Aplicações da Derivada
1 – Interpretação cinemática da derivada

Aceleração. De forma análoga ao conceito de velocidade vem o de aceleração: Vamos agora interpretar a derivada do ponto de vista da cinemática, que estuda o movimento dos corpos. Veremos que a velocidade e a aceleração de um corpo podem ser determinadas através das derivadas de primeira e segunda ordem, respectivamente, quando conhecemos a função horária do movimento do corpo.

A aceleração média do corpo no intervalo de tempo t e t + Δt é definida por

Velocidade. Considere um corpo que se move em linha reta e seja s=s(t) a sua função horária, isto é, o espaço percorrido em função do tempo. O deslocamento do corpo no intervalo de tempo t e t + Δt é

A aceleração instantânea do corpo no instante t é definida por

definido por Δs = s(t + Δt)− s(t).
A velocidade média do corpo neste intervalo de tempo é definida por:

A velocidade média do corpo não dá uma informação precisa sobre a velocidade em cada instante do movimento no intervalo de tempo t e t + Δt . Para obtermos a velocidade instantânea do corpo no instante t, precisamos calcular a velocidade média em intervalos de tempo cada vez menores, isto é, fazendo Δt →0 .
A velocidade instantânea do corpo no instante t é definida por:

A velocidade instantânea v(t) é a primeira derivada da função horária s(t).

Como v(t) = s´(t) podemos escrever a aceleração instantânea como a segunda derivada dos espaço em relação ao tempo. Assim a(t) = s´´(t).

Exemplos:
a)