Unidad 3: Ecuaciones diferenciales y modelado de sistemas
Objetivo: resolver ecuaciones diferenciales mediante software matemático para modelar sistemas mecatrónicos.
Objetivo de aprendizaje: Elaborar un modelo de un sistema físico mediante ecuaciones diferenciales encontrando su solución con el empleo de software matemático.
Definición de ecuación diferencial (ED): Una ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se llama ecuación diferencial.
“Se llama ecuación diferencial a aquella ecuación que contiene derivadas.”
Clasificación de las ED: las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar según tres características: tipo, orden y …ver más…

El método que se emplee para resolverla depende de la forma particular que presente la ecuación. Los métodos que vamos a estudiar son: Integración directa, Separación de variables, Factor de integración, Sustitución apropiada. Pero, antes de entrar de lleno a solucionar ecuaciones diferenciales de primer orden vamos a tratar algunos conceptos importantes.
Integración directa
La ecuación diferencial de primer orden y' = f (x, y) toma una forma particularmente simple si en la función f no aparecen términos con y: dydx=f(x) , En este caso, para hallar la solución general basta con integrar ambos miembros de la igualdad, obteniéndose: y= fxdx+C o también, dy= fxdx+C
Ejemplos: Encuentre una función, y = f(x) que satisfaga las ecuaciones diferenciales dadas y las condiciones iniciales prescritas.
1). dydx=2x+1; y0= 3
Solucion:
dy=2x+1dx →separando variables dy= 2x+1dx →aplicando la integral
∴ y= x2+ x+C →integrando en ambos miembros de la igualdad 3= o2 + 0+C →sustituyendo las variables por sus valores iniciales
∴ C=3 →de tal manera que : y= x2+ x+3
2). dydx=x(x2+ 9)12 ; y-4=0
Solucion:
dy= x(x2+ 9)12 dx → separando variables dy= x(x2+ 9)12 dx → aplicando la integral y= 12(x2+ 9)12 (2xdx) y= 13(x2+ 9)32 + C → integración por sustitución
0= 13((-4)2+ 9)32 + C → sustituyendo las variables por sus valores iniciales
0= 13(25)32 + C ∴ C= -1253 , de tal manera que : y= 13(x2+