Cálculo de raíces de ecuaciones no lineales.
Introducción.
La resolución de ecuaciones en una variable es uno de los problemas clásicos de la aproximación numérica. Se trata de hallar una raíz de una ecuación de la forma ( ) 0 f x para una función dada f . Al valor de x que verifica la ecuación se lo suele llamar también cero .
Todos los métodos necesitan comenzar por una aproximación inicial a partir de la cual generan una sucesión que converge a la raíz de la ecuación.
Si [a , b] es un intervalo en el que la función cambia de signo, y f es continua en dicho intervalo, entonces existe un valor c perteneciente al intervalo (a , b) en el que la función se anula. Los métodos de bisección y de falsa posición parten de dicho …ver más…

En primer lugar comprobamos que la raíz se encuentra dentro del intervalo.
Para ello se calcula el valor de la función en los extremos del intervalo y se aplica el teorema de
Bolzano.
(2) 0.409297
(2) (3) 0
(3)
1.35888 f f f f

⎫
⇒
⋅

⎬
−
⎭
Primera etapa:
2 3
2.5
2
2
a b c 




.
A partir de este punto c se busca el nuevo intervalo ,a b .
2
(2.5)
0.401528; (2) (2.5) 0
2.5
a f f f b

⎧
−
⋅
⇒ ⎨

⎩
Segunda etapa:
2 2.5
2.25
2
2
a b c 




.
Se calcula el nuevo intervalo,
2.25
(2.25) 0.0280732; (2) (2.25) 0
2.5
a f f f b

⎧

⋅
⇒ ⎨

⎩
De esta manera se consigue una sucesión de valores c que van acercándose progresivamente al valor de la raíz.

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C Á L C U L O D E R A I C E S D E E C U A C I O N E S N O L I N E A L E S
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Después de dieciséis iteraciones resulta
2.26717
c 
, evaluando la función en ese punto resulta
6
(2.26717) 3.2971 10 f −

 muy próximo a cero.
En el siguiente apartado se ha realizado el cálculo con el programa Mathematica, realizando un total de veinte iteraciones.
Ejemplo con Mathematica.
In[1]:= f[x_] = Sin[x]− x+
3
2
Out[1]=
3
2
− x + Sin@xD
In[2]:= a= 2; b = 3;
In[3]:= Do[c= a+ b
2
; iz[i] = a;der[i] = b;