2? ? = 5
log4? ? = x
log1? ? = -2
log x? ? = 3
log3? ? = x
23
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17. Hallar el valor numérico de la incógnita x en cada una de las siguientes expresiones
logarítmicas.
?1?
8?2?
log 1 16 = x
4
? 1 ?
?81?
logx 3 = 4
log x = -3
log 1 4 = x
2
log 1 x = -3
2
? 1?
? x?
?1?
? 2?
?1?
?3?
1
2
log x 3 =
-1
2
logx 8 =
-1
2
1
3
1
3
3
4
logx 3 =
log2 x =
log1 x =
8
log x 8 =
loga a a = x
logx 2 2 = -2
log3 3 x = 3
? 1?
3? x?
-3log x = 3
?1?
?9?
3log4 = x
logc a2 + logc? ?
? log4- 2logx?
ln(x +1)- ln x – ln(y2)+ ln x
(
)
? + ln?
? -ln x -1
? x ? ? x +1? 2
? x -1?
24
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18. Utilice las propiedades de los logaritmos para formular las siguientes expresiones
en términos de un solo logaritmo.
1
x
+ logx
2logx -log
2
2logx + 2log(2x)- 2logx
? 1?
? a?
loga -logb -logc
logb(3- 5)+logb(3+ 5)
logb( 2 -1)+logb( 2 +1)
5
2
(logc a -logc b)
log(x +1)+log(x -1)-logx
log 75 – log 45
-3
log(x10)
log(x2)
(
2log
x +3)+ log(x -3)
nloga -logb -logc
? y3 ? 1
? x ? 2
log2 x2 -log2 x4
)
log1(x2 + x)-log1(x2 – x
2 2
1? 5 ?
2? 4 ?
3 1
2 4
1
2
m
x3n
logx3 4
ln?
? x ?
loga +log2+log(a +1)
logx +log(x -1)+log(x -1)
3log(a +1)-2logx
-[log(x+1)-log(x+ 2)]
logz +3loga -log(a +1)
2
3
log5(h +1)-log5(h + 23)
4log5 h +
+ log
loga h + loga b+ loga c = loga? ? h bc3 ? ?
loga t + 6loga b – loga c = loga?
3
? c ?
2logz – log(g – 2b)= log?
?
? ?
z 2
(g – 2b)? ?
logz + 2logt -log(t -1)= log?
?t -1?
? +log2? 2
2t -3
?3t + 2t -1
?? = log2??2t -3??
25
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19. Haciendo uso de las propiedades de los logaritmos compruebe las siguientes
identidades.
loga
3
2
1
a
+ log a =
loga2 + log
log
1
2
= log2- 3
2- 3
2+ 3
a
b
logb
1
2
5
2
loga +
+ log ab =
logab + log
1
2
log
1
2
= log(x -1)-log2
x -1
2x + 2
x2 -1
2
log
1
4
1
4
= log x +1
x +1
x + 2
log(x2 +3x + 2)+
? 1?
? x?
4 4 ? ?
1 3
1
2
?
? z3 ?
1
2
2 ? tb6 ?
?
3 2
?
?
1
2
? zt 2 ?
?
? ?2t +3?
?2t 2 +5t +3? ? 3t -1
log2?
? ?
?a2b?
? c ?
(
? -log7? 8 ? = log7 a f b
( ) ( )
loga tb2 + 2loga? ? = loga t 3
logz + 2loga + log(a +3)= log(za2 3 a +3
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)
7
?a5 f 3 ? ? af ? 4 2
log7?
? bc ? ?b c?
? t ?
?b?
]
loga 3+ 2loga x + 3loga(y3)= loga[3x2y9
? ?
?
? ?
1
?
2 ? ?
3
? 5t +3 ?
?
3 ? h + 23 ?
? za3 ?
?
?8gb4 ?
?
? 7c ?
?
2 ?
)
1
3
?a2 b? 1
log y ? 3
? 5c ? 2
? 9c ? 1 1
log y ?
?5 ab?
logz +loga = log(za)
26
log3 1- x =
-log8(x -5)=
log8 x +3log8 2 = log8? ?
? a + 6?
27
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20. Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas, recuerde probar las soluciones
obtenidas con el objetivo de excluir aquellas que indefinen la función.
log5(2x +1)+ log5(3x -1)= 2
log2(6x+5)+log2 x = 2
log(x -1)= 2
log(x+ 2)-log(4x +3)+logx = 0
log3(2x +1)+ log3 x =1
2log9(x -1)=1
log3(4x + 2)= 2
1
2
log 1+ x =
2
3
log(2x -1)+logx = 0
logx -log(2-3x)=1
log3 x + 2 = log3 5
log2(x +4)-log2(x +1)=1
logx +log(x-3)=1
log3(2x)-log3(x +1)= -1
log2(x+ 2)+log2(x-1)= 2
log3 x2 + log3 x = 2
log3 x2 -log3(2x)=1
log x – 2log4 = log32
2log x -log2 = log8
log3 x -log3 2 = 3-log39
1
2
log2(x-1)= 4-log2 3
logx -log5 = log2-log(x -3)
log2(log3 x)= 2
log3 x2 -log3(2x)=1
log(2x -1)+logx = 0
log2(x-1)+log2(x+ 2)= 2
– log5(2x)+ log5(x2 -9)= log5(x -3)
log4x -log(x -2)=1
log1(x2 + x)-log1(x2 – x)=1
2 2
? 2?
? x?
log2[log(2x-1)]=1
32log3 x = log3 3
log2[log3(x2 – 2x)]= 0
log3(t +1)+ log3(t +3)=1
log6(a +1)+ log6(a + 2)=1
log? ? = log2
? a -1?
log5(h2 + 21h -10)-log5(5h -1)=1
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27
S
R
O
Q
C3
GEOMETRÍA
C2
P
C1
28
C
B
A
O
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1. Utilice los teoremas fundamentales de la circunferencia para resolver cada uno de
los siguientes problemas.
De acuerdo con los datos de la figura si
Si BC = 24, AD = 9 y la distancia del
centro O a BC = 4 3 , entonces ¿Cuál
es la medida de OC ?
encuentre la medida del segmento x.
E
O
C
A
C
B
Si en la circunferencia de centro O,
OC = 20 y AB = 32. Entonces ¿Cuál
es, en centímetros, la medida de EC ?
En una circunferencia de diámetro
20cm, si la distancia de una cuerda al
centro es de 6cm¿Cuál es la medida de
la cuerda?
En una circunferencia, la longitud de
una cuerda es 10. Si la distancia de esa
cuerda al centro de la circunferencia es
4, entonces ¿Cuál es la longitud del
radio?
B
A
O
AB =12 y AC = 6 5 , entonces ¿Cuál
es la distancia de AB al centro de la
circunferencia?
D
BC= 120º
C
B
A
O
D
En la figura adjunta CD es tangente a
la circunferencia en D y además
CD = 2 2 y BC = 2. Hallar la medida
de CA.
