Cinemática de manipuladores

Nota: - Algumas equações contidas neste texto podem não ser visualizadas corretamente em alguns

editores/leitores de arquivos do tipo DOC. Uma versão no formato PDF juntamente com os M-Files

para a demonstração do "Método SCM", podem ser obtidos no site:

1 - INTRODUÇÃO

Normalmente nossos estudos em robótica se iniciam pela cinemática de robôs manipuladores. Para prosseguirmos, devemos assimilar conceitos como cinemática direta, cinemática inversa, matriz jacobiana, entre outros. Entretanto, o domínio destes conceitos depende de outros dos quais o fundamental, transformações homogêneas, é totalmente dependente das convenções de Denavit e Hartenberg.

Este é justamente o componente de maior complexidade para os iniciantes: - O algoritmo para a obtenção dos parâmetros DH, aliado à falta de exemplos justamente daquele modelo que queremos desvendar. Alguns autores despertam nossa curiosidade, ao comentar que poderíamos dispor os sistemas coordenados na estrutura dos robôs de uma forma totalmente aleatória. Não mostram, porém, como fazê-lo.

Este texto apresenta o "método SCM" (Sistema Coordenado Móvel) como uma forma alternativa para o estudo da cinemática de um robô manipulador e também de obter os parâmetros DH. Para este fim será de fundamental importância a utilização do toolbox "Symbolic Math" do MATLAB.

As ilustrações e descrições seguintes constituem apenas informações que não pretendem ser completas. A pequena revisão sobre o tema transformações homogêneas deve servir apenas para uma melhor compreensão dos termos utilizados e das idéias que originaram o "método SCM".

2 – TRANSFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS

2.1 – NOÇÕES BÁSICAS

Transformações (rotações e/ou translações) homogêneas (H) são representadas por matrizes 4x4. Em robótica, uma de suas interpretações traduz matematicamente as informações contidas na figura abaixo:

Figura 1: Relação entre dois referenciais

O sistema coordenado é expresso com relação ao sistema coordenado de referência , com sua origem localizada por um vetor posição :

Os elementosda matriz H formam a Matriz de Rotação(R) e representam a projeção de cada eixo do sistema coordenado sobre cada eixo do sistema coordenado :

A matriz H pode ser obtida pelo produto de uma Translação Homogênea(HT) por uma Rotação Homogênea(HR). A ordem dos fatores é muito importante já que, nos casos gerais, este produto não é comutativo:

Expandindo-se um pouco mais chegaremos aos seis graus de liberdade (6 DOF) possíveis em um sistema coordenado tridimensional:

onde utilizamos a notação simplificada (aplica-se o mesmo às variáveis b e c) e, . Os fabricantes de robôs manipuladores comerciais normalmente não representam um sistema coordenado (frame) como o indicado em mas, como uma matriz 1 x 6, com seus elementos executando as operações descritas em :

2.2 – TRANFORMAÇÕES HOMOGÊNEAS INVERSAS

2.3 – COMUTATIVIDADE

Sabemos que o produto entre translações (HT) é comutativo e entre as rotações (HR), não. O produto entre translações e rotações, apresenta uma comutatividade quase nunca mencionada:

- As transformações consecutivas sobre um mesmo eixo! Confira:

Um pouco mais adiante, veremos que através dos parâmetros DH ditos clássicos (standard) ou modificados, podemos obter a relação entre os frames conforme abaixo:

2.4 – REVISÃO DOS TERMOS UTILIZADOS