1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la formula: R(x)=-0.002x2+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.
Solución
a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
-Se deriva la función:
R`(x)=-0,004x+0,8
-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:
R`(x)=0 , -Se …ver más…

4. La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en cierto pantano, como función del instante de tiempo t (en meses), viene dada a través de la expresión Se pide:
a) En que periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida?
b) En que instante se obtuvo la cantidad máxima de agua?
c) Cual fue esa cantidad máxima?
Solución
Teniendo en cuenta la regla de derivación de un cociente:
Si , su derivada es f’(t)= Y si queremos que sea cero, tiene que ser cero el numerador, de donde t =6 Señalamos el punto 6 en la recta y estudiamos el crecimiento de la función, f, entre 0 y 12 (viendo el signo del numerador solo, pues el denominador siempre es positivo) 0 6 12 f ’ + -
Crece hasta el 6 y decrece desde el 6
Por lo tanto en 6 tiene un máximo relativo, que en este caso es absoluto (pues en el infinito da 0) y se tiene:
a) la cantidad aumenta en el periodo de 0 a 6
b) en t =6
c) f(6)=10/1=10

NOTA IMPORTANTE: EN ESTE TIPO DE PROBLEMAS CASI NUNCA ES ACONSEJABLE DESARROLLAR EL DENOMINADOR.

5. La suma de dos números no negativos es 36. Halla dichos números para que:
a) La suma de sus cuadrados