20
8
X
30
De acuerdo con los datos de la figura
C
En la figura AB es un diámetro, si
AB = 25 y BD = 5. Hallar la medida
de CD.
B
A
D
Q
En la figura PA y QA son tangentes. Hallar lam?? .
A
P
65º
?
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29
En una circunferencia de radio 8cm, una
cuerda dista 6cm del centro, entonces
¿Cuál es la longitud de dicha cuerda?
En la figura adjunta AC y BD son
cuerdas equidistantes del centro O.
Además HI = 24cm. Si la longitud del
radio de la circunferencia es de 14cm.
Halla las medidas de AC y BD.
Si
AM
es tangente en M,
m?AMB = 60º y MB = 18 . Hallar la
medida del radio de la circunferencia.
De acuerdo con los datos de la figura, si
RS y PQ son cuerdas equidistantes del
centro, NS = 2 3 y ON = 2 ,
entonces ¿Cuál es la medida del radio?
De acuerdo con los datos de la figura, si NP es
tangente en N a la circunferencia de centro O,
m?PNM = 60º y NO = 6 . Hallar la medida
de MN .
Si AC y BD son diámetros de una
circunferencia de centro O,
AB = CD = OA y la medida del radio es
12cm, entonces ¿Cuál es la distancia
entre las cuerdas AB y CD?
I
H
O
D
C
B
A
E
D
De acuerdo con la figura el radio de la
circunferencia es de 15cm y CE = 4cm.
Hallar la medida de AB .
C
B
A
O
B
P
C
De acuerdo con los datos de la figura, si
AB y AC son dos cuerdas congruentes
M
A
B
de la circunferencia de centro P,
AM = MP y AC = 8. Hallar la medida
del diámetro de la circunferencia.
A
M
O
30º
D
De acuerdo con los datos de la figura, si
AD y CB son cuerdas equidistantes del
centro y AB =12cm. Hallar la distancia
entre AD y el centro O.
C
B
A
O
Q
P
S
R
N
M
O
M
N
P
O
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30
circunferencia mide
39 , entonces
¿Cuál es la longitud de la cuerda AB ?
Sean C1, C2 y C3, circunferencias
cuyos centros son O, P y Q,
respectivamente. Si C1 y C2 son
diámetro es 2 3, AM
y MB son
cuerdas equidistantes del centro. ¿Cuál
es la medida de AM ?
miden 17 y 8 respectivamente, entonces
¿Cuál es la medida de AB ?
AC , CE y BD son cuerdas equidistantes
del centro de la circunferencia cuyo radio
mide 6 2 y m?ACE = 60º , entonces
¿Cuál es la medida de BD?
P
B
De acuerdo con los datos de la figura, si
AM = MB , PM = 5 y el radio de la
M
A
S
R
P
O
Q
C3
C2
C1
tangentes interiormente en R; C2y C3
son tangentes exteriormente en S,
OR = 4, PR =10, SQ = 5, entonces
¿Cuál es la distancia entre los centros de
las circunferencias C1 y C3?
M
60º
B
A
En la circunferencia dada, la medida del
O
B
De acuerdo con los datos de la figura, si los
radios de las circunferencias concéntricas
A
E
D
C
De acuerdo c on los datos de la figura, si
B
A
Q
P
O
N
C
Si cuadrilátero BMON es un cuadrado y la
medida del radio de la circunferencia es
5 2; entonces ¿Cuál es la longitud de BC ?
B
O
R
De acuerdo con los datos de la figura, si las
circunferencias de centro O y P son
tangentes interiormente, PQ = 2 y OR = 7,
entonces ¿Cuál es la medida del radio de una
circunferencia concéntrica a la
circunferencia de centro O y que contiene al
punto P?
A
M
31
m?AMB = 60º y AB = 2 6 ¿Cuál es la
medida del radio?
La circunferencia de la figura adjunta
está trisecada y su diámetro mide 2cm
¿Cuál es el área del ?ABM ?
1
8
=
PD
CD
y PD = k , entonces hallar la
medida de
OA
en términos de
k .
B
A
En la circunferencia dada, AM y MB
son cuerdas equidistantes del centro,
C
A
B
Si AC y AB son rectas tangentes a la
circunferencia en C y B,
respectivamente, AC ? AB y la medida
del diámetro es 12, entonces ¿Cuál es la
medida de BC ?
En una circunferencia cuyo diámetro
mide 16cm, se traza una cuerda de
longitud 12cm, ¿A qué distancia del
centro de la circunferencia se encuentra
dicha cuerda?
M
B
A
E
D
El radio de la circunferencia de centro O
mide 6cm, AB = 2. Hallar la medida de EC
.
B
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
C
M
A
O
a
Q
P
B
A
P
D
O
C
B
Las circunferencias de centro P y de centro
O son tangentes interiores en el punto D.
OA y OB son segmentos tangentes. Si
C
D
En la figura adjunta, AD y BC son
tangentes comunes a los círculos de centros
Q y P. Si PA =12, QB =10 y m?a = 60º,
entonces ¿Cuál es la medida del segmento
que une los centros de dichas
circunferencias?
Q
D
C
O
B
A
En la gráfica las circunferencias de centro O
son concéntricas y AQ es tangente. Si
AB = 5 y AQ = 30, entonces ¿Cuál es la
medida de BC ?
A
32
De acuerdo con los datos de la figura
¿Cuál es la medida del arco ABC?
?
De acuerdo con los datos de la figura, si
AB es tangente a la circunferencia en
B, entonces ¿Cuál es la media del arco
que subtiende el ángulo seminscrito?
De acuerdo con los datos de la figura,
¿Cuál es la medida del ?a ?
B
A
P
52º
C
3ºx
De acuerdo con los datos de la figura,
¿Cuál es la medida del ?a , ?ß y ??
4ºx
5ºx
?
ß
a
O
D
C
B
D
C
M
B
De acuerdo con los datos de la figura, si
AB y AC son congruentes y la medida
del arco BMDes 70º, ¿Cuál es la
medida del ángulo ABD?
A
De acuerdo con los datos de la figura, si
AB es diámetro y medida del arco BC
es 30º , entonces ¿Cuál es la medida del
?DOB?
A
64º
O
B
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2. Utilice las relaciones de los ángulos con los arcos de la circunferencia para resolver
cada uno de los siguientes problemas.
A
20º
40º
80º
P
a
7ºx
3ºx
5ºx
C
O
B
De acuerdo con los datos de la figura, si
la medida del arco AC es 40º, entonces
¿Cuál es la medida del ?BAO?
A
O
C
De acuerdo con los datos de la figura, si
m?AOC = 96º, entonces ¿Cuál es la
medida del ?ABC?
B
A
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B
A
40º
O
D
C
B
80º
O
N
M
D
C
A
O
D
De acuerdo con los datos de la figura, si
CD es un diámetro y la medida del arco
(menor) CB es la mitad de la medida
del arco (mayor) AC , entonces ¿Cuál
es la medida del ?COB?
A
De acuerdo con los datos de la figura en la
que BK es tangente a la circunferencia en k
¿Cuál es el valor de a ?
