Maximización de utilidades.
Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que produce a un precio de $6 cada uno. El costo de producir x artículos a la semana (en dólares) es:
Cx=1000+6x-0.003x2+ 10-6x3

¿Qué valor de x debemos seleccionar con objeto de maximizar las utilidades?
El ingreso producido por la venta de x artículos a $6 cada uno es R(x) = 6x dólares. Por consiguiente, la utilidad por semana es:
P(x) = R(x) – C(x) = 6x-(1000+6x-0.003x2+ 10-6x3) = -1000+0 .003x2+ 10-6x3
A fin de encontrar el valor máximo de P, buscamos los puntos críticos en forma de usual y luego investigamos su naturaleza. Derivando obtenemos:
P´x= 0.006x-3×10-6x2
Y haciendo P´x=0, encontramos que x=0, o …ver más…

P´x=6+0.003x-3×10-6x2=0

Cambiamos signos, dividiendo entre 3 y multiplicamos por 106 la ecuación completa, obtenemos x2-100x-2×106=0. Podemos factorizar al lado izquierdo como x-2000x+1000=0
Y así las soluciones son x=2000 o-1000.
La raíz negativa no tiene importancia práctica de moda que solo necesitamos considerar x=2000. Con objeto de verificar que esta en realidad representa un máximo local de una función de utilidad, podemos comprobar que P´´200<0

P´´x=0.003-6×10-6x
P´´x=0.003-6×10-62000=-0.009
Por tanto, el volumen de ventas de 2000 artículos por semana nos da la utilidad máxima. El precio por artículo que corresponde a este valor de x es: p=12-0.0015x=12-0.00152000=9 Siempre, la utilidad, es la diferencia entre el ingreso y los costos:
Px=Rx-C(x)
En consecuencia, suponiendo que todas las funciones son diferenciables,
P´x=R´x-C´(x)
Cuando la utilidad es máxima, P´x=0, y se consigue que R´x=C´x.
Este resultado representa una importante conclusión general con respecto a la operación de cualquier empresa: en el nivel de producción en que la utilidad es máxima, el ingreso marginal es igual al ingreso marginal.
En un mercado de libre competencia, en que muchas empresas elaboran productos similares a casi el mismo precio, el volumen de ventas puede incrementarse