Historia del cálculo

Introducción

Los orígenes del cálculo se remontan unos
2,500 años por lo menos, hasta los antiguos griegos,
quienes hallaron áreas aplicando el "método de
agotamiento".

El Cálculo constituye una de las grandes
conquistas intelectuales de la humanidad. Una vez construido, la
historia de la matemática ya no fue igual: la
geometría, el álgebra y la aritmética, la
trigonometría, se colocaron en una nueva perspectiva
teórica. Detrás de cualquier invento,
descubrimiento o nueva teoría, existe, indudablemente, la
evolución de ideas que hacen posible su nacimiento. Es muy
interesante prestar atención en el bagaje de conocimientos
que se acumula, desarrolla y evoluciona a través de los
años para dar lugar, en algún momento en particular
y a través de alguna persona en especial, al nacimiento de
una nueva idea, de una nueva teoría, que seguramente se va
a convertir en un descubrimiento importante para el estado actual
de la ciencia y, por lo tanto merece el reconocimiento. El
Cálculo cristaliza conceptos y métodos que la
humanidad estuvo tratando de dominar por más de veinte
siglos. Una larga lista de personas que trabajaron con los
métodos "infinitesimales" pero hubo que esperar hasta el
siglo XVII para tener la madurez social, científica y
matemática que permitiría construir el
Cálculo que utilizamos en nuestros días.

Sus aplicaciones son difíciles de cuantificar
porque toda la matemática moderna, de una u otra forma, ha
recibido su influencia; y las diferentes partes del andamiaje
matemático interactúan constantemente con las
ciencias naturales y la tecnología moderna.

Newton y Leibniz son considerados los inventores del
cálculo pero representan un eslabón en una larga
cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron
a los procedimientos infinitesimales de sus antecesores
inmediatos, Barrow y Fermat, la unidad algorítmica y la
precisión necesaria como método novedoso y de
generalidad suficiente para su desarrollo posterior.

Sin la contribución de muchos otros hombres
más, el cálculo de Newton y Leibniz seguramente no
existiría. Su construcción fue parte importante de
la revolución científica que vivió la Europa
del siglo XVII. Los nuevos métodos enfatizaron la
experiencia empírica y la descripción
matemática de nuestra relación con la realidad. La
revolución científica supuso una ruptura con las
formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que
dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV.
Esta ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron
precedidos por las importantes transformaciones que se vivieron
durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma
Protestante. El Cálculo Diferencial e Integral
están en el corazón del tipo de conocimiento,
cultura y de sociedad de la que, esencialmente, somos
parte.

El extraordinario avance registrado por la
matemática, la física y la técnica durante
los siglos XVIII, XIX y XX, se lo debemos al Cálculo
infinitesimal y por eso se puede considerar como una de las joyas
de la creación intelectual de la que el hombre puede
sentirse orgulloso. La palabra cálculo proviene del
latín calculus, que significa contar con piedras.
Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar,
comienza la historia del cálculo, o de las
matemáticas.

CAPÍTULO I

Historia

1.1 Civilizaciones Antiguas

Los avances obtenidos desde que cada cultura implemento
su sistema numérico, aún son utilizados
actualmente. El avance algebraico de los egipcios, dio como
resultado la resolución a ecuaciones de tipo. La correcta
implementación de la regla aritmética de
cálculo, por parte de los Indios, aumento el conocimiento
matemático, y la creación de los números
irracionales, además que ayudó a la
resolución de sistemas de ecuaciones.

Después de esta época, Grecia deja de ser
el centro evolutivo de las matemáticas, conflictos
sociales y políticos que se vivían en esa
época alejan a Grecia de esta ciencia. Por esta
situación otro imperio toma las riendas de los avances
matemáticos.

El Cálculo Diferencial se origina en el siglo
XVII al realizar estudios sobre el movimiento, es decir, al
estudiar la velocidad de los cuerpos al caer al vacío ya
que cambia de un momento a otro; la velocidad en cada instante
debe calcularse teniendo en cuenta la distancia que recorre en un
tiempo infinitesimalmente pequeño.