De acuerdo con los datos de la figura en la
que BC es tangente a la circunferencia en B,
¿Cuál es el valor de a ?
33
De acuerdo de los datos de la figura, si AB
es tangente en B a la circunferencia de
centro O y DC es un diámetro, entonces
¿Cuál es la medida del ?BCD?
B
De acuerdo con la figura, si MO= NO y
m?ABO = 42º, entonces ¿Cuál es la
medida del arco (menor) DC ?
a
50º
D
A
O
70º
80º
X
B
Y
En la figura XY es tangente en B a la
circunferencia de centro O, entonces
¿Cuál es la m?ROS ?
S
B
C
De acuerdo con los datos de la figura,
¿Cuál es la medida del ?a ?
R
O
K
B
140º
50º
a
M
D
C
De acuerdo con los datos de la figura, si
medida del arco AMD es 160º, entonces
¿Cuál es la medida del arco AC ?
C
B
A
60º
O
O
C
A
B
a
116º
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O
40º
P
P
B
A
C
70º
M
O
D
M
De acuerdo con los datos de la
circunferencia de centro P ¿Cuál es la
m?AMB?
C
A
70º
O
B
De acuerdo con los datos de la
circunferencia de centro O ¿Cuál es la
medida del arco menor AM ?
R
M
A
O
48º
B
De acuerdo con los datos de la figura, si
AM = MD , ¿Cuál es la medida del ?ADB
?
E
C
D
B
A
42º
AB? AC
86º
D
De acuerdo con los datos de la figura, si
CD es tangente en C, entonces ¿Cuál es la
medida del arco (menor) AB ?
34
C
De acuerdo con los datos de la figura, si
DC es tangente al círculo en C, AB es un
diámetro y m?DCB=116º, entonces
¿Cuál es la medida del arco EAC?
B
A
D
M
S
De acuerdo con los datos de la figura, si R
y S son puntos de tangencia, entonces
¿Cuál es la medida del arco RMS?
C
B
O
O
De acuerdo con los datos de la figura, si la
medida del arco CD =118º y
m?BOC =106º, entonces ¿Cuál es la
medida del ?OBD?
C
B
De acuerdo con los datos de la figura, si
m?COA=132º. Hallar la medida del
?ABC.
A
B
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35
De acuerdo con los datos de la figura, halle
el valor de la incógnita x.
En la figura AO =OB = BC
Hallar el valor del ?ß .
circunferencia de centro O y
m?MAS =58º , entonces halle la medida
del arco MR .
De acuerdo con los datos de la figura, halle
el valor de la incógnita a .
E
D
B
A
120º
C
A
3X O
D
A
40º
5X
C
De acuerdo con los datos de la figura, halle
el valor de la incógnita x.
C
B
O
A
ß
E
B
A
C
De acuerdo con los datos de la figura, los
arcos AB y BC son congruentes y además
la m?ACB =38º. Hallar la medida del
?EAC.
S
M
A
O
R
De acuerdo con los datos de la figura, si A
es el punto de tangencia de AS y la
O
B
A
C
En la circunferencia de centro O, la razón
entre el arco AB y el arco BC es 2 : 5. Si el
arco mayor excede al menor en 24º . Hallar
la medida del ?AOB.
a
O
52º
D
En la figura, OD ? AC, O es el centro y
m?AOD=50º. Hallar la medida del
?ABC.
B
C
O
C
En la figura, el diámetro AB es
perpendicular a la cuerda CD, si la medida
del arco menor CD =80º. Halle la medida
del ?BOE.
B
O
A
36
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
3. Determine cada una de las siguientes áreas sombreadas.
La figura adjunta corresponde a un
hexágono regular de lado 4cm. Hallar el
área de la región destacada con negro.
El cuadrilátero ABCD corresponde a un
cuadrado, donde M, N, O y P son los
puntos medios de cada uno de sus lados.
Si BM =3. Hallar el área de la región
destacada con negro.
El ?ABC es isósceles, el ?CAB es recto,
además BC =10. Hallar el área de la
región destacada con negro.
AC y AB tangentes a la circunferencia de
radio 4cm y centro O, el ?CAB =60º.
Hallar el área de la región destacada con
negro.
El cuadrilátero de la figura adjunta es un
cuadrado de lado 6cm. Si ?ABE es
equilátero. Hallar el área de la región
destacada con negro.
El ?ABC es equilátero, D, E y F son los
puntos medios de cada uno de sus lados. Si
AB = 4 . Hallar el área de la región
destacada con negro.
La figura adjunta representa un cuadrado
de 24cm de lado. Hallar el área de la región
destacada con negro.
F
E
D
C
B
A
O
C
B
A
P
N
D
O
C
M
B
A
D
C
B
A
E
El cuadrilátero ABCD corresponde a un
cuadrado de lado 12cm, las ocho
circunferencias implícitas son congruentes.
Hallar el área de la región destacada con
negro.
C
D
M
B
A
E
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
La figura adjunta representa un cuadrado
de lado 6cm, cada lado está dividido en tres
partes iguales. Hallar el área de la región
destacada con negro.
destacada con negro.
Las circunferencias de centros O, P y Q
son congruentes y cada uno de sus radios
miden 6cm. Hallar el área de la región
destacada con negro.
Hallar el área sombreada de la figura
anterior, la cual está compuesta por dos
semicircunferencias perpendiculares entre
si y de radio 6cm.
37
De acuerdo con los datos de la figura, si
cuadrilátero ABCD es un cuadrado inscrito
en una circunferencia de centro O, AB =6,
entonces hallar las sumas de las áreas de
las regiones destacadas con negro.
Hallar el área de la región destacada con
gris, si se sabe que OB =6, la medida del
arco AB =90º .
De acuerdo con los datos de la figura, si
AB = 4 y BO = 4, entonces ¿Cuál es el
área de la región destacada con negro?
D
C
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B
A
D
C
B
El cuadrilátero anterior representa un
cuadrado en el que A, B, C y D son los
puntos medios de sus lados respectivos. Si
BC = 4 2 . Hallar el área de la región
A
C
B
A
Q
P
La figura anterior representa un triángulo
equilátero circunscrito a una circunferencia
de radio 10cm. Hallar el área de la región
destacada con negro.
O
O
D
C
B
A
P
O
De acuerdo con los datos de la figura, si las
circunferencias de centros O y P, de radios
OP y PB son tangentes interiormente,
medida del arco AB =120º y OP = 3 ,
entonces ¿Cuál es el área de la región
destacada con negro?
B
A
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En un cuadrado de lado mdesde los
vértices opuestos, con radio m, se trazan
arcos de semicircunferencias como se
muestra en la figura anterior. Hallar el área
de la región destacada.
¿Cuál es el área del segmento circular que
corresponde a un ángulo central de 60º en
una circunferencia en que la medida del
radio es 12cm?
De acuerdo con los datos de la figura, si
cuadrilátero ABCD es un cuadrado y
OA=6 2 , entonces ¿Cuál es el área de la
región destacada con negro?
Sea R la longitud del radio de una de las
circunferencias. Si la longitud del radio de
3
la otra circunferencia es R, entonces
4
¿Cuál es el área de la región destacada con
negro?
De acuerdo con los datos de la figura, si
RS =10 2
y
m?RPS =90º, entonces
¿Cuál es el área de la región destacada con
negro?
38
De acuerdo con los datos de la figura, si
AC es un diámetro y los arcos AB y BC
son semicircunferencias cuyos diámetros
miden respectivamente 4 y 8, entonces
¿Cuál es el área de la región destacada con
negro?
De acuerdo con los datos de la figura, si M
y P son los centros de las circunferencias,
AQ = 4 y medida del arco EQD = 205º,
entonces ¿Cuál es el área de las regiones
destacadas con gris?
En la figura se tienen dos circunferencias
con el mismo centro y de radios 6cm y
4cm. Las dos circunferencias están
divididas por dos segmentos
perpendiculares. Calcular el área
sombreada.
En la figura hay 2 circunferencias de radio
18cm de centros O y P. Calcular el área
sombreada.
C
D
B
A
P
S
R
B
A
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3. Resuelva cada uno de los siguientes problemas relacionados con polígonos regulares.
La medida de la apotema de un pentágono
regular es 4 ¿Cuál es aproximadamente la
longitud de cada lado del pentágono?
El área de un hexágono regular es 24 3,
¿Cuál es el perímetro de ese hexágono?
¿Cuál es aproximadamente la longitud de
la circunferencia en la que se puede
inscribir un pentágono regular cuyo
perímetro es 3?
El perímetro de un rectángulo es 36cm y el
área es 32cm2, entonces ¿Cuánto mide el
largo del rectángulo?
¿En cuál polígono regular se pueden trazar
un máximo de 20 diagonales en total?
El área de un hexágono regular es 72 3
cm2, entonces ¿Cuánto mide su apotema?
La medida del lado de un pentágono
regular inscrito en una circunferencia cuyo
radio mide 5cm, es 8cm. Hallar el área de
dicho pentágono.
Si la medida de cada uno de los lados de un
pentágono regular es 12, entonces ¿Cuál es
la medida de la apotema de dicho
pentágono?
Si el área de un cuadrado es 24, entonces
¿Cuál es la longitud de la circunferencia en
la que se puede inscribir ese cuadrado?
Si en un polígono regular la medida de
cada uno de los ángulos internos es 162º ,
entonces ¿Cuál es la medida de un ángulo
central de dicho polígono?
La medida del radio de una circunferencia
es 4 2 . Si el cuadrado ABCD está
circunscrito a dicha circunferencia,
entonces ¿Cuál es la medida de AD ?
39
¿Cuál es la longitud del lado de un
triángulo equilátero inscrito en una
circunferencia cuyo radio mide 4?
Si la medida de la apotema de un triángulo
equilátero es 12, entonces ¿Cuánto es el
perímetro de dicho triángulo?
En una misma circunferencia se inscribe y
se circunscribe un triángulo equilátero. Si
el radio de la circunferencia mide 2cm,
¿Cuánto mayor es el área del triángulo
circunscrito con respecto al área del
triángulo inscrito?
Si la apotema de un hexágono regular mide
3cm, entonces ¿Cuánto medirá el perímetro
de dicho hexágono?
La longitud de una circunferencia es 8p .
¿Cuál es la medida de la apotema de un
cuadrado inscrito en dicha circunferencia?
Si la medida de la diagonal de un cuadrado
es 8, entonces ¿Cuál es la longitud de la
circunferencia inscrita es ese cuadrado?
Si la medida del radio de un dodecágono
regular es 10, entonces ¿Cuál es
aproximadamente la medida de cada lado
del polígono?
En un polígono regular, la medida de cada
ángulo interno es 135º . Si el perímetro es
48, entonces ¿Cuál es la medida de cada
lado del polígono?
En un polígono regular, si desde uno de sus
vértices se pueden trazar únicamente dos
diagonales, entonces ¿Cuál es la medida
del ángulo interno determinado por esas
diagonales?
Un hexágono regular y un triángulo
equilátero tienen la misma área. Si el
perímetro del triángulo es 36, entonces
¿Cuál es el perímetro del hexágono?
p
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¿Cuál es la longitud aproximada de la
circunferencia circunscrita a un
dodecágono regular si la medida de su
apotema es 12?
La figura anterior hace referencia a un
hexágono regular, si AB = 4 3 , entonces
¿Cuál es la medida de BC ?
Si el perímetro del pentágono regular
Calcular el área de un hexágono regular
que tiene 12cm de lado.
¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya
área es equivalente al de un hexágono de
16cm de lado y 12cm de apotema?
Calcular el área del hexágono regular
circunscrito a un círculo de un metro de
radio.
El diámetro de una circunferencia mide
10cm. Si necesitamos disminuir el área
hasta 16p , entonces ¿En cuánto debemos
disminuir el radio de dicha circunferencia?
Si un ángulo interno de un polígono regular
mide 135º ¿Cuál es el número total de
diagonales de ese polígono?
¿Como se clasifica, según el número de
lados, un polígono regular cuyo ángulo
central mide 45º ?
¿Como se clasifica, según el número de
lados, un polígono regular cuyo ángulo
interno mide 144º ?
¿Cuál es la suma de los ángulos internos de
un heptágono regular?
Si un ángulo interno de un polígono regular
mide 54º , entonces ¿Cuánto mide uno de
sus ángulos externos?
¿Cuánto mide el lado de un triángulo
equilátero, inscrito en una circunferencia
de 12cm de radio?
G
H
anterior es 50, entonces ¿Cuál es la medida
aproximada de la diagonal AB ?
La figura anterior hace referencia a un
hexágono regular, si AB = 2, entonces
¿Cuál es la medida de CD?
F
E
D
M
E
C
D
La figura anterior hace referencia a un
pentágono regular ¿Cuál es la medida de
?BCM ?
De acuerdo con la figura, si la longitud de la
circunferencia es y AB es congruente con
4
el radio, entonces ¿Cuál es el área del rombo?
40
C
De acuerdo con los datos de la figura, si
cuadrilátero ABCD es un cuadrado y la
medida de la apotema del hexágono regular
CDEFGH es 3 , entonces ¿Cuál es el área
de la región destacada con negro?
A B
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
41
¿Cuánto mide el radio de una
circunferencia circunscrita a un triángulo
equilátero de 9cm de altura?
Si la longitud de la circunferencia inscrita
en un triángulo equilátero es 12pcm,
entonces ¿Cuál es la medida en centímetros
de la altura de dicho triángulo?
¿Cuánto mide la apotema de un cuadrado
de 18cm de lado?
¿Cuál es la longitud de un lado de un
cuadrado circunscrito a una circunferencia
de radio 3 2 ?
¿Cuál es el área de una circunferencia
inscrita a un cuadrado de 12cm de radio?
¿Cuál es el área de un cuadrado inscrito en
una circunferencia de 2cm de radio?
¿Cuál es la longitud de una circunferencia
circunscrita a un hexágono de 3 3cmde
apotema?
