APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA TECNOLOGIA DE ALIMENTOS - TRASNFERENCIA DE CALOR: CALENTAMIENTO, ENFRIAMIENTO - REFRIGERACION Y CONGELAMIENTO

En el caso del enfriamiento o congelación de un producto alimentario sólido, el mecanismo de trasferencia de calor dominante es el denominado de conducción, en el cual la transferencia de calor se propaga progresivamente debido a la agitación molecular, lo que hace que se trate de un sistema de trasferencia interno y lento. La necesidad de establecer sistemas de ahorro energético dentro del sector de las industrias agroalimentarias y en concreto en aquellas operaciones que suponen elevados consumos exigen no solo analizar los equipos utilizados sino además ajustar los cálculos …ver más…

Solución
a) El tipo de ecuación diferencial que modela esta situación es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.
b) La ecuación que representa esta situación es

dTt=k(T-60)
Aplicando el factor integrante tenemos que de la ecuación

dTt-kT=-60k

el factor integrante es

u=e-kdt=e-kt

ahora multiplicamos la ecuación por el factor integrante

e-ktdTdt-ke-ktT=-60e-ktk

escribiendo esta ecuación como la derivada de un producto tenemos

ddte-ktT=-60e-ktk

integrando esta última ecuación obtenemos

e-ktT=60e-kt+c

despejando T(t) se obtiene
T(t)=60+Cekt

c) La ecuación que representa esta situación es

dTt=kT-60
T0=350
Aplicando el método de separación de variables tenemos

dTT-60=kdt

integrando dTT-60=kdt obtenemos que

lnT-60=kt+c

de donde

T(t)= 60+Cekt

Si T(0)= 350 entonces
350=60+c

por lo tanto tenemos
T(t)= 70+290ekt

si en T=5 se tiene

180= 60+290e5k

entonces al despejar de esta ecuación el valor de la constante se obtiene que

k=-0.17647

Por consiguiente
T(t)= 60+290e-0.1764t

d) La ecuación que representa esta situación es

dTt=kT-60
T0=350
Aplicando el método de separación de variables tenemos

dTT-60=kdt

integrando dTT-60=kdt obtenemos que lnT-60=kt+c de donde
T(t)= 60+Cekt

Si T(0)= 350 entonces
350=60+c

por lo tanto tenemos
T(t)= 70+290ekt

si en t = 5 se tiene
180= 60+290e5k

entonces al despejar de esta