Somat´rios: propriedades e exerc´ o ıcios
Consideremos a seguinte soma:
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 .
Existe uma forma abreviada de representar esta soma, recorrendo a um s´ ımbolo, que designamos por s´ ımbolo de somat´rio . Assim a soma anterior, passa a poder representar–se o por
10

k2 , k=1 que se lˆ: somat´rio desde k = 1 at´ 10, de k 2 . A letra k diz–se o ´ e o e ındice da soma (ou do somat´rio) e pode ser substitu´ por qualquer outra (que n˜o intervenha na soma), como o ıda a por exemplo: i, j, l, m, n, p, etc. Diz–se assim que k ´ um ´ e ındice mudo. O simbolo
´a
e letra grega sigma mai´sculo do alfabeto grego. u Mais geralmente, a soma ap + ap+1 + · · · + an , n i=p

pode …exibir mais conteúdo…

2
2

Exerc´ ıcio. Prove que n k2 = k=0 n(n + 1)(2n + 1)
.
6

Sugest˜o: Tenha em conta que (k + 1)3 − k 3 = 3k 2 + 3k + 1, a propriedade telesc´pica e a o o resultado do Exemplo 5).
Proposi¸˜o. Sejam m, n, ∈ N, ai ∈ R, para i= m, · · · , n. Tem–se ca n+p

n

a)

ak = k=m n

b)

ak−p ,

ak = k=m p ∈ Z.

k=m+p
−m

a−k . k=−n Demonstra¸˜o. Vejamos a prova de a). ca n

ak

= am + am+1 +