Apostila de Cálculo I

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Apostila de Cálculo I

Limites

Diz-se que uma variável x tende a um número real a se a diferença em módulo de x-a tende a zero. ( x ≠ a ). Escreve-se:
Exemplo : Se x =

x → a ( x tende a a).

1
, N = 1,2,3,4,.. . quando N aumenta, x diminui, tendendo a zero.
N

Definição:

lim f(x) é igual a L se e somente se, dado x → a e ε 〉 0 , existe δ 〉 0 tal que se x →a

0 〈 x - a 〈 ε então f (x) - L 〈 δ .

Propriedades:
1. lim C = C ( C = constante) x →a

2. lim [f (x) ± g (x) ] = lim f (x) ± lim g (x) x →a

x →a

x →a

3. lim [f (x) . g (x) ] = lim f (x) . lim g (x) x →a

4. lim [f (x) ] x →a

x →a

n

= lim f (x)
 x →a


x →a

n

lim f (x)
 f (x)  x →a
5. lim 
=
 x →a  g (x)  lim g (x) x →a

6. lim n f (x) = n lim f (x) x →a

x →a

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Apostila de Cálculo I limf (x)
7. lim C f (x) = C x →a

, C = Constante

x →a

8. lim logb f (x) = logb lim f (x) x →a

x →a

9. lim P (x) = P (a) onde P (x) é uma função polinomial x →a

10. Quando f (x) ≤ h (x) ≤ g (x) , ∀x → a e

lim f (x) = L = lim g (x) , então lim h (x) = L x →a

x →a

x →a

Exemplos:
1) lim (3x + 4) = 3. 2 + 4 = 10 x →2

2) lim x →2

x 2 − 4 22 − 4 0
=
= indetermin ado
2−2 0 x −2

lim x →2

3) lim

x2 − 4
(x + 2)(x − 2) = (x + 2) = 4
= lim lim x −2 x−2 x →2 x →2

(x + 2)

x →0

= lim x →0

2

x

x →0

lim

-

(x + 2)

-

2

x


= lim  x →0 


1

( (x + 2) +

0+2 − 2
=
0

=

2

)

=

2− 2 0
= indetermin ado
0
0

( (x + 2) - 2 ).( (x + 2) +
x.( (x + 2) + 2 )
1
2+ 2

=

1
2 2

=

3

2
4