Sobre a Natureza Físico-Matemática do Elétron (página 2)

sendo r a distância de P a Q. Definirei ainda os campos xi e bi, de um elétron i, relacionados ao que chamarei efeitos elétrico (x) e magnético (b), por:

sendo que Ó opera entre dois vetores originando um terceiro quantificado pelo produto escalar ou interno entre os mesmos, e cuja direção é a do segundo vetor, ou seja, aquele que, na expressão considerada, aparece à direita de  Ó . Direi então que xi é o produto vetorial interno entre os vetores Ñj i e i e, afim de evitar confusões, direi que bi é o produto vetorial externo entre os mesmos vetores, conquanto seja, nada mais, nada menos, que o produto vetorial clássico.

É interessante observar que a função j , dada por (1), goza das seguintes propriedades:

ou seja, é possível definir um vetor tal que

Desenvolvendo as expressões (2) relativas aos produtos vetoriais xi e bi obtém-se:

Existem, em teoria, dois agrupamentos infinitesimais de eletrons extremamente interessantes:

a) o elemento de superfície da povoado por dn = s da eletrons cujos são paralelos entre si e perpendiculares à superfície;

b) o elemento de volume dV povoado por dn = r dV eletrons também paralelos entre si.

Decorre de (5), e admitindo-se a validade do princípio de superposição, que os campos de efeitos elétricos dx e magnéticos db das populações infinitesimais assim definidas, são:

a) Elemento de Superfície

b) Elemento de Volume

Os elementos da e dV, da maneira como foram definidos, representam uma ponte entre o microcosmo, ou o mundo das partículas elementares, e o universo no qual as equações de Maxwell adquirem importância prática. Desta forma, se pensarmos numa superfície esférica fechada composta por elementos da, obtemos, pela integração das expressões (6a) um campo b  = 0 e um campo x matematicamente idêntico ao campo E de uma carga coulombiana, quando no exterior da esfera [4]. Por outro lado, se efetuarmos a integração de dV dado por (6b), para um fio retilíneo e de espessura infinitesimal e tal que os se orientem segundo seu eixo, chegaremos a um campo x  = 0 e a um campo b matematicamente idêntico ao campo B da lei de Ampère-Laplace. Apesar deste parentesco matemático deve-se notar que os campos x e b de quaisquer agrupamentos de eletrons são conceitualmente, e portanto físico-matematicamente, distintos dos campos E e B da teoria de Maxwell.

Conforme visto no parágrafo anterior, é possível se pensar numa carga elétrica coulombiana, em particular aquela localizada num condutor esférico, como sendo redutível a elementos infinitesimais da cujo campo dx é dado por (6a). Isto, por si só, sugere a existência real do campo x, bem como nos estimula a evoluir um pouco mais no sentido da matemática à física. Com efeito, e até o momento, assumimos a validade de uma série de equações sem nos preocuparmos com os referenciais nos quais as mesmas são descritas. Pode-se no entanto perceber que tais equações se mostram consistentes apenas no referencial do laboratório de Coulomb, ou seja, naquele em que vivemos. Mas não é esse o mesmo referencial em relação ao qual Newton deduziu suas leis da mecânica? Ou, se quisermos ser mais rigorosos, as leis de Newton não são válidas num referencial muito próximo daquele em que vivemos, e ao qual se convencionou chamar referencial inercial? Mas o que é um referencial inercial? Direi que um referencial inercial é aquele no qual um elétron, que mantenha constantes suas características P e   gera campos x e b [5] dados pelas equações (5).

A título de brevidade, chamarei por referencial próprio àquele no qual o elétron em estudo mantém P e constantes. Este é o referencial apropriado para a análise matemática do campo eletromagnético do elétron posto que o mesmo é função de K, e Em particular, se o referencial próprio for um referencial inercial, o campo eletromagnético do elétron é função apenas destas três variáveis, conforme se pode avaliar pelo estudo das equações (5). Pode-se também dizer, com restrições, que o referencial próprio é aquele no qual o elétron está em "repouso"; as restrições justificam-se, tendo em vista que não foram explicitadas hipóteses sobre a estrutura interna do elétron. Conseqüentemente, este "repouso" não leva em consideração uma possível estrutura dinâmica para o elétron.

Os referenciais próprios não inerciais [6] subdividem-se em duas categorias:

• a. aqueles nos quais o campo eletromagnético é função periódico-estacionária do tempo; constituem exemplos importantes os campos produzidos por eletrons ou protons constituintes de átomos e moléculas em suas configurações estáveis.

