2 Salustiano Fernández Viejo LÓGICA — PARTE
1ª — LÓGICA PROPOSICIONAL O LÓGICA DE
ENUNCIADOS 1.- LOS SIGNOS Signo es todo aquello que, para
alguien, representa o evoca otra cosa distinta de sí
misma. Ejemplos: señales de tráfico, palabras, la
danza de las abejas, el humo… Para que algo pueda ser
considerado signo, es necesario, en primer lugar, que tenga
significado para alguien. Una primera clasificación de los
signos distingue entre aquellos que poseen un solo significado
(son llamados señales), y aquellos que poseen
significaciones múltiples (símbolos). Ahora bien,
si tenemos en cuenta el tipo de relación que los signos
mantienen con su significado, éstos se clasifican en: ?
Vestigios o índices: La relación que este tipo de
signos mantiene con su significado es de carácter natural.
Por ejemplo: el humo es «índice» o
«vestigio» del fuego, una huella en la arena lo es
del animal correspondiente, etc. ? Imágenes o iconos: La
relación que este tipo de signos mantiene con su
significado es una relación de semejanza o parecido. Por
ejemplo: algunas señales de tráfico, las
fotografías, las pinturas realistas, etc. ?
Símbolos: son aquel tipo de signos que mantienen con su
significado una relación puramente arbitraria o
convencional. Por ejemplo: las palabras del lenguaje natural
humano, los números, las pinturas abstractas, las banderas
o los signos de la lógica… Filosofía –
1º Bachillerato
3 Salustiano Fernández Viejo La ciencia que estudia los
signos se llama SEMIÓTICA. Ésta, a su vez, se
divide en tres partes, que constituyen tres maneras de estudiar
los signos: 1. Sintaxis: estudia los signos teniendo
únicamente en cuenta las diversas relaciones que se
establecen entre ellos con independencia de su significado. Este
es el tipo de estudio que realizan todas las Gramáticas.
2. Semántica: estudia los signos teniendo en cuenta la
relación que mantienen con su significado o referencia, es
decir, con las cosas de la realidad representada por ellos. Este
es el tipo de estudio que hacen los Diccionarios o las
Etimologías. 3. Pragmática: estudia los signos
teniendo en cuenta la relación que existe entre ellos y
las personas que los utilizan para comunicarse o representar
algo. Este es el tipo de estudio que realizan los investigadores
de las jergas o argots profesionales, étnicos, regionales,
de pandillas… SEMÁNTICA SINTAXIS cosas
PRAGMÁTICA signos personas Filosofía –
1º Bachillerato
4 Salustiano Fernández Viejo 2. COMUNICACIÓN,
LENGUAJE Y METALENGUAJE La comunicación es un
fenómeno natural basado en la capacidad que poseen todas
las especies animales de transmitirse mediante signos de muy
diverso tipo: sonoros, visuales, olfativos, etc. Esta capacidad
la encontramos especialmente desarrollada en el lenguaje humano.
Pues aunque los animales pueden transmitir información
mediante signos unívocos (señales: así, por
ejemplo, que un perro gruña y te enseñe los dientes
es señal indudable de que te puede morder), el lenguaje
humano está compuesto principalmente de signos
multívocos (símbolos), y además posee la
capacidad referirse a sí mismo. Es decir, puede
convertirse en un Metalenguaje: es el lenguaje usado para hablar
del propio lenguaje, es decir, de sí mismo. Ejemplo: La
frase «“Gato” tiene cuatro letras» es una
frase en la que el lenguaje habla de sí mismo y, por
tanto, pertenece al «metalenguaje». A diferencia de
la frase «El gato de mi casa es gris», en la cual el
lenguaje se usa para referirse a la realidad, siendo el uso
habitual que le damos al lenguaje. 3. LENGUAJE NATURAL Se
entiende por Lenguaje Natural al lenguaje (=conjunto de
símbolos) utilizado por una sociedad para comunicarse. Hay
que precisar que el lenguaje que usamos para comunicarnos y
referirnos a la realidad no es ‘natural’ en sentido
estricto, sino que lo aprendemos en sociedad, a diferencia de lo
que ocurre con los demás animales cuyo lenguaje es natural
o innato, es decir, lo desarrollan naturalmente aunque no
estén en contacto con individuos de su misma especie. Al
lenguaje que aprendemos en sociedad y que usamos para
comunicarnos y referirnos a las cosas que nos rodean, lo llamamos
Lenguaje Cotidiano o Lenguaje Ordinario o Lenguaje Natural
Filosofía – 1º Bachillerato
5 Salustiano Fernández Viejo 3.1 ELEMENTOS DEL LENGUAJE
NATURAL: SÍMBOLOS Y REGLAS El Lenguaje Natural humano
consta de un conjunto finito de símbolos (palabras y
signos lingüísticos, que forman el Vocabulario) y un
