Regla de L’Hôpital e integrales impropias.

Notas de clase para Matemáticas 2, CB0212.

Patricia Gómez Palacio. pagomez @eafit.edu.co

Universidad Eafit Ciencias Básicas

Semestre 2 de 2008

1

1.

Regla de L’Hôpital

El cálculo de algunos límites que involucran formas indeterminadas del tipo 0/0, o ∞/∞, no se pueden abordar de forma fácil con los métodos básicos de factorización u otros, aprendidos en cursos anteriores lo que crea la necesidad de estudiar la regla de L’Hôpital, la cual es un teorema que aplica la derivada de una función en el cálculo de determinados límites y cuyo nombre hace referencia al matemático francés Guillaume Francois Antoine de L’Hôpital quien es el primer matemático en citar la regla en sus …ver más…

El lector interesado en saber como abordar problemas que involucren dichas indeterminadas se le sugiere revisar la bibliografía al final de este documento. Ejercicios Evaluar los siguientes límites, aplicando la regla de L’Hôpital cuando sea necesario.
−x−2 1. l´mx→−1 x x+1 ı x 2. l´mx→1 xln−1 ı 2
2 2

3. l´mx→∞ ex ı x/2 4. l´mx→0+ x ln x ı 5. l´mx→∞ ln2x ı x
3 2 6. l´mx→1+ ( ln x − x−1 ) ı

3

7. l´mx→0+ ( 10 − x32 ) ı x 8. l´mx→∞ ex ı x 4

2.

Integrales Impropias

En la definición que tenemos de integral definida ab f (x)dx se requiere que el intervalo [a, b] sea finito, es decir que a y b sean números reales, y por su parte para la aplicación del teorema de evaluación de integrales se requiere que la función f sea continua en el intervalo cerrado [a, b]. A las integrales que no cumplen una de estas condiciones, es decir que uno de sus límites de integración es infinito, o que la función f tiene un número finito de discontinuidades infinitas, se les denomina integrales impropias y a la forma de evaluar dichas integrales, como también a la aplicación de las mismas dedicamos las líneas que siguen. Las aplicaciones de integrales impropias de mayor interés en este curso, están relacionadas con la teoría de la probabilidad. En