El problema del cálculo del área

Uno de los problemas que más repercusión ha tenido en la historia de las matemáticas es el del estudio del área encerrada bajo una curva, pues tiene una aplicación inmediata en algunos problemas de física. Ejemplo: Consideremos un cuerpo que se mueve con una velocidad constante de 3m/s. La gráfica velocidad-tiempo del cuerpo es la representada en el dibujo. Calcular el espacio recorrido por el cuerpo entre t = 0 y t = 6, con las fórmulas de física conocidas. Estudiar la relación que existe entre este resultado y el área encerrada por las rectas t = 0, t = 6, v = 0 y v = 3.
Solución:
El hecho de que la velocidad sea constante nos indica que estamos en un caso de MRU, por lo que deberemos usar la …ver más…

Las funciones escalonadas hacen de nexo entre el método de exhaución y las integrales definidas de cualquier función.

Ejemplo: Dada la función del dibujo, calcular a mano el área que delimitan f(x), las rectas x = 0, x = 5 y el eje OX.

Como vimos en el apartado 1, este tipo de funciones se llaman escalonadas. Nos interesa calcular el área que delimitan f(x), las rectas x = 0, x = 5 y el eje OX.
El área que nos interesa se puede descomponer en tres rectángulos: el “rectángulo” A cuya base es el intervalo [0,1], y altura 1; el rectángulo B de base [1,2], y altura 3; y el rectángulo C de base [2,4], y altura 5. Por lo tanto, para calcular el área total hemos de sumar el área de estos tres rectángulos. Si denotamos por x0, x1, x2, x3 los puntos que delimitan las bases de los rectángulos y por r1, r2, r3 las alturas de dichos rectángulos tenemos