Llista de problemes.
Tema 7: Optimitzaci´ en una variable real. Solucions o Departament d’Economia i d’Hist` ria Econ` mica o o

1. i 2.

a) f (x) =

x3
3

´
− 2x2 + 3x + 1, al ser un polinomi es continua i derivable

a R. Tenim f ′ (x) = x2 − 4x + 3, i f ′′ (x) = 2x − 4.
- Creixement/decreixement: f ′ (x) > 0 ⇔ x2 − 4x + 3 > 0 ⇔ x ∈
(−∞, 1) ∪ (3, +∞) ⇔ f creix f ′ (x) < 0 ⇔ x2 − 4x + 3 < 0 ⇔ x ∈ (1, 3) ⇔ f decreix
- Possibles extrems: f ′ (x) = 0 ⇔ x2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1, 3
Estudiem el signe de la segona derivada en ells. f ′′ (x = 1) = −2 < 0 ⇒ en x = 1 hi ha un m` x relatiu a f ′′ (x = 3) = 2 > 0 ⇒ en x = 3 hi ha un min relatiu
- Concavitat/convexitat: f ′′ (x) > 0 ⇔ 2x − 4 > 0 ⇔ x ∈
(2, +∞) ⇔ f convexa
f …ver más…

En o o
´
x = 0, π, 2π no es derivable (comproveu-ho!), en aquests punts t´ els e seu m´nims globals. Tenim: ı { cos x, f ′ ( x) =
− cos x,

si 0 < x < π si π < x < 2π

{
− sin x, f ′′ (x) = sin x,

si 0 < x < π si π < x < 2π

- Creixement/decreixement: f ′ (x) > 0 ⇔ x ∈ (0, π ) ∪ (π,
2

3π
),
2

π f ′ (x) < 0 ⇔ x ∈ ( π , π ) ∪ ( 32 , 2π )
2

- Possibles punts extrems: f ′ (x) = 0 ⇔ x = π ,
2

3π
2

Evaluant-los a

la segona derivada veiem que ambd´ s donen negatiu, per tant s´ n o o maxims relatius. De fet s´ n maxims absoluts. o - Concavitat/convexitat: f ′′ (x) > 0 mai.

f ′′ (x) < 0 ⇔ x ∈

(0, π ) ∪ (π, 2π )
- Possibles punts d’inflexi´ : No s’annul·la mai la segona derivada. o 1.5

1 y 0.5

–6

–4

–2

2

4 x –0.5

–1

7

6

g) f (x) =

ln x
.
x

Est` definida per les x > 0. a Tenim f ′ (x) =

1−ln x
,
x2

f ′′ (x) =

−3+2 ln x
,
x3

f ′′′ (x) =

11−6 ln x
.
x4

- Creixement/decreixement: f ′ (x) > 0 ⇔ 1 − ln x > 0 ⇔ x ∈
(0, e), f ′ (x) < 0 ⇔ 1 − ln x < 0 ⇔ x ∈ (e, +∞)
- Possibles punts extrems: f ′ (x) = 0 ⇔= 0 ⇔ x = e Estudiem el signe de la segona derivada en ell per veure qu` es i trobem e´ ´ que en (x = e, 1 ) hi ha un m` xim relatiu. Despres es