¿Cuál es el valor de la apotema de un
hexágono regular circunscrito a una
circunferencia de radio 4cm?
Si un hexágono regular tiene perímetro
12cm, entonces ¿Cuál es la medida del
diámetro de la circunferencia inscrita en
dicho hexágono?
¿Cuál es el área del hexágono regular
inscrito en un círculo de radio 4 3cm?
¿Cuál es la longitud de la circunferencia
inscrita en un hexágono, si un lado del
hexágono mide 6?
Un hexágono regular está circunscrito en
una circunferencia de 2 3 de radio. ¿Cuál
es el área del hexágono regular?
Si la apotema de un hexágono regular mide
3
2
3 , entonces ¿Cuál es la medida de cada
lado?
Si la longitud de la circunferencia circunscrita a
un triángulo equilátero es 12p , entonces ¿Cuál
es la altura de dicho triángulo?
¿Cuál es la razón entre el diámetro y el radio de
un círculo?
Si los lados de un rombo miden 13cm cada uno
y una diagonal mide 10cm, entonces ¿Cuál es la
medida de la otra diagonal?
En un polígono regular la medida de cada
ángulo interno es 135º , si el perímetro es 4
¿Cuál es el perímetro de un hexágono regular si
la apotema mide
27 ?
Si el número de diagonales de un polígono
regular es nueve, entonces ¿Cuál es la suma de
las medidas de los ángulos internos?
El área de un hexágono regular mide 72 3 ,
entonces ¿Cuánto mide su apotema?
¿Cuánto suman los ángulos internos de un
polígono regular cuyo ángulo central mide 36º ?
Si un polígono regular inscrito en una
circunferencia tiene 18 radios que llegan a sus
vértices, entonces ¿Cuánto mide el ángulo
central que determinan dos radios consecutivos?
¿Cuál es la medida del radio del círculo en que
está inscrito un hexágono regular que mide 5cm
de lado?
¿Cuál es el área de un anillo circular
determinado por dos circunferencias
concéntricas cuyos diámetros son
5
4
cm y
cm
1
2
respectivamente?
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
4. Resuelva cada uno de los siguientes problemas relacionados con los cuerpos sólidos, deben
aparecer los dibujos respectivos que le llevaron a la solución.
Se tienen dos esferas cuyos radios miden 6
y 3, respectivamente. Si dichas esferas se
unen para formar otra esfera, entonces
¿Cuál es la medida del radio de la esfera
formada?
El área lateral de una pirámide de base
cuadrada es 32 3 . Si cada una de las caras
de la pirámide es un triángulo equilátero,
entonces ¿Cuál es el área basal de dicha
pirámide?
El área total de un cilindro circular recto es
144p . Si el radio de la base es congruente
con la altura del cilindro, entonces ¿Cuál es
el volumen de dicho cilindro?
Las caras laterales de una pirámide regular
son cuatro triángulos isósceles congruentes
entre sí. Si la altura de cada uno de ellos es
5 64
y el área de la base es , entonces
3 9
¿Cuál es el volumen de la pirámide?
El área lateral de un cubo es 2. ¿Cuál es el
volumen de dicho cubo?
El volumen de una pirámide recta de base
cuadrada es 384. Si la medida de la altura
es 8, entonces ¿Cuál es el área lateral de la
pirámide?
El volumen de un cono circular recto es
igual al volumen de un cilindro circular
recto. Si en el cono la altura es 9 y el radio
de la base es 4 y en el cilindro la altura es
3, entonces ¿Cuál es el área de la base del
cilindro?
La altura de un prisma es 12 y la base es un
rectángulo que mide 6 de largo y 3 de
ancho. Se desea modificar de manera que
el volumen sea el mismo pero la altura sea
la mitad de la anterior. Si se mantiene el
ancho de la base, ¿Cuál debe ser la medida
del largo?
42
¿Cuál es el área lateral de una pirámide
recta de base cuadrada si la medida de cada
uno de los lados de la base es 10 y la
medida de la altura de la pirámide es 12?
Un prisma recto de base cuadrada y un
cilindro regular recto tienen el mismo
volumen. El diámetro de la base del
cilindro tiene igual medida que el lado de
la base del prisma. Si la medida de la altura
del cilindro es 6 y la medida del diámetro
de la base del cilindro es 8, entonces ¿Cuál
es aproximadamente la altura del prisma?
¿Cuál es el área lateral de una pirámide
recta, si la base es un cuadrado de 10 de
lado y la medida de la altura de la pirámide
es 12?
La base de un prisma recto es un triángulo
rectángulo isósceles. Si la longitud de uno
de los catetos es 6 y la altura del prisma es
5, entonces ¿Cuál es el área lateral del
prisma?
La base de un prisma recto es un triángulo
equilátero. Si el área lateral es 12 y la
altura del prisma es 2, entonces ¿Cuál es el
volumen del prisma?
La altura y el radio de un cono circular
recto son congruentes. Si el volumen de
ese cono es 72p , entonces ¿Cuál es el área
lateral del cono?
¿Cuál es el volumen de un pirámide regular
recta cuya base es un cuadrado, si el área
lateral es 320 y el área basal es 256?
El radio de una esfera, el radio de la base
de un cono circular recto y su altura tienen
la misma medida. Si el número que expresa
el volumen del cono es igual que el número
que expresa el área total de la esfera,
entonces ¿Cuál es el área basal de ese
cono?
Bcm
Ccm
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El volumen de una pirámide recta de base
cuadrada es 72. Si la medida de la altura de
la pirámide es 6, entonces ¿Cuál es el área
lateral de esa pirámide?
El área de la base de un prisma recto de
base cuadrada es “x”. Si la altura del
x
prisma es , entonces ¿Cuál es el área
4
lateral del prisma?
El área lateral de un cono circular recto es
45p . Si la longitud de la generatriz es 15,
entonces ¿Cuál es el área de la base?
Si un tercio del volumen de un cilindro
circular recto es 30p y la medida de la
altura es 10, entonces ¿Cuál es el área basal
del cilindro?
¿Cuál es el área lateral de un cilindro
circular recto, si la altura es 10, y el área de
la base es 36p ?
El volumen de un cubo es 216 ¿Cuál es la
longitud de la diagonal de ese cubo?
La diagonal de la base rectangular de un
prisma recto mide 40 y el largo es el triple
del ancho. Si la altura de ese prisma mide
60, entonces ¿Cuál es su área total?
Se desea construir un embase cilíndrico
con tapas de 10cm de radio y 10cm de
altura ¿Cuánto material se necesita?
Se desea construir una lata metálica con
tapa, de tal manera que sea con forma de
cilindro y que tenga 10cm de altura. Las
bases deben tener un radio de 7cm cada
una. ¿Cuánto metal se necesita?
Para forrar una caja cúbica se ha utilizado
6m2 de papel. ¿Cuál es el volumen de la
caja?
43
En la figura anterior el área total del
cilindro es 78pcm2 y la altura del cilindro
es 10cm. ¿Cuál es el área del rectángulo
colocado dentro del cilindro?
