Lógica matemática

1) Antecedentes
científicos. Lectura

Iniciemos el estudio de este hermoso capítulo de
la Matemática leyendo, analizando y comprendiendo la
lectura del documento escrito por dos estudiantes Mexicanos JOSE
ALFREDO JIMÉNEZ MURILLO y MARÍA ALEIDA
HERNÁNDEZ YÁNEZ.

Ellos dicen- "Aprender Matemática, Física
y Química "es muy difícil",- así se expresan
la mayoría de estudiantes de todos los niveles; sin
embargo, pocas veces se busca una explicación del
porqué no aprenden las ciencias exactas los alumnos.
Nuestra teoría es la siguiente: "Los alumnos no aprenden
ciencias exactas, porque no saben relacionar los conocimientos
que se proporcionan en la escuela (leyes, teoremas,
fórmulas, etc.) con los problemas que se le presentan en
la vida real".

Otro problema grave es que el aprendizaje no es
significativo. El presente trabajo pretende motivar a los
estudiantes para que con ayuda de la "lógica
matemática", él sea capaz de encontrar estos
relacionamientos entre los diferentes esquemas de aprendizaje,
para que de esta manera tenga una buena estructura
cognitiva.

Consideramos que si el alumno sabe lógica
matemática puede relacionar estos conocimientos, con los
de otras áreas para de esta manera crear
conocimiento.

La lógica estudia la forma del razonamiento, es
una disciplina que por medio de reglas y técnicas
determina si un argumento es válido. La lógica es
ampliamente aplicada en la Filosofía, Matemática,
Computación, Física. En la Filosofía para
determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una
frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la
lógica permite saber el significado correcto.

En la Matemática para demostrar teoremas e
inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en
investigaciones; en la computación para revisar
programas.

En general la lógica se aplica en la tarea
diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un
procedimiento lógico, por el ejemplo: para ir de compras
al supermercado, una ama de casa tiene que realizar cierto
procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si
una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un
procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no
prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si
antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo
que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o
derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de
derecha a izquierda según el caso, todo esto es la
aplicación de la lógica.

La lógica es pues muy importante; ya que permite
resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el
ser humano utilizando solamente su inteligencia y
apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden
obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o
simplemente utilización de los mismos.

Consideramos que sí el alumno aprende
lógica matemática no tendrá problemas para
aprender ciencias exacta y será capaz de programar
computadoras, ya que un programa de computadora no es otra cosa
que una secuencia de pasos lógicos, que la persona
establece para resolver un problema determinado.

Es importante mencionar que en las demostraciones no hay
un solo camino para llegar al resultado. El camino puede ser
más largo o más corto, dependiendo de las reglas de
inferencia y tautologías que el alumno seleccione, pero
definitivamente deberá llegar al resultado.

Puede haber tantas soluciones como alumnos se tenga en
clase y todas estar bien; esto permite que el estudiante tenga
confianza en la aplicación de reglas y
fórmulas.

De tal manera que cuando llegue a poner en
práctica esto, él sea capaz de inventar su propia
solución, porque en la vida cada quien resuelve sus
problemas aplicando las reglas de inferencia para relacionar los
conocimientos y obtener el resultado".

TALLER

Contestar en base a la lectura presentada y en base a
sus vivencias

1) Piensa usted que aprender Matemática es
difícil". ¿Por qué?

2) En general el nivel de interaprendizaje de
Matemática es bajo, ¿a qué se debe esto?.
Plantee posibles soluciones

3) Defina con sus propias palabras lo que entiende por
Lógica

4) Brevemente, explique la importancia de la
Lógica.

2) Aspectos
Históricos de la Lógica
Matemática

La Lógica Matemática es la disciplina que
trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental,
la lógica proporciona reglas y técnicas para
determinar si es o no válido un argumento dado. El
razonamiento lógico se emplea en Matemática para
demostrar teoremas; en ciencias de la computación para
verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias
físicas y naturales, para sacar conclusiones de
experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana,
para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en
forma constante el razonamiento lógico para realizar
cualquier actividad.