En 1666 Sir Isaac Newton (1642-1727), fue el primero en
desarrollar métodos matemáticos para resolver
problemas de esta índole. Inventó su propia
versión del cálculo para explicar el movimiento de
los planetas alrededor del Sol. Newton concibió el llamado
Método de las Fluxiones, considerando a la curva como la
trayectoria de un punto que fluye; denomina "momentum" de la
cantidad de fluente al arco mucho muy corto, recorrido en un
tiempo excesivamente pequeño, llamando la "razón
del momentum" al tiempo correspondiente es decir, la
velocidad

Casi al mismo tiempo, el filósofo y
matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-
1716), realizó investigaciones similares e ideando
símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros
días. La concepción de Leibniz se logra al estudiar
el problema de las tangentes y su inverso, basándose en el
Triángulo Característico de Barrow, observando que
dicho triángulo al que se forma con la tangente, la
subtangente y la ordenada del punto de tangencia, así
mismo, es igual al triángulo formado por la Normal, la
Subnormal y la ordenada del mismo punto. Los símbolos, la
palabra "derivada" y el nombre de "ecuaciones diferenciales" se
deben a Leibniz. dx dy dx.

Después de Newton y Leibniz, el desarrollo del
cálculo fue continuado por Jacobo Bernoulli y Johann
Bernoulli. Sin embargo, cuando Berkeley publicó su Analyst
en 1734 atacando la falta de rigor en el cálculo y
disputando la lógica sobre la que se basaba, entonces se
hicieron grandes esfuerzos para amarrar el razonamiento.
Maclaurin intentó poner el cálculo sobre una base
geométrica rigurosa pero sus fundamentos realmente
satisfactorios tendrían que esperar al trabajo de Cauchy
en el siglo XIX.

Destacan otros matemáticos por haber hecho
trabajos importantes relacionados con el Cálculo
Diferencial, sobresaliendo entre otros, los
siguientes:

• Pierre Fermat (1601-1665), matemático
  francés, quien en su obra habla de los métodos
  diseñados para determinar los máximos y
  mínimos, acercándose casi al descubrimiento del
  Cálculo Diferencial, mucho antes que Newton y Leibniz.
  Dicha obra influenció en Leibniz en la
  invención del Cálculo Diferencial.

• Johannes Kepler, tiempo después, coincide con
  lo establecido por Oresme, conceptos que permitieron a Fermat
  en su estudio de máximos y mínimos, las
  tangentes y las cuadraturas, igualar a cero la derivada de la
  función, debido a que la tangente a la curva en los
  puntos en que la función tiene su máximo o
  mínimo, es decir, la función es paralela al eje
  donde la pendiente de la tangente es nula. X

• Isaac Barrow (Londres, 1630 – id., 4 de mayo, 1677),
  maestro de Newton, construyó el "triángulo
  característico", en donde la hipotenusa es un arco
  infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos
  infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas
  de los extremos del arco.

• Joseph-Louis LaGrange (1736-1813), quien
  demostró por primera vez el Teorema del Valor
  Medio.

• Augustin-Louis Cauchy (París, 21 de agosto de
  1789- Sceaux, 23 de mayo de 1857), matemático
  francés, impulsor del Cálculo Diferencial e
  Integral, autor de La Teoría de las Funciones de las
  Variables Complejas, se basó en el método de
  los límites; las definiciones de "función de
  función" y la de "función compuesta" se deben a
  él. El concepto de función continua fue
  introducido por primera vez por él en 1821.

• Leonhard Euler (1707-1783). La simbología se
  debe a él, quien además de hacer importantes
  contribuciones a casi todas las ramas de las
  matemáticas, fue uno de los primeros en aplicar el
  cálculo a problemas de la vida real en la
  Física. Sus extensos escritos publicados incluyen
  temas como construcción de barcos, acústica,
  óptica, astronomía, mecánica y
  magnetismo.

• John Wallis (Ashford, 23 de noviembre de 1616
  – Oxford, 28 de octubre de 1703), enuncia el concepto
  de "límite".

La representación simbólica "lím"
se debe a Simón Lhuilier (n. Ginebra, Suiza el 24 de abril
de 1750, f. en Ginebra el 28 de marzo de 1840). El símbolo
"tiende a" lo propuso J. G. Leathem.

En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para
estudiar cuatro problemas científicos y
matemáticos:

• Encontrar la tangente a una curva en un
  punto.

• Encontrar el valor máximo o mínimo de
  una cantidad.

• Encontrar la longitud de una curva, el área
  de una región y el volumen de un
  sólido.

• Dada una fórmula de la distancia recorrida
  por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la
  velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier
  instante. Recíprocamente, dada una fórmula en
  la que se especifique la aceleración o la velocidad en
  cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el
  cuerpo en un período de tiempo conocido.

El Cálculo Diferencial se ha ido desarrollando a
través de los años, consolidándose como una
herramienta técnico – científica que se
utiliza en el análisis de procesos que contienen
magnitudes en constante cambio, por ejemplo: la velocidad de las
reacciones químicas, los cambios atmosféricos, los
desarrollos sociales y económicos de las naciones, en la
astronomía para calcular las órbitas de los
satélites y de las naves espaciales, en medicina para
medir el flujo cardiaco, la estadística, y en una gran
diversidad de otras áreas.

Los procesos generales y las reglas prácticas
sencillas del Cálculo Diferencial se deben a Newton y
Leibniz; sin embargo, por más de 150 años el
Cálculo Diferencial continuó basándose en el
concepto de lo infinitesimal. A Newton y Leibniz se les llama
fundadores del Cálculo, ya que fueron los primeros en
estudiar el problema geométrico fundamental del
Cálculo Diferencial denominado "Problema de las
Tangentes", en el cual hay que hallarlas rectas tangentes a una
curva dada en un punto cualquiera. Sin embargo, fue Leibniz quien
trató de ampliar el cálculo al desarrollar reglas y
asignarle una notación formal.

1.2 El siglo XVIII

En el siglo XVII el cálculo conoció un
enorme desarrollo siendo los autores más destacados
Descartes, Pascal y, finalmente, Leibniz y Newton con el
cálculo infinitesimal que en muchas ocasiones ha recibido
simplemente, por absorción, el nombre de
cálculo.

El concepto de cálculo formal en el sentido de
algoritmo reglado para el desarrollo de un razonamiento y su
aplicación al mundo de lo real adquiere una importancia y
desarrollo enorme respondiendo a una necesidad de establecer
relaciones matemáticas entre diversas medidas, esencial
para el progreso de la ciencia física que, debido a esto,
es tomada como nuevo modelo de Ciencia frente a la
especulación tradicional filosófica, por el rigor y
seguridad que ofrece el cálculo matemático. Cambia
así el sentido tradicional de la Física como
filosofía de la naturaleza y toma el sentido de ciencia
que estudia los cuerpos materiales, en cuanto
materiales.

A partir de entonces el propio sistema de cálculo
permite establecer modelos sobre la realidad física, cuya
comprobación experimental supone la confirmación de
la teoría como sistema. Es el momento de la
consolidación del llamado método científico
cuyo mejor exponente es en aquel momento la Teoría de la
Gravitación Universal y las leyes de la Mecánica de
Newton.

Durante buena parte del siglo XVIII los
discípulos de Newton y Leibniz se basaron en sus trabajos
para resolver diversos problemas de física,
astronomía e ingeniería, lo que les
permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de
las matemáticas. Así, los hermanos Bernoulli
inventaron el cálculo de variaciones y el
matemático francés Monge la geometría
descriptiva. LaGrange, también francés, dio un
tratamiento completamente analítico de la mecánica,
realizó contribuciones al estudio de las ecuaciones
diferenciales y la teoría de números, y
desarrolló la teoría de grupos. Su
contemporáneo Laplace escribió Teoría
analítica de las probabilidades (1812) y el clásico
Mecánica celeste (1799-1825), que le valió el
sobrenombre de "el Newton francés".

Sin embargo el gran matemático del siglo fue el
suizo Euler, quien aportó ideas fundamentales sobre el
cálculo y otras ramas de las matemáticas y sus
aplicaciones. Euler escribió textos sobre cálculo,
mecánica y álgebra que se convirtieron en modelos a
seguir para otros autores interesados en estas disciplinas. El
éxito de Euler y de otros matemáticos para resolver
problemas tanto matemáticos como físicos utilizando
el cálculo sólo sirvió para acentuar la
falta de un desarrollo adecuado y justificado de las ideas
básicas del cálculo. La teoría de Newton se
basó en la cinemática y las velocidades, la de
Leibniz en los infinitésimos, y el tratamiento de LaGrange
era completamente algebraica y basada en el concepto de las
series infinitas. Todos estos sistemas eran inadecuados en
comparación con el modelo lógico de la
geometría griega, y este problema no fue resuelto hasta el
siglo posterior.

A los matemáticos de fines del siglo el horizonte
matemático les parecía obstruido. Se había
llegado al estudio de cuestiones muy complicadas a las que no se
les conocía o veía un alcance claro. Los sabios
sentían la necesidad de estudiar conceptos nuevos y hallar
nuevos procedimientos.

1.3 El siglo XIX

El concepto de Cálculo y sus ramificaciones se
introdujo en el siglo XVIII, con el gran desarrollo que obtuvo el
análisis matemático, creando ramas como el
cálculo diferencial, integral y de variaciones.

Pero pronto surgió el problema de la convergencia
de la serie, que se resolvió en parte con la
introducción de términos residuales, así
como con la transformación de series en otras que fuesen
convergentes. Junto a las series de potencias se incluyeron
nuevos tipos de desarrollos de funciones, como son los
desarrollos en series asintóticas introducidos por
Stirling y Euler. La acumulación de resultados del
cálculo diferencial transcurrió rápidamente,
acumulando casi todos los resultados que caracterizan su
estructura actual.

Introducir el cálculo integral, se logró
con el estudio de J.Bernoulli, quien escribió el primer
curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin
embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta
sus últimas consecuencias, de tal forma que los
métodos de integración indefinida alcanzaron
prácticamente su nivel actual. El cálculo de
integrales de tipos especiales ya a comienzos de siglo,
conllevó el descubrimiento de una serie de resultados de
la teoría de las funciones especiales. Como las funciones
gamma y beta, el logaritmo integral o las funciones
elípticas.

Este es el desarrollo las matemáticas han
obtenido desde que el hombre vio la necesidad de contar, hasta
nuestros días. Actualmente gran cantidad de
matemáticos siguen en el desarrollo de las
matemáticas denominadas matemáticas modernas, de
donde sus conceptos son la base de la mayor parte de las ciencias
actuales.

En relación con el análisis
matemático en este siglo, se fundamentó en un
conjunto de procedimientos y métodos de solución de
numerosos problemas que crecía rápidamente. Todos
estos métodos aun podían dividirse en tres grandes
grupos, constituidos en el cálculo diferencial, el
cálculo integral y la teoría de ecuaciones
diferenciales. Con estos fundamentos se llegó a lo que se
conoce como teoría de límites y de funciones, que
fueron el tema central en este siglo.

Un problema importante fue definir el significado de la
palabra función. Euler, LaGrange y el matemático
francés Fourier aportaron soluciones, pero fue el
matemático alemán Dirichlet quien propuso su
definición en los términos actuales. En 1821, un
matemático francés, Cauchy, consiguió un
enfoque lógico y apropiado del cálculo y se
dedicó a dar una definición precisa de
"función continua". Basó su visión del
cálculo sólo en cantidades finitas y el concepto de
límite. Esta solución planteó un nuevo
problema, el de la definición lógica de
número real. Aunque la definición de cálculo
de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino
el matemático alemán Dedekind quien encontró
una definición adecuada para los números reales.
Los matemáticos alemanes Cantor y Weierstrass
también dieron otras definiciones casi al mismo
tiempo.

Además de fortalecer los fundamentos del
análisis, nombre dado a partir de entonces a las
técnicas del cálculo, se llevaron a cabo
importantes avances en esta materia. Gauss, uno de los más
importantes matemáticos de la historia, dio una
explicación adecuada del concepto de número
complejo; estos números formaron un nuevo y completo campo
del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy,
Weierstrass y el matemático alemán Riemann. Otro
importante avance fue el estudio de las sumas infinitas de
expresiones con funciones trigonométricas, herramientas
muy útiles tanto en las matemáticas puras como en
las aplicadas, hecho por Fourier. Cantor estudió los
conjuntos infinitos y una aritmética de números
infinitos. La teoría de Cantor fue considerada demasiado
abstracta y criticada. Encontramos aquí un espíritu
crítico en la elaboración de estas nociones tan
ricas. Esto constituye un punto de vista muy diferente del que
animaba a los matemáticos del siglo anterior. Ya no se
trata de construir expresiones ni forjar nuevos métodos de
cálculo, sino de analizar conceptos considerados hasta
entonces intuitivos.

Gauss desarrolló la geometría no
euclidiana pero tuvo miedo de la controversia que pudiera causar
su publicación. También en este siglo se pasa del
estudio simple de los polinomios al estudio de la estructura de
sistemas algebraicos.

Los fundamentos de la matemática fueron
completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por
el matemático inglés Boole en su libro
Investigación sobre las leyes del pensamiento
(1854).