• b. aqueles nos quais o campo eletromagnético é uma função não periódico-estacionária do tempo; dizemos, nestas condições, que o elétron emite radiação eletromagnética.

É de se notar que a teoria de Maxwell não comporta este tipo de classificação para os referenciais.

No restante deste artigo, salvo disposição em contrário, admitirei que os referenciais próprios considerados são inerciais. Convém, então, distinguir duas condições particulares:

3.1. Observador situado no referencial próprio (inercial):

Neste caso os campos x e b estão bem definidos. Destaca-se, em oposição ao eletromagnetismo clássico, a existência de um campo de efeitos magnéticos originado por agentes causais em "repouso". Observa-se ainda que o parentesco matemático entre o campo dB de um elemento de corrente (lei de Biot-Savart) e o campo db do elemento de volume dV dado por (6b) não é fortuito. Ao que tudo indica, e ao contrário do que afirma a teoria dos eletrons livres de Drude e Lorentz [7], o campo dB de um elemento de corrente, a exemplo de db , depende da "densidade de carga eletrolítica do circuito", ou seja, do número de partículas efetivamente transportadas por unidade de volume, e não da velocidade dos agentes causais. Os possíveis efeitos relativísticos, no sentido clássico do termo, são desprezíveis no que tange à gênese destes campos.

O escalar K, da expressão (1), parece conter segredos relacionados aos referenciais inerciais, que somente a física experimental pode decifrar. Seria extremamente interessante verificar se o seu valor absoluto, uma vez definido, permanece ou não idêntico, qualquer que seja o referencial inercial considerado. A variabilidade de K seria um indício fortemente sugestivo a corroborar a intuição de Newton quanto à existência de um referencial absoluto.

3.2 Observador situado em referenciais inerciais impróprios:

De acordo com a teoria de Maxwell, e seguindo a nomenclatura adotada neste artigo, o campo magnético B é uma exclusividade dos referenciais impróprios. Como vimos, isto não ocorre com b e, portanto, não há porque nos preocuparmos com justificativas sobre sua suposta origem relativista. O importante é notar que x e b estão interligados através de j   e equações (2) ,¾ e, conseqüentemente, caso ocorra a modificação de um destes campos, quando da mudança de referencial, é de se esperar que o efeito tenha repercussão sobre o outro.

Os campos x e b, quando observados de referenciais impróprios, manifestam um efeito que se relaciona a um fenômeno descrito por Liénard (1898) e Wiechert (1900) para os potenciais da teoria de Maxwell. Este efeito deve ser analisado com extrema cautela posto que x e b são funções de duas variáveis: j   e Ambas contribuições são interessantes, porém aquela devida a assume extrema importância epistemológica, visto ser a que, ao não ser levada em conta, gera conseqüências funestas para a física clássica. A desconsideração desta parcela, a meu ver, colocou em evidência a pedra fundamental sobre a qual se apoiou a teoria da relatividade de Einstein. Vamos então, e por etapas, evoluir o modelo matemático apresentado, em busca da justificação do efeito Liénard-Wiechert.

Em virtude de o campo (x, b), do elétron, poder ser expresso em termos de gradiente de uma função de posição j , podemos conjecturar sobre a existência real de "alguma coisa" emitida pelo elétron, a que chamarei informação eletromagnética (i.e.m), e que se propaga para o espaço circunvizinho. O caráter de j , dado por (1), sugere ainda mais: que as i.e.m., uma vez emitidas, se conservam, a menos que surja um sorvedouro em seu caminho. Em outras palavras, direi que o elétron é uma fonte emissora de i.e.m. e tal que o fluxo de i.e.m. que atravessa uma superfície qualquer se identifica com o fluxo de um campo vetorial h dado por

Está implícito, nestas considerações, que h é do tipo

sendo r um invariante que representa a densidade local de i.e.m., e c é a velocidade com que as mesmas se propagam no referencial próprio. Conseqüentemente, h se transforma segundo a expressão

com c' = c + v, em que v é a velocidade do elétron emissor, quando observado do referencial impróprio considerado.

Vejamos agora como se transforma. Seja então um observador, situado em um ponto Q de um referencial inercial, e um elétron movendo-se, em relação a este referencial, com uma velocidade v constante. Direi, então, que o versor se manifesta ao observador em Q sob a forma de um outro versor ", ou seja, sofre uma aberração, conservando o seu módulo unitário. Para o cálculo desta aberração, observados os pontos chaves definidos na figura 1, deve-se proceder da seguinte forma:

a) determinar o ponto P', admitindo-se que "o campo se propaga" radialmente a uma velocidade c, quando analisada do referencial próprio;

b) unir os pontos P, P' e Q;

c) traçar por P um tronco de cone com vértice em P e que contenha em sua superfície, e com eixo na direção

d) transladar o cone juntamente com para P';

e) rotacionar o cone em torno de P' e segundo um eixo perpendicular ao plano da figura ¾  plano PP'Q ¾ até que o eixo do cone se situe na direção

f) o versor obtido por esta rotação de é o versor  ".

Conhecidas as transformações conformes para h e podemos desprezar os apóstrofos e assumir que os campos x e b de um elétron se expressam matematicamente sob formas idênticas dadas por

seja nos referenciais próprios, seja nos referenciais impróprios. Decorre então de (10) que, qualquer que seja o referencial inercial considerado, a soma é uma função relativística clássica de posição:

De posse das transformações conformes, vamos agora analisar em que consistiria, para um elétron, o efeito observado por Liénard e Wiechert para cargas elétricas. O campo (x,b), para o elétron da figura 1, de acordo com (8), (9) e (10), pode ser expresso por:

Com o auxílio destas expressões e da figura 2, verifica-se que, se não houvesse a aberração de o campo (x', b') seria, no ponto Q, idêntico ao campo próprio que aí seria observado caso o elétron ocupasse o ponto A; ou então, como se o elétron estivesse em P' emitindo i.e.m. a uma taxa aparentemente mais elevada que a real (ou aquela observada no referencial próprio). O efeito seria análogo ao efeito Doppler da física ondulatória.

A idéia de um elétron em A não deve ser levada muito a sério. Com efeito, se recuarmos alguns parágrafos e analisarmos a maneira como o triângulo PP'Q foi construído, constataremos que, para qualquer outro ponto da vizinhança de Q, o ponto A da figura 2 não tem o mesmo significado, e, conseqüentemente, conquanto a analogia Doppler seja válida, a imagem em A tem apenas caráter especulativo, carecendo de significado físico-matemático.

O fenômeno complica-se um pouco mais graças à aberração de Existem dois casos interessantes e particularíssimos:

a) Aquele em que no referencial próprio, ocupa a direção Neste caso, no que diz respeito a x , o ponto de identidade, acima descrito como A, desloca-se para B, ponto este mostrado na figura 3; além disso, o elétron imagem gira de um ângulo g , ou seja, ' ocupa a direção Esta imagem também não resiste à crítica apontada anteriormente. Não obstante, se quisermos raciocinar em termos de efeito Doppler, devemos efetuar uma correção relativística devida à aberração de No que diz respeito a b , estamos frente a um limite impróprio: A sofre um deslocamento infinito, e a correção relativística é tal que a analogia Doppler se singulariza. Com efeito, b' = 0 (não apenas em Q, mas também em qualquer ponto de seu domínio que intercepte a reta que contém P e Q), tendo em vista que h' e ' são perpendiculares.

b) Aquele em que ', no referencial próprio, é perpendicular a Neste caso x e b trocam os seus papéis em relação ao comentado no caso anterior.

1BUNGE, M. (1982), Filosofia de la Fisica, Editorial Ariel, Barcelona, p.11.

2 KUHN, T. S., A Função do Dogma na Investigação Científica, em A Crítica da Ciência, Jorge Dias (org.), Texto n.° 2, Zahar Editores, Rio, 1974, pp.53-80.

3 MESQUITA F°., A. (1993), A Equação do Elétron e o Eletromagnetismo, Editora Ateniense, São Paulo.

4 MESQUITA F°., A. (1993), op.cit., pp. 99-102.

5 A idéia de definir referenciais inerciais a partir das equações de campo, é antiga. Não obstante, esta prática, conquanto essencial, não é muito enfatizada em livros de texto, posto que as teorias clássicas de campo têm-se mostrado, a esse respeito, incompatíveis entre si (o leitor poderá encontrar algo a respeito em BUNGE, M., Controversias en fisica, Editorial Tecnos S.A., Madri, pp. 88-92, ou então nos vários trabalhos que procuram justificar o nascimento da física relativista).

6 Dizer que um elétron está em "repouso" em relação a um "referencial não inercial" é o mesmo que dizer que ele está sob a ação de forças newtonianas quando observado de um referencial inercial newtoniano.

7 Este assunto é discutido em detalhes no livro citado na referência 3, pp. 27-31.

Integração II(4):26-30,1996Direitos autorais requeridosReprodução proibida para fins comerciais

Autor:

Alberto Mesquita Filho

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