Espacios vectoriales (página 2)

Partes: 1, 2

-EJEMPLO 3.- Conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n.
¿Cómo se suman dos polinomios?
¿Cómo se multiplica un polinomio por un número real?
¿Cuál es el polinomio nulo?
(coeficiente a coeficiente)
(se multiplica cada coeficiente por el número real)

-EJEMPLO 4.- Conjunto de las matrices reales de m filas y n columnas.
¿Cómo se suman dos matrices?
¿Cómo se multiplica una matriz por un número real?
elemento a elemento
se multiplica cada elemento de la matriz por el número real

-EJEMPLO 5.- Conjunto de las funciones reales de variable real con dominio .
¿Cómo se suman dos funciones?
¿Cómo se multiplica una función por un número real?
¿Cuál es la función nula?

Propiedades.- Sea V un e. v. real:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
7.-
8.-
Al multiplicar cualquier escalar por el
vector nulo obtenemos el vector nulo.
Al multiplicar cualquier vector por el escalar
0 obtenemos el vector nulo.
Esta propiedad
no es tan obvia
como puede parecer.

COMBINACIONES LINEALES
Sea V un espacio vectorial real:
COMBINACIÓN LINEAL.-
es combinación lineal de
cuando tales que:

COMENTARIOS.-
Dados los vectores y los escalares ?1 , ?2 ,…, ?n (números reales), el vector definido por:
se llama combinación lineal de los vectores :
Algunas combinaciones lineales de los vectores son, por ejemplo:
El vector (2,1,1) de no es combinación lineal de los vectores (1,0,0) y (1,1,0) de .
El polinomio x2+1 de no es combinación lineal de los polinomios x3+x–1 , x+2 y 1 de .

Para comprobar si un vector es combinación lineal de m vectores de se plantea la ecuación vectorial siguiente:
Utilizando las definiciones de las operaciones suma de vectores de y producto de un vector de por un escalar realizamos la operación:
Teniendo en cuenta que dos vectores de son iguales si todas sus componentes son iguales dos a dos, tenemos el siguiente sistema de n ecuaciones lineales con m incógnitas :
Si el sistema es compatible determinado, entonces es combinación lineal de los vectores
Si el sistema es incompatible, entonces NO es combinación lineal de los vectores
El sistema nunca puede ser compatible indeterminado.

En el espacio vectorial real de los polinomios reales de grado menor o igual que n se procede del mismo modo que en el espacio vectorial real . Tenemos que tener en cuenta que dos polinomios de grado menor o igual que n son iguales si coinciden todos y cada uno de sus coeficientes, incluido el término independiente. De este modo tendremos un sistema de n+1 (ATENCIÓN!!!) ecuaciones lineales con m incógnitas.
A continuación resolvemos un par de ejercicios en los que trabajamos con el concepto de combinación lineal de vectores en los espacios vectoriales introducidos en los ejemplos 2 y 3 de este capítulo: y .
Destacar que es necesario conocer las definiciones de suma de vectores (o polinomios) y producto de un vector (o polinomio) por un escalar. Además tenemos que tener claro qué significa que dos vectores de sean iguales (o que dos polinomios de sean iguales).
SUGERENCIA.- Utilizar las técnicas de resolución de sistemas de ecuaciones lineales conocidas (método de Gauss), que explicaremos con detalle en el Tema 5 de este curso.

SUBESPACIOS VECTORIALES
Algunos subconjuntos de un espacio vectorial V son a su vez espacios vectoriales con las operaciones definidas en V.
Estos subconjuntos se denominan subespacios vectoriales.
SUBESPACIO VECTORIAL.-
Subespacios vectoriales impropios
Subespacios vectoriales propios: cualquier subespacio vectorial de V distinto de y V.
Antes de dar ejemplos de subespacios vectoriales, es conveniente dar dos resultados que hacen relativamente sencillo determinar si un subconjunto S de V es subespacio vectorial de V.
es un subespacio vectorial de V, si es espacio vectorial con las operaciones definidas en V.

Para demostrar que ? ? S ? V es subespacio vectorial de V, NO ES NECESARIO comprobar los 8 axiomas de la definición de espacio vectorial.
Para demostrar que S ? V es subespacio vectorial de V, basta con comprobar que es un subconjunto no vacío (pues todo espacio vectorial ha de contener al menos el vector nulo, luego es conveniente comprobar que el vector nulo es un vector de S) y que S es cerrado bajo las operaciones suma de vectores y producto por un escalar. El resto de las propiedades son “heredadas” por S. Esto es lo que significan las dos caracterizaciones de subespacio vectorial que acabamos de enunciar.
Un subconjunto S no vacío de V es s.v. de V si y sólo si cumple:
Un subconjunto S no vacío de V es s.v. de V si y sólo si cumple:

En la práctica, para demostrar que
S NO es s. v. de V
o
o
?
?
?
Basta con comprobar una de estas tres cosas
Presentaremos a continuación algunos ejemplos de conjuntos con dos operaciones (suma y producto por un escalar) que no tienen estructura de espacio vectorial. Para demostrar que un conjunto no es espacio vectorial es suficiente comprobar que no satisface alguno de los ocho axiomas de la definición, pero basta con comprobar una de las tres condiciones arriba mencionadas.

-EJEMPLO 1.- El conjunto de los números enteros no tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones habituales de suma y producto por un escalar real.
El conjunto de todos los números enteros con las operaciones normales de suma y producto por un escalar no tiene estructura de espacio vectorial, ya que el producto no es una operación cerrada.
0.5?1 = 0.5
escalar
entero
no entero
-EJEMPLO 2.- El conjunto de los polinomios de grado exactamente 2 no tiene estructura de espacio vectorial.
El conjunto de los polinomios de grado exactamente 2 no tiene estructura de espacio vectorial, ya que la suma no es una operación cerrada.
p(x) = x2
q(x) = -x2+x+1
son polinomios de grado 2, pero su suma es un polinomio de primer grado
p(x) + q(x) = x+1

INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS VECTORIALES.-
Si S , T son subespacios vectoriales de V, entonces:
S ? T es subespacio vectorial de V.
S ? T es el mayor de todos los subespacios vectoriales de V incluidos en S y T.
La unión de subespacios vectoriales de V
no es necesariamente un subespacio vectorial de V.
En el siguiente apartado veremos una manera de encontrar y construir subespacios de un espacio vectorial V. Este método nos será de gran utilidad para demostrar, sin emplear las caracterizaciones de subespacio vectorial del apartado anterior, que un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V es un subespacio vectorial de V.

SUBESPACIO VECTORIAL ENGENDRADO POR UNA PARTE FINITA DE UN E. V.
Sea V un espacio vectorial real.
Sea G un conjunto (no vacío) de vectores de V:
Definimos como el conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores:

-Ejemplos.-

En un mismo subespacio vectorial es posible encontrar
distintos sistemas de generadores

SUBESPACIO VECTORIAL ENGENDRADO POR UNA COLECCIÓN FINITA DE VECTORES DE V.-

¿Cómo encontrar distintos sistemas de generadores
de un subespacio vectorial?
¿Cómo demostrar que S es s.v. de V?

-EJEMPLO- Demostrar que

Algoritmo para hallar una base del subespacio vectorial engendrado por una familia G de vectores
Sea . Para hallar una base del subespacio vectorial podemos proceder del modo siguiente:
1.-
Formar la matriz A de r filas y n columnas con los vectores de G como filas.
2.-
Realizar operaciones elementales de fila hasta llegar a una matriz B escalonada y equivalente a la matriz A.
3.-
Las filas no nulas de B constituyen una base del subespacio engendrado por G.

DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
En el estudio del Álgebra Lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal entre vectores.
Podemos plantearnos la siguiente pregunta. ¿Existe una relación especial entre los vectores y ?
Es decir, el vector nulo se puede escribir como una combinación no trivial de y . En este caso se dice que los vectores son linealmente dependientes. En general, se tienen las siguientes definiciones:
, o escrito de otro modo:

es un sistema libre (o son vectores linealmente independientes) si:
SISTEMA LIBRE. SISTEMA LIGADO.-
es un sistema ligado (o son vectores linealmente dependientes) si:
A continuación enunciamos algunas propiedades de los sistemas libres y ligados que nos pueden resultar útiles más adelante.

PROPIEDADES.-

Las propiedades siguientes son resultados que se demuestran de forma inmediata a partir de los conceptos de sistema libre de vectores y sistema ligado de vectores.
Todos los vectores de un sistema libre son no nulos.
Si un sistema de vectores contiene al vector nulo, entonces es un sistema ligado.
sistema libre sii
Un sistema de dos vectores es un sistema ligado si y sólo si uno de los vectores es “múltiplo” del otro.
Si a un sistema ligado se le añaden nuevos vectores, resulta otro sistema ligado.
Todo subconjunto de un sistema libre es un sistema libre.

PRUEBAS PARA LA DEPENDENCIA LINEAL
La consecuencia 3.- nos permite decir cuando un conjunto formado por un único vector de un espacio vectorial V es un sistema libre y cuando es un sistema ligado.
Del mismo modo, la consecuencia 4.- es una condición necesaria y suficiente para que una familia formada por dos vectores de un espacio vectorial V sea linealmente dependiente.
Cuando disponemos de una colección de más de dos vectores tendremos que recurrir necesariamente, en principio, a la definición para demostrar que se trata de un sistema libre o un sistema ligado.

Para comprobar si una familia de vectores es linealmente dependiente o linealmente independiente vamos a utilizar, en muchos casos, el concepto de rango de una matriz.
Hablaremos de rango de una matriz en un tema posterior, pero como es un concepto que muchos alumnos ya conocen, conviene decir que, en general, resulta más cómodo y más sencillo estudiar la dependencia o independencia lineal de una familia de vectores utilizando el concepto de rango de una matriz.
A partir del momento en el que definimos el concepto de rango de una matriz resolveremos ejercicios de sistemas libres y ligados utilizando la idea del rango de una matriz.

BASES Y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL.-
En este apartado presentaremos el concepto fundamental de una base de un espacio vectorial. Como veremos, una base es un conjunto generador “eficiente” que no contiene vectores innecesarios. De hecho, se puede construir una base a partir de un conjunto generador desechando algunos vectores innecesarios. Además, conocer una base de un espacio vectorial es muy útil para comprender el espacio y sus propiedades.
es una base del e.v. real V si:
B s. libre
B s. generador de V

-EJEMPLOS DE BASES.-
-EJEMPLO 1.-
base canónica
-EJEMPLO 2.-
base canónica

EXISTENCIA DE BASES.-
Todo e.v. V engendrado por un sistema de generadores finito tiene al menos una base.
Todas las bases del e.v. V poseen el mismo número de elementos. Entonces:
DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL.-
El número de elementos que posee una base cualquiera de un e.v. V , recibe el nombre de dimensión del e.v. V (dim V).
Esta información resulta muy útil
como se verá posteriormente

-CONSECUENCIAS.-
Si V es un e.v. con dim V = n, entonces:
En un espacio vectorial de dimensión n no puede haber más de n vectores linealmente independientes
n vectores l.i. de un e.v. V de dimensión n constituyen una base de V
Un s.g. de n vectores de un e.v. V de dimensión n constituye una base de V

Dos perspectivas de una base
Cuando se usa el teorema de la reducción de un conjunto generador, la eliminación de vectores de un conjunto generador debe terminar cuando el conjunto generador resulta linealmente independiente. Si se elimina otro vector, no será combinación lineal de los vectores restantes y por lo tanto el conjunto resultante ya no generará el mismo espacio vectorial V.
Una base también es un conjunto linealmente independiente que es lo más grande posible. Si B es una base de V y si B se agranda con un vector, digamos , de V, entonces el nuevo conjunto ya no puede ser linealmente independiente, porque B genera V y es por lo tanto una combinación lineal de los vectores de B.
Ejemplo.- Los siguientes tres conjuntos de muestran cómo un conjunto linealmente independiente de dos vectores de puede agrandarse para formar una base de y cómo un agrandamiento adicional destruye la independencia lineal del conjunto. Este mismo ejemplo lo podemos ver desde otra perspectiva: Un conjunto generador de formado por 4 vectores puede encogerse para dar una base, pero una contracción adicional destruye la propiedad de ser generador.

Cuando se conoce la dimensión de un espacio o subespacio vectorial, la búsqueda de una base se simplifica con el resultado que damos a continuación, que dice que si un conjunto tiene el número correcto de elementos, entonces basta con demostrar que el conjunto es linealmente independiente o bien que genera el espacio. El teorema es de importancia crítica en numerosos problemas de aplicaciones (que tienen que ver con ecuaciones diferenciales o en diferencias, por ejemplo) donde la independencia lineal es mucho más fácil de comprobar que la propiedad de generar.
Según la consecuencia 3.-, conocida la dimensión de un e.v. V ( , ), ¿cómo encontrar una base B de V?:

COORDENADAS DE UN VECTOR
Sea V e.v. real con base de V.
únicos tales que:
A los escalares (únicos) se les llama coordenadas del vector en la base B.
Hallar las coordenadas del vector

en la base canónica de
en la base de

DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO VECTORIAL
Sea S s.v. de V y
B base de S si
: número de elementos de una base de S
Si dim V = n, y S es un s.v. de V, entonces:

¿Cómo encontrar una base B de un subespacio vectorial S?
¿Cómo encontrar una base B de un espacio vectorial V?
B = G es s.g. de S
Hay que demostrar que B = G es s. libre
Para encontrar una base de , basta con hallar n vectores l.i. de , pues
Para hallar una base de , basta con hallar n + 1 polinomios l.i. de , pues

RANGO DE UN SISTEMA DE VECTORES
Sea V espacio vectorial real y F una colección de vectores de V.
Se llama rango de F ( r ( F ) ) al número máximo de vectores linealmente independientes de F.
Volveremos a estudiar el concepto de rango de una familia de vectores dentro del marco de la teoría de matrices. Esto nos permitirá desarrollar métodos más eficientes para calcular el rango de una familia de vectores y también para hallar una base de un subespacio vectorial generado por una familia de vectores.
Si F es un subconjunto del e.v. V que consta de m vectores y dim V = n