1
3

LA INTEGRAL DEFINIDA.
APLICACIONES

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REFLEXIONA Y RESUELVE
Dos trenes
Un Talgo y un tren de mercancías salen de la misma estación, por la misma vía y en idéntica dirección, uno tras otro, casi simultáneamente.
Estas son las gráficas TIEMPO - VELOCIDAD de ambos movimientos.
VELOCIDAD
(en km/h)
120

TALGO
MERCANCÍAS

100
80
60
40
20

1

2

3

4

TIEMPO
(en horas)

Como podemos ver en la gráfica, el Talgo, a las dos horas, reduce su velocidad:
¿A qué puede deberse?
¿Por qué no aminora la marcha también el otro tren en ese instante?
A las tres horas, ambos trenes modifican su marcha: el Talgo se detiene durante breves minutos, mientras que el tren de mercancías va muy despacio durante …ver más…

–4

Resolvemos gráficamente ambas integrales para posteriormente sumar los resultados.
I1: y = √ 16 – x 2

ò y 2 = 16 – x 2

ò x 2 + y 2 = 4 2 (circunferencia)

El recinto cuya área queremos calcular es medio círculo de radio 4 u.

4
3

Área =
=

1
1
· π · 42 =
· π · r2 =
2
2

2

16
· π = 8 · π = 25,1 u2
2

— y = √16 – x2

1

–4

–3

–2

–1

I2: Se trata de un rectángulo de dimensiones 8 u Ò 4 u. Por tanto, su área es 32 u2.

0

1

2

3

4

4 y=4 3
2
1

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

Finalmente, I1 + I2 = 25,1 + 32 = 57,1 u2.
b)

∫

4

(4 – √ 16 – x 2 ) dx = ∫

–4

4

4 dx –

–4

∫

4

√ 16 – x 2 dx

–4

Observamos que se trata de las mismas integrales que en el apartado a), solo que ahora es I2 – I1, dando como resultado 32 – 25,1 = 6,9 u2.

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1. Sea la función F (x) =

F (x) =

∫

x

log (t 2 + 4) dt =
0

∫

x

log (t 2 + 4) dt. Calcula F' (x).

0

∫

x

f (t ) dt, siendo f (t ) = log (t 2 + 4) continua.
0

Por el teorema fundamental del cálculo:
F' (x) = f (x) = log (x 2 + 4)

4

Unidad 13. La integral definida. Aplicaciones

UNIDAD 13

2. Calcula la siguiente integral:

∫