El modelo FK
(Gp:) ¿?
En 1938, Y.Frenkel y T. Kontorova desarrollaron un modelo previo propuesto por U. Dehlinger (1929)
Estudio de dislocaciones en sólidos
Descripción matemática
V(u) representa un potencial (“on-site”) actuando sobre cada partícula y generalmente periódico.
W(Du) representa la interacción entre partículas vecinas.
(Gp:) a
Existen distintas variantes del modelo FK, dependiendo de la elección de V y W
Estandar. V sinusoidal y W armónico
W no convexo, p.ej. el modelo XY quiral
Que representa, por ejemplo, un sistema de momentos magnéticos con anisotropía planar fuerte (plano XY) y dirección preferente (dada por el ángulo g) impuesta por ejemplo por un campo magnético superpuesto.
Long. Natural del muelle
V parabólico
V multiarmónico. P.ej. compuesto de 3 sinusoidales
Multidimensionales (2d, 3d). Largo alcance, …
Modelo FK estandar
Las ecuaciones del movimiento son:
Estas (en principio infinitas) ecuaciones son la discretización mas simple de la ecuación en derivadas parciales (integrable) conocida como sine-Gordon
Existen variaciones no hamiltonianas (la energía no se conserva a todo t), introduciendo términos disipativos (por ejemplo, del tipo viscoso dependiente de la primera derivada temporal de u), y/o añadiendo forzamientos adicionales uniformes y/o paramétricos.
Modelo FK estandar
La forma canónica de la ecuación s-G era:
(Gp:) Pero si hacemos el cambio:
Aproximación por diferencias finitas
Propiedades del equilibrio del modelo FK estandar
(Gp:) Hamiltoniano
(Gp:) Configuraciones de equilibrio
(Gp:) Configuraciones de mínima energía
(Gp:) Recurrentes
(Gp:) No-Recurrentes
FK estandar
Configuraciones de equilibrio
Hamiltoniano
MAP ESTANDAR
FK estandar
Configuraciones de mínima energía (MEC)
Perturbaciones arbitrarias pero que solo afectan a un segmento finito de la configuración inicial
Donde:
FK estandar
MEC recurrentes:
Hay de 2 tipos:
Conmensuradas (o periódicas)
Inconmensuradas (o cuasiperiódicas)
FK estandar
(Gp:) MEC no recurrentes:
(Gp:) Son las versiones discretas de los solitones sine-Gordon
(Gp:) Reciben el nombre de disconmensuraciones, kinks o tambien solitones discretos.
Corresponden a órbitas homoclínicas en el map estandar.
n
FK estandar
Podemos caracterizar las configuraciones mediante el winding-number o espaciado promedio:
Conmensuradas
Inconmensuradas
FK estandar
Diagrama de fases del FK:
s
(Gp:) Escalera del diablo
(Gp:) s
(Gp:) w
(Gp:) “rellanos” en todos los racionales p/q
(Gp:) K=0.5
FK estandar
Los estados fundamentales del FK
Órbitas hiperbólicas sin reflexión del map estandar
(Gp:) K=0.7
u
u
FK estandar
¿ y los irracionales ? (fases inconmensuradas)
Recordar a Chirikov y el teorema KAM
(Gp:) K=1.1
(Gp:) K=0.95
“Slidding”
Indefectible
“Pinned”
Defectible
Se abren infinitos “gaps”
EXISTENCIA DE BARRERAS DE PN
u
u
FK estandar
El último toro KAM (no homótopo a cero) en romperse, corresponde a la media áurea ( y los relacionados con ella de forma sencilla ).
El irracional
“más irracional”.
(R.S. Mackay 1982)
El resultado se basa en la conjetura de Greene. Que supone que la rotura de un toro de KAM y la inestabilidad de las órbitas elípticas del map estándar están relacionadas.
Valor de K al que la órbita periódica estable (elíptica) de winding number p/q se vuelve inestable (hiperbólica)
Valor de K al que el toro KAM de winding number w se vuelve rompe.
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