Durante el siglo XIX y XX el desarrollo
científico y la creación de modelos teóricos
fundados en sistemas de cálculo aplicables tanto en
mecánica como en electromagnetismo y radioactividad, etc.
así como en astronomía fue impresionante. Las
geometrías no euclidianas encuentran aplicación en
modelos teóricos de astronomía y física. El
mundo deja de ser un conjunto de infinitas partículas que
se mueven en un espacio-tiempo absoluto y se convierte en un
espacio de configuración o espacio de fases de n
dimensiones que físicamente se hacen consistentes en la
teoría de la relatividad, la mecánica
cuántica, la teoría de cuerdas etc. que cambia por
completo la imagen del mundo físico.

La lógica asimismo sufrió una
transformación radical. La formalización
simbólica fue capaz de integrar las leyes lógicas
en un cálculo matemático, hasta el punto que la
distinción entre razonamiento lógico-formal y
cálculo matemático viene a considerarse como
meramente utilitaria.

En la segunda mitad del siglo XIX y primer tercio del
XX, a partir del intento de formalización de todo el
sistema matemático, Frege, y de matematización de
la lógica, (Bolzano, Boole, Whitehead, Russell) fue
posible la generalización del concepto como cálculo
lógico. Se lograron métodos muy potentes de
cálculo, sobre todo a partir de la posibilidad de tratar
como "objeto" conjuntos de infinitos elementos, dando lugar a los
números transfinitos de Cantor.

1.4 Siglo XX y nuestros días

Es importante el aporte realizado por Lebesgue referido
a la integración y a la teoría de la medida y las
modificaciones y generalizaciones realizadas por
matemáticos que lo sucedieron.

En la Conferencia Internacional de Matemáticos
que tuvo lugar en París en 1900, el matemático
alemán David Hilbert, quien contribuyó de forma
sustancial en casi todas las ramas de la matemática
retomó veintitrés problemas matemáticos que
él creía podrían ser las metas de la
investigación matemática del siglo que
recién comenzaba. Estos problemas fueron el
estímulo de una gran parte de los trabajos
matemáticos del siglo.

El avance originado por la invención del
ordenador o computadora digital programable dio un gran impulso a
ciertas ramas de la matemática, como el análisis
numérico y las matemáticas finitas, y generó
nuevas áreas de investigación matemática
como el estudio de los algoritmos. Se convirtió en una
poderosa herramienta en campos tan diversos como la teoría
de números, las ecuaciones diferenciales y el
álgebra abstracta. Además, el ordenador
permitió encontrar la solución a varios problemas
matemáticos que no se habían podido resolver
anteriormente.

El conocimiento matemático del mundo moderno
está avanzando más rápido que nunca.
Teorías que eran completamente distintas se han reunido
para formar teorías más completas y abstractas.
Aunque la mayoría de los problemas más importantes
han sido resueltos, otros siguen sin solución. Al mismo
tiempo aparecen nuevos y estimulantes problemas y aún la
matemática más abstracta encuentra
aplicación.

En la actualidad, el cálculo en su sentido
más general, en tanto que cálculo lógico
interpretado matemáticamente como sistema binario, y
físicamente hecho material mediante la lógica de
circuitos electrónicos, ha adquirido una dimensión
y desarrollo impresionante por la potencia de cálculo
conseguida por los ordenadores, propiamente máquinas
computadoras. La capacidad y velocidad de cálculo de estas
máquinas hace lo que humanamente sería imposible:
millones de operaciones por segundo.

El cálculo así utilizado se convierte en
un instrumento fundamental de la investigación
científica por las posibilidades que ofrece para la
modelización de las teorías científicas,
adquiriendo especial relevancia en ello el cálculo
numérico.

CAPÍTULO II

Personajes y
contribuciones importantes de la historia del
Cálculo

2.1 Personajes y contribuciones en la
antigüedad

El trabajo prehelénico de los Egipcios y
Babilonios, aunque tuvo una ausencia de generalidad y
atención a las características esenciales sobre la
naturaleza lógica del pensamiento matemático y su
necesidad de pruebas deductivas, logró un acervo tal de
cálculos y procedimientos concretos, que tuvo sin duda,
una clara influencia en los trabajos iníciales de los
filósofos y matemáticos griegos:

• Tales de Mileto. Fue quien inicialmente
  introdujo los métodos deductivos no exentos de cierto
  empirismo y falta de generalidad- a través de procesos
  sistemáticos de abstracción, que ciertamente
  fueron la base para los Pitagóricos. Para ellos la
  perfecta consonancia de la realidad observada con la
  naturaleza de los conocimientos matemáticos les
  llevó a pensar que las matemáticas estaban en
  la realidad última, en la esencia del universo y por
  lo tanto, "un entendimiento de los principios
  matemáticos debía preceder cualquier
  interpretación válida de la naturaleza". "Todo
  es número". "Dios es un Geómetra".

