Funciones Reales de una Variable Real

Objetivos.
Conjuntos numéricos.
Funciones reales de una variable real.
Límites de funciones.
Continuidad de funciones.
Derivabilidad. Propiedades de las funciones derivables.
Polinomio de Taylor.
Optimización.
Funciones Reales de una Variable Real

OBJETIVOS
Operar y representar funciones reales de variable real, obtener sus límites, determinar su continuidad, calcular derivadas y plantear y resolver problemas de optimización.

Conjuntos numéricos
Definición.
Método de inducción.
Producto cartesiano.
Intersección.
Unión.
Propiedades de orden en R.
Valor absoluto de un número real.
Propiedades del valor absoluto.
Conjuntos acotados.
Intervalos acotados.
Intervalos no acotados.

Definición
Un conjunto es una colección de objetos. Los objetos de un conjunto se llaman los elementos del conjunto. Para indicar que un elemento x está en el conjunto A escribimos x? A y para indicar lo contrario escribimos x? A. A menudo se representan los conjuntos mediante llaves encerrando a sus elementos. Así pues 1?{-1, 0,1, 2} pero 0?{1, 2 , 3}. De los conjuntos numéricos se definen en primer lugar los números naturales N= {1, 2 , 3 , …} con los cuales se pueden realizar las operaciones de suma y multiplicación para que el resultado siga siendo un número natural.

Método de inducción
Se considera el conjunto N = {1, 2 , 3, … } . Sea P una propiedad que puede verificar o no un número natural; expresamos que P(n) es cierto si el número natural n verifica la propiedad P . Si se verifica:
i) P(1) es cierto, es decir, el primer número natural verifica P .
ii) Si es cierto P(n) entonces también lo es P(n +1) .
Entonces todo número natural verifica la propiedad P .

Producto cartesiano.
AxB = {(a,b) / a ? A y b? B }
Ejemplo:
Si A = {0 ,1} B = {1, 2}
AxB = {(0,1), (0,2) , (1,1) , (1,2)}
BxA = {(1,0) , (1,1) , (2,0), (2,1)}
Si A = B = [0 ,1] , AxB = {(x, y) / x ?[0,1] , y ?[0,1]} cuadrado unidad

Intersección y unión.
Intersección:
An B = {x / x? A y x? B} ; si A ? B ? An B = A
Unión:
A? B = {x / x? A ó x? B} ; si A ? B ? A? B = B
Ejemplo:
A = {x? R / x > 1} , B = {x? R / x > 3}
An B = {x? R / x > 3}
A? B = {x? R / x > 1}

Propiedades de orden R.
o bien a < b , o b < a , o a = b.
Si a = b y b = c , entonces a = c.
Si a = b , entonces a + c = b + c ?c? R.
Si a = b y c > 0 entonces ac = bc.
Si a = b y c < 0 entonces ac = bc . Por tanto si a = b entonces – a = -b.
Si a = b , siendo a y b no nulos del mismo signo, entonces 1/a = 1/b.

Valor absoluto de un número real.
Dado un número real x el valor absoluto de x , denotado por |x| , se define de la siguiente manera, |x| = x si x = 0 , |x| = -x si x = 0
Otras caracterizaciones son:
x = max{x , – x}
x =
Interpretación geométrica:
|x| = distancia entre x y 0.
|x – c| = distancia entre x y c .

Propiedades de valor absoluto.
Sean x , y ? R . Se verifica:
|x |= 0 y |x |= 0 ? x = 0
|- x |=|x|
| xy |=|x||y|
-|x |= x =|x|
|x| =d ? -d = x =d
|x-c| =d ? c -d = x = c +d
|x+y| = |x| + |y| ; |x-y| = |x| + |y|
|x-y| = |x| – |y|
si y ? 0

Conjuntos acotados.
Un conjunto A ? R se dice que está acotado superiormente ?: ?M? R / x =M ?x? A.
M se denomina cota superior para A
Un conjunto A ? R se dice que está acotado inferiormente ?: ?m? R / x = m ?x? A.
m se denomina cota inferior para A
Un conjunto A ? R está acotado ?: está acotado superior e inferiormente ?
?K? / | x| =K ?x? A

Axioma del supremo(ínfimo)
Sea A un conjunto de números reales acotado superiormente. Entonces A tiene extremo superior o supremo, denotado por sup A , que coincide con la menor de las cotas superiores.
Sea A un conjunto de números reales acotado inferiormente. Entonces A tiene extremo inferior o ínfimo, denotado por inf A, que coincide con la mayor de las cotas inferiores.
Si el supremo pertenece al conjunto A se llama máximo y se denota max A .
Si el ínfimo pertenece al conjunto A se llama mínimo y se denota min A .

Intervalos acotados y no acotados.
Dados a,b? R se tiene:
Intervalos acotados
(a , b) = {x? R / a < x < b} intervalo abierto
[a , b] = {x? R / a = x = b} cerrado
(a , b] = {x? R / a < x = b}
[a , b) = {x? R / a = x < b}
Intervalos no acotados
(a ,8) = {x? R / x > a}
[a ,8) = {x? R / x = a}
(- 8 ,b ) = {x? R / x < b}
(- 8 , b] = {x? R / x = b}
(- 8 ,8) = R

Funciones reales de una variable real.
Nociones preliminares.
Función monótona.
Función acotada.
Función par e impar: simetrías.
Función periódica.
Operaciones con funciones.
Composición de funciones y función inversa.
Funciones elementales.

Nociones preliminares.
Se llama función real de variable real a toda aplicación f : D ? R ? R , donde D es un conjunto de números reales denominado dominio de la función. Designaremos por x a un elemento de D y por y = f (x) a su imagen por la aplicación f .
Dom f = {x? R / f (x)? R}
Im f = {y? R / ? x?D, f (x) = y} = f (D)
El conjunto de todos los puntos del plano
(x, f (x)) con x?D forman la gráfica de la función f

Función monótona.
Sea f : D ? R ? R una función real de variable real, y S ? D.
f es monótona creciente en S ?:

f es monótona decreciente en S ?:

f es estrictamente creciente en S ?:

f es estrictamente decreciente en S ?: