CAPITULO PRIMERO

Sistemas con un grado de libertad sin amortiguamiento

PROBLEMAS:

1. Determine el período natural del sistema representado en la figura 1.1. No considere la masa de la viga o de los resortes que soportan el peso W.

[pic]

Figura 1.1

SOLUCION

El desplazamiento Δ producido por una fuerza estática P aplicada al extremo libre de una viga en voladizo está dado por:

[pic]

donde I es el momento de inercia de la sección de la viga.

Por lo tanto, la constante del resorte k1 de la viga es

[pic]

donde I= 1/12 bt3 (para una sección rectangular).

La viga y los dos resortes de este sistema están conectados como resortes en paralelo. En consecuencia, la constante del resorte …ver más…

Dif.

ecuación diferencial cuya soluciones son:

[pic]

cuya solución general es:

[pic]

derivando se tiene

[pic]

reemplazando en la ecuación diferencial tenemos:

[pic]

simplificando nos queda

[pic]

para las condiciones iniciales en t = 0 y θ= θ0 y [pic]=[pic] tenemos:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

reemplazando en la ecuación de la solución general se tiene:

[pic] lqqd

8. Escriba la ecuación diferencial para el movimiento del péndulo invertido mostrado en la figura 1-8 y determine su frecuencia natural. Considere pequeñas oscilaciones y desprecie la masa de la barra.

[pic]

Figura 1.8

SOLUCION

Tomando sumatoria de momentos con respecto al punto 0 tenemos:

[pic]

Figura 1.8.1

[pic]

si senθ ≈ θ tenemos:

[pic]

[pic]

Remplazando y simplificando se tiene:

[pic]

[pic]

[pic] lqqd.

9. Una barra vertical de longitud L y rigidez de flexión EI sostiene una masa m en su extremo, como se muestra en la figura 1-9. Despreciando la masa de la barra, deduzca la ecuación diferencial para oscilaciones horizontales pequeñas y encuentre la frecuencia natural. Considere que