• Zenón de Elea (450 a. de C. aprox.),
  formuló un buen número de problemas (paradojas)
  basados en el infinito.

Para los antiguos griegos, los números como tales
eran razones de números enteros, por lo que no todas las
longitudes eran números. (Existían magnitudes
geométricas que no podían ser medidas por
números; números como entidades discretas vs
magnitudes geométricas continuas.)

• Eudoxo (408 a. de C. – 355 a. de C.) de
  Cnido, Asia Menor (Turquía).

Método de Exhaución. El método se
llama así porque se puede pensar en expandir sucesivamente
áreas conocidas de tal manera que éstas den cuenta
("dejen exhausta") del área requerida. Cobra importancia
como recurso para hacer demostraciones rigurosas en
geometría.

• Arquímedes de Siracusa (225 a.de C.).
  Hizo una de las más significativas contribuciones
  griegas. Su primer avance importante fue mostrar que el
  área de un segmento de parábola es 4/3 del
  área de un triángulo con la misma base y
  vértice, y 2/3 del área del paralelogramo
  circunscrito. Éste es el primer ejemplo conocido de la
  adición de una serie infinita. Arquímedes
  utilizó el método de exhaución para
  encontrar una aproximación al área del
  círculo. Por supuesto, es un ejemplo temprano de
  integración, el cual condujo a aproximar valores de.
  Entre otras "integrales" calculadas por Arquímedes,
  están el volumen y área de una esfera, volumen
  y área de un cono, área de una elipse, volumen
  de cualquier segmento de un paraboloide de revolución
  y de un segmento de un hiperboloide de
  revolución.

La dificultad lógica que enfrentaron los antiguos
matemáticos griegos en sus intentos de expresar sus ideas
intuitivas sobre razones o proporciones de líneas -que
vagamente reconocían como continúas-, en
términos de números -los que mantenían como
discretos-, los involucró con un concepto
lógicamente insatisfactorio (pero intuitivamente
atractivo): el infinitesimal. La imposibilidad de enfrentarlo
ampliamente originó que los problemas sobre la
variación no fueran atacados cuantitativamente por los
matemáticos griegos. Estos problemas fueron retomados
hasta el siglo XIV por los filósofos escolásticos,
y su discusión, cualitativa en gran parte, pero apoyada en
demostraciones gráficas, hizo posible la
introducción posterior de la geometría
analítica y la representación sistemática de
cantidades variables.

TALES DE MILETO

ZENÓN DE ELEA

EUDOXO

2.2 Personajes y contribuciones en los siglos XVI y
XVII

Una época de avances hacia la formulación
posterior del Cálculo como estudio de la variación,
una época en la que se enfrentó la necesidad de
herramientas matemáticas que no tenían más
fundamento que la geometría arquimediana para tratar con
los inconmensurables; método cuya visión de rigor
había obstaculizado trabajar más libremente con los
infinitésimos, relacionados a la variación y al
continuo:

• Johannes Kepler (1571-1630). Nació en
  Leonberg, Sacro Imperio Romano, hoy Alemania. En su trabajo
  sobre el movimiento planetario, tuvo que encontrar el
  área de sectores de una elipse; para ello su
  método consistió en determinar las áreas
  como sumas de líneas. En cambio, en su trabajo
  Nueva Geometría Sólida de los Barriles de
  Vino calculó en forma exacta o aproximada el
  volumen de más de 90 sólidos de
  revolución, considerando el sólido compuesto de
  infinitos cuerpos infinitesimales de volúmenes
  conocidos.

• Bonaventura Cavalieri (1598-1647).
  Publicó su "Geometria Indivisibili Continuorum
  Nova" en 1635 donde expone el principio que lleva ese
  nombre. Su método consiste en comparar
  proporcionalmente los indivisibles de volúmenes o
  áreas de cuerpos o figuras por encontrar, con los
  respectivos indivisibles de figuras o cuerpos cuyas
  áreas o volúmenes se conocen. