Cap´ ıtulo 8
Derivadas parciales y diferencial 8.1.

Derivadas parciales de primer orden.

Sean f : D ⊂ R2 → R y (x0 , y0 ) ∈ D. Si existe y es finito l´ ım

x→x0

su valor se denota por

f (x, y0 ) − f (x0 , y0 )
,
x − x0

(8.1)

∂f
(x0 , y0 )
∂x

o fx (x0 , y0 ) y recibe el nombre de derivada parcial de f con respecto a x en el punto
(x0 , y0 ). De forma similar se define la derivada parcial con respecto a y :
∂f
f (x0 , y ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = l´ ım , y →y0
∂y
y − y0 que se denota tambi´n por fy (x0 , y0 ). e 236

2

xy
Ejemplo 8.1.1. Sea f (x, y ) = x2 +y2 , si (x, y ) = (0, 0), y f (0, 0) = 0. Las derivadas parciales en el origen se obtienen de la siguiente forma:

∂f f (x, 0) …ver más…

Derivando respecto de x, considerando y constante, obtenemos fx (x, y ) =

(3x2 y − y 3 )(x2 + y 2 ) − (x3 y − xy 3 )2x
=
(x2 + y 2 )2

239

=

y (x4 + 4x2 y 2 − y 4 )
,
(x2 + y 2 )2

para (x, y ) = (0, 0).
Derivando ahora respecto de y , considerando x constante, resulta fy (x, y ) =

(x3 − 3xy 2 )(x2 + y 2 ) − (x3 y − xy 3 )2y
=
(x2 + y 2 )2
=

x(x4 − 4x2 y 2 − y 4 )
,
(x2 + y 2 )2

para (x, y ) = (0, 0).
Para calcular las derivadas parciales en el origen debemos acudir a la definici´n: o
0
−0 f (x, 0) − f (0, 0) x2 fx (0, 0) = l´ ım = l´ ım = x→0 x →0 x − 0 x−0 0
= l´ 0 = 0 ım x→0 x x→0 = l´ ım 0

−0 f (0, y ) − f (0, 0) y2 fy (0, 0) = l´ ım = l´ ım = x→0 y →0 y − 0 y−0 0
= l´ ım = l´ 0 = 0. ım y →0 y y →0
Ahora estamos en condiciones de proceder a calcular las derivadas parciales de segundo orden en el origen: fy (x, 0) − fy (0, 0)
=
x →0 x−0 fyx (0, 0) = l´ ım = l´ ım x→0

x−0
=1
x−0

fx (0, y ) − fx (0, 0)
=
y−0
−y − 0
= l´ ım = −1. y →0 y − 0

fxy (0, 0) = l´ ım y →0

240

Definici´n 8.2.2. Sean D un subconjunto abierto de R2 y k un n´mero o u natural mayor o igual que 1. Diremos que una funci´n f es de clase k en D o si f posee todas las derivadas parciales hasta las de orden k y son continuas en D (se denota f ∈ C k (D)).
Se demuestra que, si f es una funci´n de clase k ≥ 2 en un o abierto D y de cualquier n´ mero de