La lógica es una materia antigua que forma parte
de la ciencia denominada Filosofía. La Filosofía
surgió en el siglo VI a.c, en la antigua Grecia y proviene
de dos vocablos: philos que significa amor o amistad y
sophia que significa sabiduría; entonces
Filosofía significa amor o amistad hacia el conocimiento,
éste no lo poseen los sabios en forma absoluta o
definitiva, sino, aquel que "quiere saber", el que humildemente
aspira al conocimiento.

El conocimiento le compete solamente al ser humano,
conociéndose así mismo primero y luego conocer al
mundo que le rodea. No sería posible la vida sin el
conocimiento.

Así, Platón decía a Sócrates
que "no vale la pena vivir una vida sin conocimiento".

¿Por qué la tierra se mueve?; ¿Por
qué brilla el sol?; ¿Por qué hay estrellas?;
¿Qué es en si el mundo?; ¿Qué es el
hombre frente a este inmenso universo?

De estas interrogantes nace la
Filosofía, como un intento para dar contestación o
respuestas. Aristóteles menciona que por este asombro
comenzó el hombre a filosofar.

A la escuela Pitagórica, fundada por
Pitágoras de Samos en 570 – 497 a.c, se le atribuye el
concepto de Filosofía; según ellos el principio o
esencia de todas las cosas son los números; establecieron
que el número uno es el punto, el dos la línea, el
tres la superficie y el cuatro el sólido.

En la época moderna que surge en el siglo XV y
XVI se producen grandes avances científicos y
técnicos, se logra poner en crisis la concepción
teocrática del mundo (Dios como centro de todo) y el deseo
de transformar y dominar la naturaleza por medio de la
ciencia.

En la época moderna surge también
Descartes, llamado "El padre de la filosofía moderna",
quien rompió con la tradición cuando dice "pienso,
luego existo", según éste por más que dude,
no puedo dudar de mi propia duda, y al hacerlo pienso, y al
pensar existo, al menos como ser pensante.

En la época contemporánea, siglos XIX y XX
se continúa con supuestos derivadas de la modernidad; con
Hegel aparece el método dialéctico, la
síntesis, la lógica.

El positivismo que es un rechazo a la Metafísica,
fue creado por el filósofo Francés Augusto Comte y
su lema es: "saber para prever, prever para actuar". Comte es
autor de la lógica deductiva e inductiva.

Tarea: Realizar un organizador
gráfico sobre aspectos Históricos de la
Lógica Matemática.

3) Conceptos
básicos en Lógica
Matemática

6.1) Proposición.- Es una
sucesión finita de signos (palabras o términos) que
les puede calificar como verdaderos o como falsos, pero nunca
como ambos valores a la vez

6.2) Valor de verdad.- Es la propiedad
fundamental de toda proposición de ser verdadera o falsa,
por ejemplo: la proposición, Quito es capital del Ecuador,
tiene como valor de verdad la verdad.

6.3) Conectiva lógica.- Llamada
también conector, que es cualquier letra o palabra tal
como: y, pero, o, si y solo si, si…entonces, etc.
Que sirven para unir a las proposiciones entre sí,
dándoles además un sentido o significado
lógico. Ejemplo: Está lloviendo y hace
frío

6.4) Tipo de proposiciones

6.4.1) Atómicas o simples.- Son aquellas
que dentro de sus signos no llevan conectiva
lógica, o están constituidas por una
sola expresión. Ejemplo: La educación ecuatoriana
está en un proceso de desarrollo

6.4.2) Compuestas o moleculares.- Son aquellas
que dentro de sus signos llevan por lo menos una conectiva
lógica, o aquellas que están constituidas por 2 o
más proposiciones atómicas unidas mediante una
conectiva. Ejemplo: Ingresas en la universidad si y solo si
obtienes una vacante.

