SISTEMAS DINAMICOS, Por Manuel Morán Sesión Primera: Ley de crecimiento y puntos de equilibrio Presentación: Los sistemas dinámicos sirven para entender como evolucionan los procesos de la naturaleza. Modernamente han dado lugar a importantes descubrimientos, como la existencia de caos. A través de algunos ejemplos sencillos trataremos de aproximarnos a esta teoría matemática 1. Supongamos que una especie de peces se reproduce de forma que si este año la cantidad de peces es x, el año próximo será y, donde y viene dada por la curva o dinámica de crecimiento, en la forma que indica la figura.

a) ¿Cuál será la cantidad de peces que da una cantidad máxima para el año próximo? b) Cuántos peces habrá al año siguiente si este año hay 1 millón …ver más…

o) El otro punto de equilibrio es la población nula, x**=0. Supón que en un ecosistema no hay ningún individuo, pero se introducen unos pocos ejemplares. Supón que la curva de crecimiento es la de la actividad anterior. ¿Qué ocurrirá a largo plazo? El punto de equilibrio x**=0 se llama inestable porque si se altera ligeramente, la población se aleja de ese equilibrio. p) Estudia si los puntos de equilibrio de las actividades 3 y 4 eran o no inestables. 8. Calculando raíces cuadradas con un sistema dinámico. Supongamos que la ecuación de un sistema dinámico es xk+1 = 2/xk +xk/2 q) Encuentra su punto o puntos fijos. Ocurre que este es un punto fijo superatractivo, de forma que si el sistema empieza cerca del punto fijo, por ejemplo en x0 = 2, las xk se acercan velozmente al punto de equilibrio r) Si x0 = 2, encuentra x1, x2, x3. Compara con el valor conocido para el punto fijo. s) Idea otro sistema dinámico para calcular la raíz cuadrada de cualquier numero x.

SISTEMAS DINÁMICOS Sesión Segunda: Dinámica compleja. Soluciones dinámicas a problemas geométricos

1. Ciclos de orden dos Se ha observado que cierta especie de mariposas tiene poblaciones muy altas los años pares y poblaciones más bajas los años impares. En la figura puede verse la curva de crecimiento.

a) Averigua que ocurre a largo plazo si la