Geometría - poMonografia - Cleavers and Spliters 2007/2008

Enviado por Ricardo Filipe Marques Portugal

1. Resumo
2. Introdução
3. Teorema de Arquimedes ou Teorema da corda quebrada
4. Cleavers
5. O triângulo médio
6. Centro de massa de um sistema
7. A Circunferência de Spieker
8. Spliters
9. O Ponto de Nagel ou Centro Splitting
10. A circunferência dos nove pontos
11. Recta de Euler
12. O ponto de Nagel e a circunferência Spieker
13. Breves noções sobre dilatações
14. Propriedades adicionais
15. Resolução de exercícios
16. Bibliografia

Introdução

A geometria, nomeadamente a geometria euclidiana continua a dar que falar e a fazer com que inúmeros matemáticos espalhados pelo mundo se continuem a deslumbrar com os seus encantos. Com base nesta ideia, o professor Rui Pacheco propôs-me a realização deste trabalho, baseado no livro "Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Eulidean Geometry" de Ross Honsberger.

Temos como objectivo divulgar alguns resultados recentes, elegantes e pouco divulgados sobre geometria euclidiana, que apesar da sua já longa história continua ainda a revelar-se uma fonte inesgotável de investigação. Basta ler algumas das propriedades apresentadas para perceber que com um pouco de criatividade e astúcia é possível criar resultados admiráveis.

Este trabalho encontra-se dividido em duas partes. Numa primeira parte abordamos de forma pormenorizada o 1º capítulo (Cleavers and Splitters) do livro referido. Elaboramos as demonstrações apresentadas no livro, explicando com detalhe algumas passagens omissas no mesmo. Nem sempre se seguiu a mesma metodologia do autor, de qualquer modo o essencial foi sempre preservado. Na segunda parte deste trabalho apresentamos a nossa resolução de alguns exercícios propostos pelo autor.

Teorema de Arquimedes ou Teorema da corda quebrada

Teorema 1: Sendo M o ponto médio do arco ACB no semi-circulo ABC, e sendo MD perpendicular ao maior dos lados entre AC e BC, (no nosso exemplo AC). Então D divide ao meio o caminho poligonal ACB, ou seja,



Figura 1



Figura 2

Demonstração: Comecemos por prolongar AC até F, de modo que . Assim, o triângulo CFB é isósceles (pois tem dois lados iguais). Sendo assim, os ângulos da base são iguais a . Logo , porque . Tracemos agora a circunferência que passa pelos pontos A, B e F, ou seja, a circunferência circunscrita ao triângulo ABF, a que vamos chamar . Esta circunferência terá o seu centro na intersecção das mediatrizes dos lados do triângulo ABF, isto é, algures na recta MH, sendo MH a mediatriz do lado AB (ver figura 2). Ora pelo Teorema do arco capaz ^{( )} concluímos que o centro da circunferência que passa pelos pontos A, B e F só pode ser o ponto M, vejamos que M pertence à mediatriz do lado AB e o arco AB subtende um ângulo que é duas vezes o ângulo subtendido AFB, ou seja, e sendo o arco AB o arco subtendido pelos dois ângulos, logo nestas condições a única conclusão que podemos tirar é que M é o centro da circunferência . Assim, em , MD é perpendicular desde o centro de até à corda AF, isto é, MD é apótema ⁽⁾ da corda AB. Como numa circunferência, a perpendicular baixada do centro para uma corda divide-a ao meio, assim como os arcos que ela subtende, vemos que o ponto D é o ponto médio da corda AF e daí resulta que: . Então , e como, , temos que: , o que completa a demonstração.

Cleavers