Tarea

Proponga cinco ejemplos de cada uno de los conceptos
básicos en Lógica Matemática

4)
Clasificación de las proposiciones
compuestas

Conjuntiva.- Son aquellas proposiciones que
llevan la conectiva lógica « y
», y solamente serán verdaderas cuando sus dos
componentes son verdaderos, y falsa en cualquier otro caso. Estas
proposiciones son conmutativas, porque al cambiar el orden de sus
componentes no se altera el sentido lógico de la
proposición. Desde el punto de vista lógico son
también conectivas de conjunción: «
pero », « e »,
« sin embargo », «
empero », « no
obstante », « todavía
», « además », «
aunque », etc. El Operador lógico es
« Ù ». Su esquema modular es p Ù
q, se lee: p y q, como por ejemplo: Dyana es esposa de
Mario y madre de Mathías. El cuadro de verdad o
tabla de verdad (permite determinar el valor de verdad de una
proposición compuesta, la misma que depende de sus
proposiciones simples y de los operadores que
contenga, determinándose el valor de verdad en 2n
casos) es:

Como el valor de verdad de una proposición es
verdadero o falso se le utiliza para representar circuitos
conmutadores, y l razón estriba en que un circuito
sólo puede estar en uno de sus estados: circula la
corriente o cerrado, o no circula la corriente o abierto. La
palabra conmutador designa el elemento para impedir el paso de la
corriente o deja pasar la corriente, por ejemplo: el interruptor
de la luz. Cuando se prende la luz se ha cerrado el conmutador,
lo que se simboliza por V ó 1, y cuando se apaga la luz se
ha abierto el conmutador, lo que se simboliza con F o
0.

Se dice que dos conmutadores están conectados en
serie cuando está dispuesto uno a continuación del
otro, y se relacionan con la proposición
conjuntiva.

Circuitos en serie (p ^ q)

Disyuntiva inclusiva (Débil).- Son
aquellas proposiciones que llevan la conectiva
lógica « o », siendo
verdadera en todos los casos, excepto cuando sus 2 componentes
son falsos. Estas proposiciones son conmutativas y se interpretan
como «o una o la otra, probablemente ambas».
Desde el punto de vista lógico son también
disyunciones inclusivas: « u
»,« y/o »,etc.

El Operador lógico es « v ». Su
esquema modular es p v q, se lee: "p o q", como por
ejemplo:

Mario estudia Matemática o
Estadística. El cuadro de verdad es:

Se dice que dos conmutadores están conectados en
paralelo cuando están dispuestos de tal manera que basta
que uno de ellos esté cerrado para que circule la
corriente, y se relaciona con la proposición disyuntiva.
Circuitos en serie (p Ú q)

Disyuntiva exclusiva (Fuerte).- Son aquellas
proposiciones que llevan la conectiva lógica
« o », siendo verdadera cuando sus dos
proposiciones componentes tienen diferente valor, falsas en los
otros casos. Estas proposiciones son conmutativas y se
interpretan como «o una, o la otra, pero no ambas a la
vez». Desde el punto de vista lógico son
también disyunciones inclusivas: «
o.. »,« o bien »,etc. El
Operador lógico es « ». Su esquema modular es
p q, se lee: "p o q pero no ambas",
como por ejemplo:

O Mario estudia Matemática o
Estadística

El número 2 es par o impar.

El cuadro de verdad es:

Negación.- Es una conectiva especial que
no enlaza proposiciones sino que se aplica directamente sobre
ellas modificando su valor de verdad; es decir, si la
proposición es verdadera entonces su correspondiente
negación será falsa u viceversa. Desde el punto de
vista lógico la negación actúa como un
inversor. De manera convencional se emplea la conectiva
lógica « No » para negar proposiciones
simples; y se emplean « No es cierto que
»,

« No se da el caso que », «
No ocurre que », « No posible que
», etc. Para negar proposiciones compuestas, éstas
expresiones van al comienzo de la proposición y la afectan
en su conjunto.