número finito también de reglas (constituyen la
Sintaxis), las cuales determinan cómo combinar
correctamente los símbolos del vocabulario, es decir,
establecen cómo formar correctamente oraciones en ese
lenguaje. 3.2. ¿QUÉ ES UNA ORACIÓN? Es una
expresión lingüística sintácticamente
correcta (=está bien construida de acuerdo con las reglas)
y que posee sentido completo. Llamamos «expresión
lingüística» a cualquier combinación de
símbolos de un lenguaje. Ejemplos: “El cuarzo es un
mineral”, “¿Qué hora es?”,
“Cierra la puerta”,… Por el contrario,
expresiones como “Vivir con cuando”, “Lloviendo
noche estaba aquella”, etc. no son oraciones porque o bien
no tienen sentido completo o son sintácticamente
defectuosas. 3.3. ¿QUÉ ES UNA ORACIÓN
ENUNCIATIVA O ENUNCIADO? Es una expresión
lingüística que tiene sentido completo y que puede
ser verdadera o falsa. De los anteriores ejemplos de oraciones,
sólo el primero (“El cuarzo es un mineral”) es
un enunciado, pues dice algo que puede ser verdadero o falso,
mientras que los otros dos ejemplos (“¿Qué
hora es?”, “¡Cierra la puerta!”) no lo
son porque no cabe preguntarse si es verdadero o falso lo que
‘dicen o expresan’. Desde Aristóteles se
denomina “uso apofántico” del lenguaje a la
utilización de éste para formular oraciones cuyo
contenido puede ser verdadero o falso; estas oraciones reciben el
nombre de enunciados. Son oraciones que se refieren a
algún hecho de la realidad y que, por tanto, si lo
‘expresan’ bien, son verdaderas, y si no, falsas.
3.4. INSUFICIENCIAS DEL LENGUAJE NATURAL Dada la multivocidad
(=riqueza significativa) que lo caracteriza, el Lenguaje Natural
resulta insuficiente para las exigencias de exactitud de la
ciencia o para la formulación precisa de razonamientos
complejos (aunque esa riqueza expresiva lo convierta en el
Filosofía – 1º Bachillerato
6 Salustiano Fernández Viejo mejor aliado del poeta, el
novelista o el orador). Las insuficiencias del Lenguaje Natural
con respecto a la precisión de sus expresiones son
consecuencia de: a) Ambigüedades semánticas: en el
Lenguaje Natural hay muchas palabras y expresiones cuyo
significado no es preciso, sino ambiguo; rebosa de
términos polisémicos (es decir, palabras que tienen
más de un significado). Ejemplo: “Pedro
alquiló una casa” (no sabemos si la casa que Pedro
alquila es de su propiedad y se la alquila a otra persona, o si
Pedro la alquiló para habitarla él), “Llevaba
el gato en el coche”, “Te sigo”,… b)
Deficiencias sintácticas: las reglas sintácticas
que determinan cómo combinar correctamente las palabras
del lenguaje natural carecen de criterios rigurosos que permitan
evitar oraciones sin sentido. Ejemplos: “Los martillos
cerrados paladean locamente”, “Allí donde los
libros bordean las ásperas playas se alza el fondo de
planicie más elevado”,… 4. LENGUAJE
ARTIFICIAL Tratando de superar las citadas limitaciones del
Lenguaje Natural, para proporcionarle a las ciencias un lenguaje
exacto y riguroso, se han ido construyendo los Lenguajes
Artificiales, esto es, lenguajes bien definidos que poseen una
estructura operativa más eficaz. En líneas
generales puede decirse que todas las ciencias, en especial las
ciencias de la naturaleza, emplean Lenguajes Artificiales y que
ésta ha sido una de las condiciones para su progreso. Por
ejemplo, los símbolos de la Química, la
Física, la Biología, pero también los de la
Economía, la Lingüística, etc., constituyen
tipos de lenguaje artificial. 4.1. ELEMENTOS QUE INTEGRAN UN
LENGUAJE ARTIFICIAL Básicamente consta de los mismos
elementos que cualquier lenguaje natural (un conjunto se signos y
una serie de reglas sintácticas), pero se le exige
además: Filosofía – 1º
Bachillerato
7 Salustiano Fernández Viejo a) Que los signos
estén bien definidos, para que no quepan
ambigüedades; b) Que el conjunto de las reglas para la
formación de expresiones, impida la construcción de
expresiones carentes de sentido y permita saber, en cualquier
momento, si una determinada combinación de signos es una
expresión bien formada del Lenguaje; c) Y que posea,
además, un conjunto de reglas operativas o de
transformación de expresiones, que permita deducir a
partir de unas expresiones correctas del Lenguaje otras que
también lo sean, para de ese modo construir rigurosas y
complejas cadenas deductivas. ELEMENTOS DE UN LENGUAJE SIGNOS De
formación de expresiones ARTIFICIAL REGLAS De
transformación operativa La Lógica y las
Matemáticas son ejemplos de Lenguajes Artificiales.
Filosofía – 1º Bachillerato
8 Salustiano Fernández Viejo 5. LENGUAJE FORMAL Se
denomina Lenguaje Formal a un Lenguaje Artificial cuyos signos
son formales (es decir, carecen de significado) y cuyas reglas
sintácticas permiten operar con dichos signos como en un
cálculo. La Lógica y las Matemáticas son
Lenguajes Artificiales y, además, Formales.
¿Qué significa que los signos de un Lenguaje Formal
carecen de significado? Pues que tales signos no se refieren en
absoluto a la realidad. Así, por ejemplo, el signo
matemático ‘2’ no se refiere a dos cosas
concretas, como dos manzanas o dos peras; y lo mismo le ocurre a
los signos lógicos ‘p’, ‘q’,
‘r’, que no se refieren a ninguna proposición
determinada. ¿Qué significa que las reglas de un
Lenguaje Formal poseen la eficacia de un cálculo? – Que
mediante tales reglas siempre podremos saber si una
expresión (es decir, un conjunto de signos) está
bien formada en ese lenguaje. – Y que mediante la
aplicación de dichas reglas podremos transformar
expresiones bien formadas en dicho lenguaje en otras expresiones
que también lo estén, y que por algún motivo
nos interesen. Filosofía – 1º
Bachillerato
– – 9 Salustiano Fernández Viejo 6. LA LÓGICA COMO
LENGUAJE FORMAL La Lógica puede definirse como aquella
ciencia o reflexión sistemática que estudia las
condiciones o leyes que debe cumplir todo razonamiento para ser
formalmente válido. 6.1. ¿QUÉ ES UN
RAZONAMIENTO? Un razonamiento es un proceso mental que se
caracteriza porque en él se produce el paso de ciertas
afirmaciones (las PREMISAS) a otra afirmación (la
CONCLUSIÓN) que se deriva, deduce o infiere de
aquéllas. {Una pequeña aclaración: todo
razonamiento es pensamiento (es decir, es una actividad mental),
pero no todo pensamiento es razonamiento, pues podemos pensar (en
un árbol, en una isla o en un triangulo, por ejemplo), sin
pretender sacar conclusión alguna acerca de lo pensado, es
decir, sin integrarlo en un razonamiento.} 6.2. CONDICIONES QUE
DEBE REUNIR UN RAZONAMIENTO PARA SER FORMALMENTE VÁLIDO Un
razonamiento es formalmente válido, es decir, posee una
estructura lógica correcta, cuando existe una
conexión entre sus afirmaciones tal que la
conclusión se deduce necesariamente de las premisas. Hemos
de distinguir entre verdad y validez: La verdad es una propiedad
de los enunciados. Un enunciado será verdadero o falso si
lo que él afirma ocurre o no en la realidad. Por ejemplo,
“los gatos son animales con alas” o
“está lloviendo”, son enunciados verdaderos si
lo que afirman puede ser observado en la realidad. Los
razonamientos, sin embargo, son válidos no porque los
enunciados que lo integren sean verdaderos, pues es posible
construir razonamientos perfectamente válidos con
enunciados falsos, sino que un razonamiento es válido
únicamente si la conclusión se deduce
necesariamente de las premisas. Filosofía – 1º
Bachillerato
? Salustiano Fernández Viejo Veamos el siguiente ejemplo
que nos permite distinguir verdad de validez: Premisas Los perros
(A) son reptiles (B) Los gatos (C) son perros (A) Los gatos (C)
son reptiles (B) Este razonamiento es válido formalmente,
aunque sus premisas y su conclusión sean falsas.
Conclusión Pues si prescindimos de su contenido y tenemos
sólo en cuenta la forma en que están conectadas sus
afirmaciones, comprobamos que la conclusión se deduce
necesariamente de las premisas. A es B C es A C es B VERDAD Ser
verdadero o falso es una cualidad de los: Enunciados Que consiste
en que expresen bien/adecuadamente la… Realidad 10 VALIDEZ
(O CORRECCIÓN) Ser válido o no (correcto o
incorrecto) es una cualidad de los: Razonamientos Que consiste en
que en ellos haya una… Conexión adecuada y
necesaria entre enunciados Filosofía – 1º
Bachillerato
“ Salustiano Fernández Viejo 7. LA LÓGICA
PROPOSICIONAL O LÓGICA DE ENUNCIADOS La Lógica
proposicional o de enunciados es el apartado más elemental
y básico de la Lógica. Es el más elemental
porque es el más sencillo. Es básico, porque sirve
de base al resto del edificio de la Lógica. La tarea de la
Lógica proposicional consiste en ocuparse de estudiar la
validez formal de los razonamientos tomando en bloque las
proposiciones que los forman, es decir, sin hacer un
análisis de tales proposiciones. Una proposición es
tomada en bloque cuando no se tienen en cuenta los elementos que
la integran, pasando a ser considerada como un todo o unidad
lingüística básica. Por ejemplo: una
proposición como “Los gatos son
mamíferos” puede ser simbolizada en Lógica de
los siguientes modos: “p” [ Se lee «p» ]
=> LÓGICA PROPOSICIONAL “S -A- P” [Se lee
«Todos los S son P» ] => LÓGICA
SILOGÍSTICA ?x (Gx ? Mx)” [ Se lee «Para todo
‘x’, si ‘x’ es ‘G’, entonces
‘x’ es ‘M’»]=> LÓGICA DE
PREDICADOS Una proposición es simple si no puede
descomponerse en partes que a su vez sean proposiciones.
También se la denomina proposición atómica.
Ejemplos: “Los gatos son mamíferos”,
“Pedro viene con Luis”. Una proposición es
compleja si está compuesta por proposiciones simples
unidas. También puede ser llamada molecular. Ejemplos:
“Los gatos son mamíferos, pero a mí me gustan
más los pájaros exóticos”, “Si
Pedro viene con Luis y trae comida, nos iremos todos al
campo”. 11 Filosofía – 1º
Bachillerato
a) p b) Salustiano Fernández Viejo 7.1. LOS SIGNOS DE LA
LÓGICA PROPOSICIONAL Variables proposicionales: para
simbolizar las proposiciones simples se utilizan las letras
minúsculas del alfabeto a partir de la “p” (p,
q, r, s, t, u, a, b, c…). Estas letras se denominan
variables proposicionales porque se utilizan para representar a
cualquier proposición del Lenguaje Natural. Por ejemplo:
la proposición simple “Los gatos son
mamíferos” la simbolizamos con una “p”.
Y la proposición compleja “Los gatos son
mamíferos y les gusta cazar ratones” la simbolizamos
como ‘p y q’. Admitimos que cualquier
proposición simple es o bien verdadera o bien falsa, pero
no ambas cosas a la vez. Éste es el Principio de
Bivalencia: las proposiciones simples sólo pueden tener
dos valores de verdad: o son verdaderas o son falsas. cualquier
proposición 1 0 verdadera falsa Símbolos
auxiliares: en lógica se utilizan paréntesis,
corchetes y llaves para agrupar ordenadamente las proposiciones.
( ), [ ], { } 12 Filosofía – 1º
Bachillerato
c) Salustiano Fernández Viejo Conectivas o constantes
lógicas: se denominan conectivas a aquellos signos
lógicos que sirven para unir a las proposiciones entre
sí. Las conectivas que manejaremos son las siguientes: ?
NEGADOR (¬): ¬ …se lee “no” ¬ p
…se lee “ no p” ¬ q …se lee
“no q” Las expresiones siguientes: “No podremos
ir de excursión a la Sierra de Gredos”, “Pedro
ni siquiera me escuchó”, las simbolizamos
‘¬ p’. El negador es aquella conectiva que al
aplicarse a una proposición cualquiera, sea simple o
compleja, la convierte en falsa si es verdadera y en verdadera si
es falsa. => Tabla de verdad del negador: p 1 0 13 ¬p 0 1
Filosofía – 1º Bachillerato
Salustiano Fernández Viejo ? CONJUNTOR ( ? ): ? …se
lee “y” p ? q …se lee “p y q” Las
expresiones siguientes: “Hoy estamos alegres y nos iremos a
bailar”, “Pedro es buena persona, aunque
debería ducharse más”, “El sol se
nubló, pero seguimos caminando”, las simbolizamos en
lógica proposicional ‘p ? q’. El conjuntor es
aquella conectiva que sólo es verdadera si las dos
proposiciones que une son ambas verdaderas, y que es falsa en los
demás casos. => Tabla de verdad del conjuntor: (Las
combinaciones posibles de los valores de verdad de 2
proposiciones (p, q), cada una de las cuales puede ser verdadera
o falsa, son cuatro: que las dos sean verdaderas, que una sea
verdadera y la otra falsa, que una sea falsa y la otra verdadera,
y que las dos sean falsas. Para un número ‘n’
de proposiciones las combinaciones de sus valores de verdad
serán 2n.) p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 0 0 0 p 1 1 1 1 0 0
0 0 q 1 1 0 0 1 1 0 0 r 1 0 1 0 1 0 1 0 p ? q 1 1 0 0 0 0 0 0 (p
? q) ? r 1 0 0 0 0 0 0 0 Ejemplos: ¬ p ? q …se lee
“no p y q”, y su tabla de verdad sería: p 1 1
0 0 q 1 0 1 0 ¬p 0 0 1 1 ¬p ? q 0 0 1 0 14
Filosofía – 1º Bachillerato
Salustiano Fernández Viejo p ? ¬ q …se lee
“p y no q”, y su tabla de verdad es: p 1 1 0 0 q 1 0
1 0 ¬q 0 1 0 1 p ? ¬q 0 1 0 0 ¬ (p ? q)…se lee
“no es cierto que p y q”, y su tabla de verdad es: p
1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 0 0 0 ¬ (p ? q) 0 1 1 1 ¬ p ?
¬ q…se lee “no p y no q”, y su tabla de
verdad es p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 ¬p 0 0 1 1 ¬q 0 1 0 1
¬p ? ¬q 0 0 0 1 ? DISYUNTOR ( ? ): ? …se lee
“o” p ? q …se lee “p o q” Las
expresiones siguientes: “Pedro vendrá el lunes o el
martes”, “O bien me quedo en casa o bien voy al
cine”, “Tal vez escuche esa canción o tal vez
me vaya a pasear al río , las simbolizamos ‘p ?
q’. El disyuntor es aquella conectiva que sólo es
falsa si las dos proposiciones que une son ambas falsas, y
verdadera en los demás casos. La tabla de verdad del
disyuntor es: p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 1 1 0 15
Filosofía – 1º Bachillerato
Salustiano Fernández Viejo Ejemplos: ¬ p ? q
…se lee “no p o q”, y su tabla de verdad es p
1 1 0 0 q 1 0 1 0 ¬p 0 0 1 1 ¬p ? q 1 0 1 1 ¬ (¬
p ? q) …se lee “no es cierto que no p o q”, y
su tabla de verdad es p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 ¬p 0 0 1 1 ¬p ?
q 1 0 1 1 ¬ (¬ p ? q) 0 1 0 0 ¬ (p ? q) ? ¬p
…se lee “no es cierto que p y q, o no p”, y su
tabla de verdad es p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 0 0 0 ¬ (p ?
q) 0 1 1 1 ¬p 0 0 1 1 ¬ (p ? q) ? ¬ p 0 1 1 1 p ?
(¬ q ? ¬ p) …se lee “p, o, no q y no
p”, y su tabla de verdad, haciendo una presentación
abreviada, es: p ? (¬ q ? ¬ p) 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 16 Filosofía – 1º
Bachillerato
Salustiano Fernández Viejo ? CONDICIONAL ( ? ): ?
…se lee “Si…, entonces…” p ?
q…se lee “Si p, entonces q” (‘p’
es el antecedente, y ‘q’ es el consecuente) Las
expresiones “Si llueve, las calles se mojan”,
“Si vienes mañana, iremos a casa de Luis”,
“Si supieras lo que me ha dicho Pedro, quedarías
perplejo”, las simbolizamos como ‘p ? q’. El
condicional es aquella conectiva que sólo es falsa cuando,
siendo el antecedente verdadero, el consecuente sea falso, y
verdadera en los demás casos. Llamamos
‘antecedente’ del condicional a la proposición
que se halla a su izquierda, y ‘consecuente’ a la que
está a su derecha. La tabla de verdad del condicional es:
p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 0 1 1 Ejemplos: ¬ p ? q
…se lee “Si no p, entonces q”, y su tabla de
verdad es ¬ p ? q 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 17
Filosofía – 1º Bachillerato
Salustiano Fernández Viejo ¬ (p ? ¬ q) …se
lee “No es cierto que si p, entonces no q”, y su
tabla de verdad es: ¬ (p ? ¬ q) 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1
0 1 0 1 1 1 0 ? BICONDICIONAL ( ? ): ? …se lee
“Sólo si…” p ? q …se lee
“p sólo si q” o “Sólo si p,
entonces q” Las expresiones “Sólo si llueve,
me quedaré en casa”, “Sólo en el caso
de que sepas la primera pregunta, deberás responder
también a la segunda”, “Te contestaré
sólo si tu respuesta me satisface”, las simbolizamos
‘p ? q’. El bicondicional es aquella conectiva que
sólo es verdadera si las dos proposiciones unidas por ella
tienen ambas el mismo valor de verdad, es decir, son ambas
verdaderas o falsas a la vez. La tabla de verdad del
bicondicional es: p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p ? q 1 0 0 1 Ejemplo: p ?
¬ q …se lee “Sólo si p, entonces no
q” o también “p sólo si no q” y
su tabla de verdad es: p ? ¬ q 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1
0 18 Filosofía – 1º Bachillerato
Salustiano Fernández Viejo 7.2. TABLA DE VERDAD DE
CUALQUIER FÓRMULA Para hallar la tabla de verdad de
cualquier fórmula hay que dar los siguientes pasos: 1) En
primer lugar, se asignan los valores 1 y 0 a las proposiciones
simples que componen la fórmula, combinando de todos los
modos posibles tales valores. Recordemos que para una
fórmula con dos proposiciones distintas, las combinaciones
posibles de sus valores de verdad son 22 = 4 p 1 1 0 0 q 1 0 1 0
Para una fórmula con tres proposiciones distintas, las
combinaciones posibles de sus valores de verdad son 23 = 8. Con
cuatro proposiciones son 24 = 16. Etc. p 1 1 1 1 0 0 0 0 q 1 1 0
0 1 1 0 0 r 1 0 1 0 1 0 1 0 p 1 1 1 1 1 1 1 1 q 1 1 1 1 0 0 0 0 r
1 1 0 0 1 1 0 0 s 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 El modo
más fácil de combinar los valores de verdad de las
proposiciones que integran cual- quier fórmula, consiste
en asignarle a la 1ª pro- posición por orden
alfabético la mitad de 1 y la mitad de 0. A la siguiente
proposición, la mitad de la mitad de 1, la mitad de la
mitad de 0, 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 hasta
completar el número de las combinacio- nes que admita la
fórmula… Y a la última pro- posición
de la fórmula siempre se le asignará 1 y 0
alternativamente hasta completar las com- binaciones posibles de
la fórmula. 19 Filosofía – 1º
Bachillerato
Salustiano Fernández Viejo 2) Y en segundo lugar, se
hallan los valores de verdad de las conectivas existentes en la
fórmula, empezando por las menos dominantes (es decir, por
las que afectan a menor parte de la fórmula) y terminando
por la conectiva dominante (es decir, por aquella que afecta a
toda la fórmula y cuya tabla de verdad, por tanto,
será la tabla de verdad de la fórmula completa).
Ejemplos: Tabla de verdad de la fórmula: ¬ p ? (r ?
¬ q) …se lee “Si no p, entonces r y no q”.
La conectiva dominante es el ‘?’. p 1 1 1 1 0 0 0 0 q
1 1 0 0 1 1 0 0 r 1 0 1 0 1 0 1 0 ¬q 0 0 1 1 0 0 1 1 r ?
¬q 0 0 1 0 0 0 1 0 ¬p 0 0 0 0 1 1 1 1 ¬ p ? (r ?
¬ q) 1 1 1 1 0 0 1 0 De manera más abreviada, la
anterior tabla de verdad también se podría escribir
así: ¬ p ? (r ? ¬ q) 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0
0 1 0 1 1 0 1 0 Tabla de verdad de la fórmula: ¬ [ p ?
(q ? p) ] …se lee “No es cierto que sólo si
p, entonces q o p” o también “No es cierto que
p sólo si q o p”. La conectiva dominante es el
‘¬’. ¬ [p ? (q ? p)] 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1
1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 20 Filosofía – 1º
Bachillerato
Salustiano Fernández Viejo 8. ¿CÓMO
FORMALIZAR EN LA LÓGICA PROPOSICIONAL CUALQUIER
EXPRESIÓN DEL LENGUAJE NATURAL? Formalizar una
expresión del lenguaje natural consiste en destacar la
«forma» en que se relacionan las proposiciones de esa
expresión, prescindiendo del contenido o significado de
éstas. Dicho de otro modo: consiste en
“traducir” al lenguaje artificial de la lógica
las expresiones del lenguaje natural. Ejemplos: – La comida no le
supo bien: ¬p – Mañana es sábado y nos iremos a
la playa: p ? q – Aunque tú no me quieras, yo te amo: – O
bien te lo comes o no verás la tele: ¬p ? q p ? ¬q
– O lo recoges todo o no vas de excursión y no te regalo
el vestido: p ? (¬q ? ¬r) – Si vienes, no te lo olvides
en casa: p ? ¬q – Si no estuvo aquí el asesino,
entonces no llegó a verle o lo supo demasiado tarde:
¬p ? (¬q ? r) – No por mucho madrugar amanece más
temprano: ¬ ( p? q ) – Sólo si baja la Bolsa 15
puntos, deberás vender el 10% de las acciones de la
empresa y no comunicarlo al Consejo: p ? (q ? ¬r) –
Sólo en el caso de que no sepas hacer el dibujo y haya dos
preguntas en la 2ª casilla del examen, deberás
contestar únicamente a la primera de ellas: (¬p ? q) ?
r – Si Pedro sabe hablar inglés, entonces no habla
francés, aunque si no supiese hablar inglés,
tampoco hablaría francés: (p ? ¬q) ? (¬p ?
¬q) – Si llegas después de las 10, te
encontrarás con la puerta cerrada y no podrás
cenar: p ? (q ? ¬r) – Juan abrirá la puerta y
saldrá a la calle, sólo en el caso de que, si viene
María con el coche, no venga con ella Pedro: ( p ? q ) ? (
r ? ¬ s ) – No es verdad que si Antonio estudia, entonces
María no trabaje: ¬(p ? ¬q) – Sólo si
tú no lo has matado, te dejaremos libre: 21 ¬p ? q
Filosofía – 1º Bachillerato
Salustiano Fernández Viejo – Si no crees que lo que te
digo ni lo que te dice Juan, nunca sabrás lo que
pasó: (¬ p ? ¬ q ) ? ¬ r – No es cierto que
Fernando esté en Madrid y Juan no esté en
Ávila: ¬(p ? ¬q) – Si eres licenciado, no puede
ser cierto que no sepas leer ni escribir: p ? ¬ (¬ q ?
¬ r ) – Sólo si conoces Oviedo, podrás
disfrutar a fondo leyendo La Regenta y no perderte entre sus
tumultuosas páginas: p ? ( q ? ¬ r ) 9.
TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN E INDETERMINACIÓN
Al hacer la tabla de verdad de cualquier fórmula nos
podemos encontrar con tres casos: que la tabla de verdad de la
fórmula sólo tenga 1, que sólo tenga 0, y
que tenga 1 y 0. ? TAUTOLOGÍA: Es una fórmula
siempre válida, sean cuales sean los valores de verdad de
las proposiciones que la integran. Es decir, es una
fórmula cuya tabla de verdad final sólo tiene unos
( 1 ). ? CONTRADICCIÓN: Es una fórmula no
válida nunca, sean cuales sean los valores de verdad de
las proposiciones que la integran. Es decir, es una
fórmula cuya tabla de verdad final sólo tiene ceros
( 0 ). ? INDETERMINACIÓN O CONTINGENCIA: Es una
fórmula que puede ser válida o no, en
función de los valores de verdad de las proposiciones que
la integran. Es decir, es una fórmula cuya tabla de verdad
final tiene unos ( 1 ) y ceros ( 0 ) no importa en qué
proporción. 22 Filosofía – 1º
Bachillerato
Salustiano Fernández Viejo Ejemplos: CONTRADICCIÓN
p ? ¬ p Se lee “p y no p” p ? ¬p ( p ? q ) ?
¬ ( p ? q ) Se lee “Si, entonces q, y no es cierto que
si p, entonces q” 1 0 0 1 (p ? q) ? ¬ (p ? q) 0 0 1 0 1
1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0
TAUTOLOGÍA: p ? ¬ p Se lee “p o no q” p ?
¬p 1 1 0 1 p ? ( p ? q ) Se lee “Si p, entonces p o
q” p ? (p ? q) 0 1 1 0 1 1 1 1 1 INDETERMINACIÓN: 1
1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 p ? ¬ (p ? q) 1 0 0 1 1 1 Se lee:
“Si p, entonces no es cierto que p o q” 1 0 0 0 1 1 0
1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 23 Filosofía – 1º
Bachillerato
• Salustiano Fernández Viejo Ejemplos de
tautología: (p ? q) ? (q ? p) [( p ? q ) ? ¬ q ] ?
¬ p (p ? q) ? (q ? p) (p ? q) ? (q ? p) 10. LEYES DE LA
LÓGICA PROPOSICIONAL Las fórmulas que son
tautologías constituyen esquemas válidos de
inferencia o razonamientos formalmente válidos, y son
llamadas por ello leyes lógicas. PRINCIPIOS A las llamadas
leyes lógicas hay que anteponerles tres Principios
básicos y fundamentales del pensar humano: los principios
de la Lógica. 1º) Principio de identidad: p ? p
2º) Principio de no contradicción: ¬ ( p ? ¬
p ) 3º) Principio de tercio excluso (tertium non datur): p ?
¬ p • LEYES 1ª) Ley de la Doble Negación:
¬ ¬ p ? p 2ª) Leyes de la Simplificación: ( p
? q ) ? p (p ? q) ? q 3ª) Leyes de la idempotencia: ( p ? p
) ? p (p ? p) ? p 4ª) Ley de la adición: p ? ( p ? q
) 5ª) Leyes del silogismo disyuntivo: 24 [( p ? q ) ? ¬
q ] ? p [( p ? q ) ? ¬ p ] ? q Filosofía –
1º Bachillerato
Salustiano Fernández Viejo 6ª) Leyes de De Morgan:
¬ ( p ? q ) ? ( ¬ p ? ¬ q ) ¬(p ? q) ? (¬p ?
¬q) 7ª) Ley del Modus Ponendo Ponens: 8ª) Ley del
Modus Tollendo Tollens: [( p ? q ) ? p ] ? q [( p ? q ) ? ¬ q
] ? ¬ p 9ª) Ley de la Transitividad del Condicional: [(
p ? q ) ? ( q ? r )] ? ( p ? r ) 10ª) Leyes del
Bicondicional: ( p ? q ) ? ( p ? q ) (p ? q) ? (q ? p) ( p ? q )
? [( p ? q ) ? ( q ? p )] 11ª) Leyes Conmutativas: a) Del
conjuntor: b) Del disyuntor: (p ? q) ? (q ? p) (p ? q) ? (q ? p)
c) Del bicondicional: ( p ? q ) ? ( q ? p ) 12ª) Leyes
asociativas: [( p ? q ) ? r ] ? [ p ? ( q ? r )] [( p ? q ) ? r ]
? [ p ? ( q ? r )] 25 Filosofía – 1º
Bachillerato
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