"O objectivo deste
trabalho é divulgar alguns resultados recentes, elegantes e pouco divulgados sobre geometria euclidiana, que apesar da sua já longa história continua ainda a revelar-se uma fonte inesgotável de investigação. Basta ler algumas das propriedades apresentadas para perceber que com um pouco de criatividade e astúcia é possível criar resultados admiráveis".
A geometria, nomeadamente a geometria euclidiana continua a dar que falar e a fazer com que inúmeros matemáticos espalhados pelo mundo se continuem a deslumbrar com os seus encantos. Com base nesta ideia, o professor Rui Pacheco propôs-me a realização deste trabalho, baseado no livro "Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Eulidean Geometry" de Ross Honsberger.
Temos como objectivo divulgar alguns resultados recentes, elegantes e pouco divulgados sobre geometria euclidiana, que apesar da sua já longa história continua ainda a revelar-se uma fonte inesgotável de investigação. Basta ler algumas das propriedades apresentadas para perceber que com um pouco de criatividade e astúcia é possível criar resultados admiráveis.
Este trabalho encontra-se dividido em duas partes. Numa primeira parte abordamos de forma pormenorizada o 1º capítulo (Cleavers and Splitters) do livro referido. Elaboramos as demonstrações apresentadas no livro, explicando com detalhe algumas passagens omissas no mesmo. Nem sempre se seguiu a mesma metodologia do autor, de qualquer modo o essencial foi sempre preservado. Na segunda parte deste trabalho apresentamos a nossa resolução de alguns exercícios propostos pelo autor.
Teorema 1: Sendo M o ponto médio do arco ACB no semi-circulo
ABC, e sendo MD perpendicular ao maior dos lados entre AC e BC, (no nosso
exemplo AC). Então D divide ao meio o caminho poligonal ACB, ou seja,
Figura 1
Figura 2
Demonstração:
Comecemos por prolongar AC até
F, de modo que . Assim, o triângulo
CFB é isósceles (pois tem dois lados iguais).
Sendo assim, os ângulos da base são
iguais a
.
Logo
,
porque
. Tracemos agora a circunferência
que passa pelos pontos A, B e F, ou seja, a circunferência circunscrita
ao triângulo ABF, a que vamos chamar
.
Esta circunferência terá o seu centro na intersecção
das mediatrizes dos lados do triângulo ABF, isto é, algures na
recta MH, sendo MH a mediatriz do lado AB (ver figura 2). Ora pelo Teorema
do arco capaz ( )
concluímos que o centro da circunferência
que passa pelos pontos A, B e F só pode ser o ponto M, vejamos que
M pertence à mediatriz do lado AB e o arco AB subtende um ângulo
que é duas vezes o ângulo
subtendido
AFB, ou seja,
e
sendo
o arco AB o arco subtendido pelos dois ângulos, logo nestas condições
a única conclusão que podemos tirar é que M é
o centro da circunferência
.
Assim, em
, MD é perpendicular
desde o centro de
até
à corda AF, isto é, MD é apótema ()
da corda AB. Como numa circunferência, a perpendicular baixada do centro
para uma corda divide-a ao meio, assim como os arcos que ela subtende, vemos
que o ponto D é o ponto médio da corda AF e daí resulta
que:
. Então
,
e como,
, temos que:
,
o que completa a demonstração.
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