Ejemplo:

El Ecuador no es una
república monárquica No es cierto que el 2
es un número impar No es verdad que 2+2 sea igual a
6

El Operador lógico es « ~ ». Su
esquema modular es ~ p, se lee: "no p", "No es verdad que
p", "Es falso que p". El cuadro de verdad es:

Condicional.- Son verdaderas en todos los casos,
excepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es
falso. Las proposiciones condicionales tienen 2
formas:

a) Forma Lógica (FL).- Son aquellos
condicionales que están lógicamente ordenados y se
les reconoce porque llevan la conectiva compuesta «
Si….entonces… ». La proposición
que va entre si y entonces se denomina « antecedente o
condición suficiente », y la proposición
que va después de entonces se denomina «
consecuente o condición necesaria
».

Ejemplo:

Si se gradúa de bachiller, entonces
se puede iniciar con los estudios en la universidad
(FL)

Antecedente Consecuente

b) Forma Ordinaria (FO). Son aquellas
proposiciones condicionales que no están
lógicamente ordenadas, porque primero tienen el
consecuente y luego el antecedente. Las condicionales de forma
ordinaria o indirecta llevan las conectivas « Si »,
« Pues », « Puesto que », « Porque
», « Yo que », « Dado que »,
« A menos que », etc. Cada vez que un condicional
esté escrito en la forma ordinaria necesariamente debe ser
traducido a la correspondiente forma lógica.

Ejemplo:

Santiago puede iniciar con los estudios en la
universidad si se gradúa de bachiller
(FO)

Consecuente Antecedente

Si Santiago se gradúa de bachiller puede
iniciar con los estudios en la universidad

Antecedente Consecuente

El Operador lógico es « -> ». Su
esquema modular es p ->q, se lee: "Si p,
entonces q". La tabla es:

Bicondicional.- Son aquellas proposiciones que
llevan la conectiva: « si y sólo si
», y solamente serán verdaderas cuando sus 2
proposiciones componentes tienen igual valor, y falsas en los
otros casos. Estas proposiciones son conmutativas y se
interpretan como un doble condicional.

Ejemplo:

El agua se congela si y sólo
si la temperatura está bajo cero Si el agua se
congela entonces la temperatura está bajo cero
Si la temperatura está bajo cero entonces el
agua se congela

El Operador lógico es «<–>».
Su esquema modular es p <–>q, se lee: "p si
y sólo si q". La tabla es:

TAREA

5) Cuadros o
tablas de verdad

Llamadas tambien metodo de las matrices o tablas
verificativas, son procedimientos de decision que la logica
emplea para demostrar la validez o invalidez de cualquier esquema
molecular.

En la forma que toman en la actualidad fueron
desarrollas por Ludwig Wittgenstein en la obra
Tractatus logico-philosophicus

Ludwig Wittgenstein (1889-1951), filosofo austriaco
(nacionalizado britanico), fue uno de los pensadores mas
influyentes del siglo XX, en especial por su contribucion al
desarrollo de la filosofia analitica. La evolucion de sus teorias
estuvo marcada por dos etapas. En la primera, representada por su
obra Tractatus logico-philosophicus (1921), defendio que
la pretension filosofica es la clarificacion logica de las ideas.
Un segundo momento de su pensamiento corresponde ala redaccion de
Investigaciones fzlos6jicas (postuma, 1953), obra en la
que trato de superar la, seg(ln el mismo expreso, limitada vision
del lenguaje que habia ofrecido en el
Tractatus.

Para construir una tabla de verdad se debe entrecruzar
una recta vertical con una horizontal, llamindose margen allado
izquierdo y cuerpo allado derecho. Las tablas de verdad tienen
los siguientes elementos:

8.1) Variables
proposicionales

Los esquemas moleculares según la
cifra tabular o matriz son de 3 clases

a) Tautológico o
tautología.- Cuando la cifra tabular tiene todos sus
valores verdaderos

b) Contingente o consistente.-
Cuando la cifra tabular tiene por lo menos una verdad y una
falsedad

c) Contradictorio o inconsistente.-
Cuando la cifra tabular tiene todos sus valores falsos

EJERCICIOS

Autor:

Mario Orlando Suárez
Ibujes