´ ´ Miscelanea Matematica 44 (2007) 79–82

SMM

Sobre la infinidad de los n´meros primos: u un enfoque topol´gico o
Marianito Rocha Rodrigo
Instituto Tecnol´gico Aut´nomo de M´xico o o e R´ Hondo # 1 ıo 01080 M´xico, D.F. e M´xico e mrocha@itam.mx

Un resultado bien conocido en la teor´ elemental de n´meros, usualıa u mente atribuido a Euclides, dice que hay un n´mero infinito de primos. u Existen varias demostraciones de este resultado [1, 3] pero en esta nota mostraremos en detalle el enfoque ingenioso de Furstenberg [2], que utiliza conocimientos b´sicos de topolog´ por ejemplo, espacios topol´gia ıa, o cos, conjuntos abiertos y conjuntos cerrados. Sea X un conjunto no vac´ Una colecci´n T de subconjuntos de ıo. o X es una …ver más…

Esto implica que x ∈ N0,p , o que x ∈ u N0,p . Entonces, Z \ {−1, 1} ⊆ p∈P N0,p . Un argumento semejante p∈P prueba que p∈P N0,p ⊆ Z \ {−1, 1}. Teorema 7. El conjunto P es infinito. Demostraci´n. Si P fuera finito, entonces el lado izquierdo de (1) ser´ o ıa cerrado puesto que es una uni´n finita de conjuntos cerrados (cada N0,p o es cerrado por el Lema 4). Se sigue que {−1, 1} es abierto. Pero esto es una contradicci´n ya que por el Lema 5 todo conjunto abierto no o vac´ tiene que ser infinito. Por lo tanto, hay una infinidad de n´meros ıo u primos.

Agradecimiento
Quiero agradecer al Dr. Guillermo Grabinsky por sus comentarios y sugerencias.

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Marianito Rocha Rodrigo

Referencias
[1] M. Aigner and G.M. Ziegler, Proofs from The Book, SpringerVerlag, 1998. [2] H. Furstenberg, On the infinitude of primes, Amer. Math. Monthly 62 (1955), p. 353. [3] P. Ribenboim, The Little Big Book of Primes, Springer-Verlag,