Concepto de cola
Una cola es una línea de espera para determinado servicio
Este servicio lo proporciona uno o varios dependientes
La teoría de colas analiza la causa de la formación de la cola, que es la existencia de momentos en los que hay una mayor demanda de servicio que la capacidad de servicio
Clasificación de sistemas de colas
Llamaremos clientes, trabajos o tareas a los que demandan servicio, y dependientes, empleados o servidores a los que ofrecen servicio
Un sistema de colas viene dado por varias características:
1º Modelo de llegada de clientes, El índice de llegadas será el número medio de llegadas por unidad de tiempo, Alternativamente podemos usar el tiempo entre llegadas, que es el tiempo medio entre llegadas sucesivas
Clasificación de sistemas de colas
2º Modelo de servicio, Puede venir dado por el tiempo de servicio o por el número de clientes atendidos por unidad de tiempo, Tendremos una variable aleatoria o bien un servicio determinista, Aquí supondremos que el modelo de servicio es independiente del de llegada
3º Disciplina de la cola, Establece el orden en que se va atendiendo a los clientes:
Por orden de llegada (FIFO)
Por orden inverso al de llegada (LIFO)
Selección aleatoria (RANDOM)
Según prioridades (PRIORITY, PR), Dos subtipos:
Con interrupción, Si llega un cliente de más prioridad, el trabajo que se estaba sirviendo se interrumpe para atenderlo
Sin interrupción, No se pueden interrumpir los trabajos
Dentro de cada clase de prioridad se podrán aplicar disciplinas LIFO, FIFO o RANDOM,
Clasificación de sistemas de colas
4º Capacidad del sistema, Es el número máximo de clientes que puede haber en el sistema (finito o infinito), Si llega un cliente y el sistema está lleno, se marcha,
5º Número de canales de servicio, Es el número de dependientes, Puede haber una cola para cada dependiente o bien una sola cola global
6º Número de estados de servicio, Puede haber varias partes en las que se subdivide el trabajo (estados), cada una con su cola y su dependiente, que deben ser completadas sucesivamente, P, ej,, tres estados:
Notación de Kendall
La notación de Kendall nos permite escribir resumidamente todas las características que hemos estudiado, Un sistema de colas se notará como: A | B | X | Y | Z | V, donde:
A es el modelo de llegadas, Valores posibles:
M=tiempos entre llegadas exponenciales
D=tiempos entre llegadas deterministas
G=tiempos entre llegadas generales (cualquier distribución)
B es el modelo de servicio, Puede tomar los mismos valores que A
Notación de Kendall
X es el número de dependientes (servidores)
Y es la capacidad del sistema (número máximo de clientes en el sistema), Se puede omitir si es infinita
Z es la disciplina, Se puede omitir si es FIFO
V es el número de estados de servicio, Se puede omitir si es 1
Por ejemplo, M | M | 1 | ? | FIFO | 1 se escribe abreviadamente M | M | 1
Medidas de rendimiento
Una vez descrito el sistema, nuestro objetivo es evaluar su rendimiento, Para ello tenemos varias medidas de rendimiento:
Número medio de clientes en el sistema, notado L
Tiempo medio de espera de los clientes, W
Número medio de clientes en la cola, Lq
Tiempo medio de espera en cola de los clientes, Wq
Descripción del modelo
Hay una sola cola, cuya capacidad es infinita, y un solo servidor, La disciplina será FIFO
Las llegadas se producen según un proceso de Poisson de razón ?, donde ? es el número medio de llegadas por unidad de tiempo y 1/? es el tiempo medio entre llegadas, Los tiempos entre llegadas se distribuirán exponencialmente, Exp(?)
Los tiempos entre servicios también se distribuirán exponencialmente, Exp(?), de tal manera que ? es el número medio de clientes que el servidor es capaz de atender por unidad de tiempo y 1/? es el tiempo medio de servicio
Cola M | M | 1
Condición de no saturación
Se demuestra que si ???, el sistema se satura, es decir, el número de clientes en la cola crece indefinidamente con el tiempo, Por consiguiente, la condición de no saturación será:
Nosotros sólo estudiaremos las colas que no se saturan, Cuando una cola no se satura, también se dice que alcanza el estado estacionario,
Probabilidades
El parámetro ? se llama carga, flujo o intensidad de tráfico del sistema, puesto que mide la relación entre la cantidad de trabajos que llegan y la capacidad de procesarlos
Suponiendo que el sistema no se satura, se deduce la siguiente fórmula para las probabilidades pn de que haya n clientes en el sistema, donde n?N:
Medidas de rendimiento
El número medio de clientes en el sistema, L, se calcula así:
Sumamos la serie aritmético-geométrica:
Medidas de rendimiento
La utilización del dependiente, notada U, es la fracción de tiempo (en tanto por uno) que el dependiente permanece ocupado, Para hallarla, nos valemos de que cuando no hay saturación, el número medio de clientes que entran en el sistema debe ser igual al número medio de clientes que salen de él:
Como para deducir la anterior fórmula no hemos usado ninguna característica especial del modelo de entrada ni del de salida, dicha fórmula es válida para colas G | G | 1
Medidas de rendimiento
El tiempo medio de respuesta W es el tiempo medio que un trabajo permanece en el sistema, Si suponemos que un trabajo, al llegar al sistema, se encuentra con que hay por delante de él otros j trabajos, el tiempo medio que tardará en salir del sistema será j+1 veces el tiempo medio de servicio, Por lo tanto:
Tiempo que se pasa
en el sistema si
hay j por delante
al llegar
Probabilidad de que
haya j por delante
al llegar
Medidas de rendimiento
Podemos simplificar algo más:
El tiempo medio de espera en la cola Wq se hallará restando a W el tiempo que tarda en ser servido el trabajo (esto es válido para cualquier tipo de cola):
En el caso particular de una cola M | M | 1, obtenemos:
Ejemplo
Unos mecánicos llegan a una media de 10 por hora a recoger piezas de repuesto, Estas piezas se las da un dependiente pagado con 5 €/hora y que tarda como media 5 min en servir, Cada hora que tiene que esperar un mecánico (en el sistema) le cuesta al taller 10 €, Queremos saber si merece la pena contratar a un ayudante de dependiente, pagado con 4€/hora, de forma que el tiempo medio de servicio se reduzca a 4 min
Nota: Al resolver un problema de colas, tener siempre muy presente la coherencia de unidades
Ejemplo
Tenemos dos opciones:
Sin ayudante: 1/?1 = 5 min = 1/12 h
Con ayudante: 1/?2 = 4 min = 1/15 h
En ambos casos, ? = 10 clientes/h
Opción 1 (sin ayudante):
Por tanto, perdemos 5·(10€/h) = 50€/h
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