Una esfera tiene un área de 2916p
¿Cuánto vale su volumen?
En la figura anterior, el cilindro contiene
agua hasta las tres cuartas partes de su
volumen, si el radio de la base mide 4cm y
la altura es de 10cm, entonces ¿Qué
volumen de agua contiene el cilindro?
Acm
Al extraerse un objeto de un tanque lleno
totalmente con agua, el nivel del agua bajó
1cm, como se muestra en la figura anterior.
De acuerdo con la figura anterior, ¿Cuál es
el volumen V del agua que hay en el
tanque?
Si se sabe que el cono superior tiene una
altura de h1 = 2r y el inferior una altura de
h2 = 3r . Donde r es el radio de la base
común para ambos conos, determine el
volumen del sólido.
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
Hallar la altura de una pirámide de base
cuadrada, si se sabe que su área lateral es
de 2 5 y el lado de la base mide 2.
Hallar la diagonal de un cubo cuya área
total es de 6cm2.
¿Cuál es el área total de dos esferas
congruentes con radio igual a p cm?
Hallar en función de la altura h, el área
lateral de un cono circular recto en el que
el radio de la base mide 1cm.
Halle el volumen de un prisma triangular
regular cuya base tiene 6cm de lado y su
altura es de 18cm.
Halle el área total de un prisma regular que
tiene una altura de 10cm y su base es un
triángulo equilátero de 6cm de lado.
Un cubo tiene 54cm2 de área total. Halle el
volumen del cubo.
Halle la diagonal de un cubo si se sabe que
su área total es de 96m2.
Halle el volumen de una pirámide regular
cuya base es un cuadrado de 12cm de lado
y cuyas caras laterales son triángulos
equiláteros.
Hallar el área lateral de una pirámide de
base cuadrada de 10 m de lado y de 13cm
de arista.
Si el volumen de un cilindro mide 16p y el
radio de la base 2. ¿Cuánto mide la altura
de dicho cilindro?
En un cilindro el radio de una de las bases
es 6cm y la altura es de 8cm ¿Cuál es el
área total de dicho cilindro?
Un cono tiene un volumen de 180p .
Sabiendo que el diámetro de la base mide
12cm, halle su altura.
44
La generatriz de un cono es de 26m y su
altura es de 10m. Halle el área de la base
de dicho cono.
¿Cuál es el área total de una esfera de radio
4cm?
Halle el volumen de una esfera de 23 3de
radio.
Si el área de una bola es el doble de su
volumen ¿Cuál es la medida de su
diámetro?
Un juego para niños consta de tres cubos
A, B y C, el cubo B tiene un centímetro
menos de arista que el cubo C y un
centímetro más que el cubo A. Si el cubo A
tiene 8cm de arista, entonces ¿Cuál es el
volumen total en centímetros cúbicos de
los tres cubos?
Se quiere forrar con papel un bote
cilíndrico sin una de sus tapas. Si el radio
de la base es de 20cm y el bote tiene 30cm
de altura, ¿Cuántos centímetros cuadrados
se necesitan para forrar el bote?
Una compañía de alimentos fabrica 2000
latas cilíndricas de fríjol molido. Si cada
una mide 10cm de altura y las bases tienen
un radio de 6cm. ¿Cuánto metal se
necesitará para cada lata?
Los globos de la lámpara ilustrada
anteriormente tienen un diámetro de 24cm
de longitud cada uno. Hallar el área de
ambos globos.
2cm
Encuentre el diámetro de la circunferencia
circunscrita al hexágono regular.
Un cono circular está inscrito en una esfera
cuyo radio mide 4cm, como en la figura
anterior. Si ?ABC es equilátero, entonces
¿Cuál es el área lateral del cono?
¿Cuál es el área lateral de un cono si el
área del triángulo que lo engendró es de
24cm2 y el cateto sobre el eje de rotación
mide el triple de la medida del radio del
cono?
Un horno cilíndrico debe tener un diámetro
de 5m de longitud y un volumen de 130m3
. ¿Cuántos metros de acero se necesitan
para construirlo?
En la figura anterior se muestra un salero
cuyo diámetro de la base es de 6cm y la
generatriz es de 12cm, determine el área
total del embase.
45
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
¿Cuál es el volumen de un diamante en
forma de (doble) pirámide de base
hexagonal (superpuestas), si el radio de la
base mide 2mm, la altura por un lado mide
7mm y por el otro 5mm?
El embudo anterior tiene forma de cono
circular recto. Si el diámetro mide 10cm y
la altura mide 12cm. Hallar el área lateral
del embudo.
De acuerdo con la figura anterior, hallar el
área lateral, en metros cuadrados de la
pirámide cuadrangular.
Un cono está inscrito en una esfera, como
en la figura anterior. El radio de la base del
cono mide 12cm y el radio de la esfera
mide 15cm. Hallar el volumen del cono.
De acuerdo con los datos de la figura en la
que se muestra una pirámide cuadrangular
de base cuadrada ¿Cuál es el área de la
base?
En un cilindro circular recto el radio de una
de las bases es 5cm y la altura del cilindro
es de 6cm. ¿Cuál es aproximadamente, en
centímetros cúbicos, el volumen del
cilindro?
En un cono circular recto el radio de la
base es 3cm y la altura del cono es 8cm.
¿Cuál es aproximadamente el volumen del
cono?
¿Cuál es el área lateral de un cilindro
circular recto, cuya altura es 15cm y el
perímetro de la base es 16p ?
El diámetro de la base de un cono circular
recto mide 10cm y la altura mide 12cm.
¿Cuál es el área total del cono?
La base de un pirámide es un cuadrado que
mide de lado 16cm y la altura de la
pirámide mide 15cm. ¿Cuál es el volumen
de la pirámide?
E
D
C
B
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
Ejercicios Adicionales
Si A y B son dos puntos de una
circunferencia de 20cm de diámetro y
centro P, tal que la cuerda AB mide 16cm,
entonces ¿Cuál es la distancia de P a dicha
cuerda?
Considere dos circunferencias
concéntricas que determinan una corona
circular de 2cm de ancho y 20cm2 de área,
entonces ¿Cuál es el radio de la
circunferencia menor?
Si los lados de dos polígonos regulares
semejantes están en la relación 7: 9 y el
área del polígono mayor es 324m2,
entonces ¿Cuál es el área del polígono
menor?
Si el área de un cuadrado es 100cm2,
entonces ¿Cuál es el área del círculo
circunscrito a ese cuadrado?
En un polígono regular el diámetro de la
circunferencia circunscrita mide 20cm,
entonces ¿Cuál es la medida del radio de la
circunferencia inscrita a ese polígono?
En un polígono regular cada ángulo interno
mide el doble de cada ángulo externo.
Hallar la cantidad de lados de dicho
polígono.
Si la apotema de un cuadrado mide 6cm,
entonces ¿Cuál es el área de la región
determinada por el cuadrado y la
circunferencia inscrita a él?
¿Cuál es el radio de una esfera inscrita en
un cubo de arista a?
46
A
De acuerdo con los datos de la figura
anterior, si CB =10, BD = 5, AE = 27 y
AB > BE , entonces ¿Cuál es la medida de
AB ?
Si cada uno de los ángulos internos de un
polígono regular mide 168º, entonces
¿Cuál es le número de vértices que tiene
dicho polígono?
¿Cuál es el perímetro de un polígono
regular de tres lados cuyo radio mide
10cm?
La base mayor de un trapecio mide 12cm.
Si la altura y la base menor son iguales y
su área es de 22,5cm2, entonces ¿Cuánto
mide su altura?
Si el volumen de una esfera es de 32p ,
entonces ¿Cuánto mide el radio de dicha
esfera?
Si el volumen de un cono es igual a 196p
y la altura del cono es 12, entonces
¿Cuánto mide el radio de la base?
En un polígono convexo en el que se
pueden trazar dos diagonales por vértice,
las medidas de los lados son números
enteros consecutivos. Si el lado menor
mide 5cm determine el perímetro del
polígono.
Si dos ángulos internos de un cuadrilátero
miden 115º y 80º, y los otros dos están en
relación 2:3, determine cuánto miden estos
dos.
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
Calcule el área lateral de un cono circular
recto en el cual la base es un círculo de
81p de área y la medida de la altura es
igual a la medida del radio de la base.
Considere un hexágono ABCDEF de
En la circunferencia de centro A de la
figura anterior se cumple que FH ? DE , y
los arcos menores DG y GF son
congruentes. Si m?HFE = 20º , calcule la
medida del arco menor GF.
En la figura anterior A, B y C son los
centros de las semicircunferencias menores
y DE es un diámetro de la circunferencia
de centro B. Si el área de la región
destacada es 6p . Calcule la medida de
BC
En la figura anterior suponga que BA y CD
son arcos menores de las circunferencias
concéntricas de centro P tales que
PA= 2AC y m?BPA=60º. Si el
perímetro del ?PAB es 3cm. Calcule la
medida del arco menor CD.
Las bases de un prisma recto son
hexágonos regulares de 10cm de lado.
Calcule el volumen y el área lateral del
prisma si la altura mide 8cm.
Si el diámetro de la base y la altura de un
cilindro circular recto miden 10cm. Calcule
el volumen.
47
centro P, en el cual L, M y N son los
puntos medios de los lados ED, BC y
AF respectivamente. Si MP = 6 3 ,
calcule el área y el perímetro del triángulo
?LMN .
En la figura anterior las rectas EH y HG
son tangentes en C y G respectivamente, a
la circunferencia de centro A y radio 10cm.
Si a =50º calcule el área de la región
destacada con negro.
Calcule el área total de una pirámide de
base cuadrada que tiene 10cm de altura y
120cm3de volumen.
En la figura anterior C es el centro de la
circunferencia, AB =16cm, AE = 20cm y
el arco EB mide 74º. Halle el área del
?ABC. Halle la longitud del arco menor
AB. Halle el área del sector circular
limitado por CB, CE y el arco menor BE.
= 2 y la longitud de
MP 1
E. Si AB =10cm y DC =
48
1
En la figura anterior E es el centro del
triángulo equilátero ABC de lado 12cm.
Halle el área del segmento circular
limitado por la cuerda AB y el arco menor
AB. Halle el área del anillo circular
limitado por ambas circunferencias.
En la figura anterior, O es el centro de la
circunferencia,m?CBA= 25º, m?EPD=60º
y la medida del arco AE es 70º, entonces
¿Cuál es la medida del arco AC?
Si C1 y C2 son circunferencias tangentes
exteriores en el punto M, de centros P y P2
respectivamente. Si
MP2
C1es 14p , entonces ¿Cuál es la longitud de
C2?
En la figura anterior AB es un diámetro y DC
es tangente en C a la circunferencia de centro
DA, entonces
3
2
¿Cuál es la medida de DC ?
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DB y AC son cuerdas de una misma
circunferencia que se cortan en un punto M.
Si AM =3cm, BM =8cm y MD=6cm,
entonces ¿Cuál es la medida de MC ?
En un polígono regular cada ángulo central
mide 18º, entonces ¿Cuánta cantidad de
diagonales se pueden trazar desde cada
vértice?
¿Qué nombre recibe el polígono regular en
cual se pueden trazar un total de 54
diagonales?
En un polígono regular cada lado mide
12cm y la longitud de la circunferencia
circunscrita es 16p , entonces ¿Cuál es el
diámetro de la circunferencia inscrita a
dicho polígono?
¿Cuánto mide la apotema de un triángulo
equilátero de 36 3cm2 de área?
¿Cuánto mide el radio de la circunferencia
inscrita en un cuadrado de 60cm2 de área?
En dos nonágonos regulares los lados miden
3bcm y bcm respectivamente. Si el primero
de ellos tiene un área de 45cm2 entonces
¿Cuál es el área del segundo?
En un cubo la diagonal de cada cara mide
6cm , entonces ¿Cuál es el área total del
sólido?
En una caja de base rectangular sin tapa las
dimensiones de la base están en la razón 2:3
y la altura mide 5dm. Si el volumen del
paralelepípedo es 270dm3, entonces ¿Cuál
es el perímetro de la base?
En una pirámide recta de base octogonal
regular las aristas laterales miden 10cm y la
altura de cada cara lateral de la pirámide
mide 8cm, entonces ¿Cuál es el
semiperímetro de la base?
p
Si en un cono circular recto de 15cm de
altura la base tiene un área 64p , entonces
¿Cuánto mide el área lateral del cono?
En una esfera de área Acm2 y volumen V
cm3 se cumple que A= 27V , entonces
¿Cuánto mide el radio de la esfera?
2
Un líquido ocupa las partes de un
3
recipiente cilíndrico circular recto de 10cm
de altura y 9cm de radio. Si se extraer la
tercera parte del contenido del recipiente,
entonces ¿Cuánto liquido queda aún en el
recipiente?
Un cubo de arista ay un cono de radio r
tienen igual volumen. Si en el cono la altura
mide igual que el radio, entonces ¿Cuánto
mide el radio del cono en función de la
arista del cubo?
Si una cara lateral de una pirámide
cuadrangular tiene un área de 24cm 2 y cada
lado de la base mide 4cm, entonces ¿Cuál es
el volumen de la pirámide?
Si la longitud de la circunferencia en la que
está inscrito un pentágono regular es ,
4
entonces ¿Cuál es aproximadamente el
perímetro del pentágono?
Si la medida de la apotema de un hexágono
regular es
3 3
2
, entonces ¿Cuál es la
medida de cada lado del hexágono?
Hallar el perímetro de un polígono regular
de tres lados cuyo radio mide 10cm.
Si el área de un triángulo equilátero es
9 3cm2, entonces ¿Cuánto mide el radio de
la circunferencia circunscrita a dicho
triángulo?
49
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
La medida de la altura de un cilindro
circular recto es 10. El área de la base es
36p , entonces ¿Cuál es el área lateral de
dicho cilindro?
En la figura anterior el ?ABC es un
triángulo equilátero y MNTPQR es un
hexágono regular, E es el centro de ambos
polígonos y F es el punto medio de CB. Si
el segmento EC mide 2 3cm, entonces
¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero
MCBR?
Las bases de un trapecio isósceles miden
16cm y 22cm, si los lados iguales miden
5cm, entonces ¿Cuál es el área del trapecio?
Si el radio de un octágono regular mide
6cm, entonces ¿Cuál es el área del
octágono?
¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo
central mide 30º?
Si el diámetro de una esfera se reduce en 2,
el área total de la esfera resultante es 16p ,
entonces ¿Cuál es el volumen de la esfera
original?
Considere la circunferencia anterior de
centro O y radio 12,5cm. Si hay un
rectángulo ABCD inscrito en la
circunferencia, de modo que la medida de
sus lados está en la razón 3:4, entonces
¿Cuál es el área de la región sombreada?
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
Si la altura de un cono es 8cm y la longitud
de la circunferencia de la base es 12p ,
entonces ¿Cuál es el área lateral de dicho
cono?
En un prisma recto la base es un decágono
regular. Si el área lateral del prisma es 120
cm2 y el perímetro de la base es 60cm,
entonces ¿Cuál es la altura del sólido?
La diagonal de la cara de un cubo mide
10cm, entonces ¿Cuál es la diagonal de
dicho cubo?
Observe la circunferencia de centro O de la
figura anterior. Considere que la recta PB es
tangente a la circunferencia y la recta PC es
secante a ella; además el arco menor
determinado por los puntos B y E mide 50º,
?BPD mide 15º. ¿Cuál es la medida del
arco menor determinado por los puntos B y
D?
El área de un sector circular es 18p . Si el
arco que subtiende este sector mide 45º,
entonces ¿Cuál es la medida del diámetro de
la circunferencia?
50
Observe la figura anterior. Considere que la
recta PB es tangente, en B, a la
circunferencia de centro O y la recta OP es
secante a la circunferencia. Si el radio de la
2
3
circunferencia mide 10cm y PA =
PB ,
Considere la circunferencia de centro O. La
recta BC es tangente a la circunferencia por
el punto B y la recta BE es secante a la
circunferencia. Si m?PBC = 75º ,
m?APE =155º y la medida del arco menor
ED es 30º, entonces ¿Cuál es la medida del
arco menor AE?
En una circunferencia de radio 10cm,
considere el segmento circular determinado
por una cuerda congruente al radio. Halle el
área del segmento circular.
x
C
B
y
D
E
A
O
D
C
P
E
W
Considere las circunferencias tangentes
externas de la figura anterior. El triángulo
AEB es rectángulo en E. El radio AC mide
10cm y el radio BD mide 7cm. Si EB mide
igual al radio de la circunferencia de centro
A, entonces ¿Cuál es el valor numérico de x
?
B
P
O
C
B
A
entonces ¿Cuál es la medida de PB?
G
D
P
O
F
A
H
E
Considere la figura anterior. En la
circunferencia de centro A, FH ? AE , y los
arcos menores DG y FE son congruentes. Si
m?HFE = 25º , entonces ¿Cuál es la
medida del arco mayor GF?
E
D
C
B
A
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
ella y m?CAB =
1
2
m?ACB . Si el arco
Los segmentos CD y AB son cuerdas de
una circunferencia de centro O. AB está a x
cmdel centro y CD a 2xcmdel centro. Si el
radio mide 10cm y AB =18cm, entonces
¿Cuál es la medida de CD?
Las cuerdas AC y CB son congruentes y la
recta BD es tangente a la circunferencia en
el punto B. Si el arco menor AB mide 90º,
entonces ¿Cuál es la medida del ?CBD?
¿Cuál es el volumen de un cilindro circular
recto circunscrito a un cono circular recto de
volumen 150cm3?
En un plano, un punto se localiza a 12cm del
centro de una circunferencia de 15cm de
radio, entonces ¿Cuánto mide la menor
cuerda que pasa por ese punto?
En la figura anterior, AB es un diámetro y
mide 24cm, BD mide 4cm y CD ? AB ,
entonces ¿Cuál es la medida de CD?
El área de un sector circular es 36p , si su
radio mide 9cm, entonces ¿Cuál es la
medida de su ángulo central?
El área de un sector circular es 40p , si su
ángulo central mide 30º, entonces ¿Cuál es
la longitud de su arco?
x
2x
D
C
B
Considere la circunferencia de la figura
anterior. El triángulo ABC está inscrito en
A
P
Si el arco mayor AB mide 250º, y además se
cumple que ?BPF ? ?CPA y los ángulos
?DPE y ?BPF están a razón 3:2,
entonces ¿Cuál es la medida del ?FPC?
51
E
D
C
ADC mide 210º, entonces ¿Cuál es la
m?ACB?
Considere las circunferencias concéntricas
en O de la figura anterior. Si los radios de
las circunferencias están a razón 5:3 y
AF =6cm, entonces ¿Cuál es la medida del
radio de mayor longitud? Si m?AOH =60º
y los radios de las circunferencias miden
24cm y 30cm, entonces ¿Cuál es el área de
la región destacada con negro?
F
B
O
A
3p
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
Considere la circunferencia anterior de
centro O. Si la medida del ?BAC =84º y la
medida ?AFB = 40º, entonces ¿Cuál es la
medida del ángulo ?FCD? Si la medida del
ángulo ?AED=30º y la medida del ángulo
?AFD=130º, entonces ¿Cuál es la medida
del arco mayor AD?
En la figura anterior, BC , CD, DE y EF
son cuerdas congruentes de la circunferencia
de centro O. Si el ?BAF es recto y el arco
menor AB mide 100º, entonces ¿Cuál es la
medida del arco AFE?
Considere la figura anterior donde O es el
centro de la circunferencia. Si OC mide 5cm
y la longitud del arco menor CE es cm,
2
entonces ¿Cuál es la medida del ?CDE?
En la figura anterior A, Y y W son,
respectivamente, los centros de las
circunferencias. Si B es el punto medio de
AW y AB = 2cm, entonces ¿Cuál es el
área de la región sombreada?
En la figura anterior, L es el centro de ambas
circunferencias. La medida del
?KLP =120º. Si los radios de las
circunferencias miden, respectivamente,
6cm y 9cm, entonces ¿Cuál es el área de la
región sombreada
Considere la circunferencia en la que AM
es un radio y la recta tangente a la
circunferencia en E es paralela a la recta BC. Si el ángulo ?BEM = 25º y el arco menor
ED mide 100º, entonces ¿Cuánto mide el ?CBD?
Si en un polígono regular se pueden trazar un total de 20 diagonales, entonces ¿Cuánto
mide cada ángulo externo de ese polígono?
52
Prof. Hernán Víquez Céspedes—Universidad de Costa Rica
53
AB . Si
BC = 4cmy
AB =15cm,
En la figura anterior, C es el centro de la
circunferencia y
AC ? BC , entonces
¿Cuál es
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