A. MANEJO DE LA DERIVADA

DEFINICIÓN:
Las derivadas se definen tomando el límite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.
Es difícil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una función porque sólo conocemos un punto de ésta, el punto donde ha de ser tangente a la función. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el límite de las pendientes de las secantes próximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.
Para obtener estas pendientes, tomemos un número arbitrariamente pequeño que llamaremos h. h representa una pequeña variación en x, y puede ser tanto positivo como negativo. La pendiente de la recta entre los puntos y es …ver más…

Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado.
Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia marcó lecturas diferentes de 50 Km./h. Inicialmente marco 0; a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0.
Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el velocímetro? No marca la velocidad promedia, sino la llamada velocidad instantánea.
Considere un ejemplo más preciso. Sea P un objeto que cae al vacío. Los experimentos demuestran que si un objeto, parte del reposo en caída libre, la posición S del objeto, como función del tiempo viene dada por:
: S en pies t en segundos
Asi, en el primer segundo, cae 16 pies.
En el segundo segundo, cae 16(2)2 = 64 pies.
En el intervalo de t =1 seg a t =2 seg, P cae (64 – 16) pies.
Asi que su velocidad promedio será:

En el intervalo de t =1 seg a t =1.5 seg, P cae (16(1.5)2 – 16) pies.
Su velocidad promedio será de:

En forma similar, en los intervalos de tiempo: de t =1 seg a t =1.1 seg, y de t =1 seg a t =1.01 seg, P caerá respectivamente: (16(1.1)2 – 16) pies y (16(1.01)2 – 16) pies.
Sus velocidades promedio serán respectivamente:

Lo que se ha hecho hasta ahora, es calcular la velocidad promedia sobre los intervalos de tiempo cada vez mas cortos pero próximos a 1 seg. Cuanto mas nos aproximamos a t =