Sistemas de segundo orden
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Los sistemas de segundo orden continuos son aquellos que responden a
una ecuación diferencial linea de segundo orden
Sin pérdida de generalidad se analizará un caso muy común donde:
Que corresponde al siguiente sistema de segundo orden:
donde
es una const.
que representa
una ganancia.
es una const. real
representa al polo
del sistema.
Su función de transferencia de lazo cerrado es:
Como se aprecia, los polos de lazo cerrado pueden ser de tres tipos
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Reales diferentes si:
, 2. Reales iguales si:
3. Complejos si
Para facilitar el análisis se realiza el siguiente cambio de variables
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forma estándar del sistema
de segundo orden.
donde es la frecuencia natural no amortiguada, se denomina atenuación, es el factor de amortiguamiento. Ahora el comportamiento dinámico del sistema de segundo orden se describe en términos de los parámetros y .
Se analizará la respuesta transitoria ante una entrada escalón unitario:
(1) Caso subamortiguado : en este caso se escribe
donde se denomina fracuencia natural amortiguada. Si
es una entrada escalón, entonces
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Utilizando fracciones parciales
y conociendo que
Se obtiene la salida en el tiempo
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(2) Caso de amortiguamiento crítico :
la transformada inversa arroja
en este caso se tienen dos polos reales iguales y ante un escalón es
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en este caso se tienen dos polos reales negativos y diferentes. Para una
entrada escalón, es
(3) Caso sobreamortiguado :
La transformada inversa de Laplace de la ecuación anterior es
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Fig. Curvas de respuesta al escalón unitario.
Figura. Respuesta al escalón de diferentes sistemas de segundo orden.
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Respuesta impulsiva de sistemas de segundo orden
para
para
Utilizando transformada inversa obtenemos las siguientes soluciones de
para
Sistemas de segundo orden
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Figura. Respuesta al impulso de diferentes sistemas de segundo orden.
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Definición de los parámetros de la respuesta transitoria
Las características de desempeño de un sistema de control se comparan basándose en el tiempo de la repuesta transitoria. La característica transitoria de los sistemas dinámicos se presenta por la incapacidad de responder de manera instantánea a las entradas o perturbaciones. La respuesta transitoria es común clasificarla con base a los siguientes parámetros.
1. Tiempo de retardo
2. Tiempo de crecimiento
3. Tiempo pico
4. Sobreimpulso máximo
5. Tiempo de establecimiento
a continuación se definen…
(Gp:) t
(Gp:) c(t)
(Gp:) 1
(Gp:) 0
Tiempo de retardo
, . Es el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar la mitad del valor final por primera vez.
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2.- Tiempo de crecimiento
2.- Tiempo de crecimiento, . Es el tiempo requerido para que la respuesta aumente de 0 a 100% para sistemas subamortiguados, del 5 al 95% o del 10 al 90% para sistemas críticamente amortiguados o sobreamortiguados.
El tiempo de crecimiento se obtiene dando un valor de uno en la ecuación de respuesta de un sistema de segundo orden ante una entrada escalón.
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o bien
el tiempo de crecimiento es
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3.- Tiempo pico, . Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de sobreimpulso. El tiempo pico se obtiene derivando la ecuación de respuesta c(t) e igualándola a cero, con lo que se obtiene
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SOBREPASO
4. Es el valor pico máximo de la curva de respuesta medido desde la unidad o valor deseado. El sobreimpulso máximo se obtiene de la respuesta evaluada en el tiempo pico.
5.- Tiempo de establecimiento,
5.- Tiempo de establecimiento, . Es el tiempo mínimo donde la curva de respuesta alcanza y se mantiene dentro de un rango de error preestablecido, generalmente es del 2% o del 5%, el rango más común es el del 2%. Para sistemas de primer y segundo orden, la respuesta se mantiene dentro del 2% después de 4 constantes de tiempo:
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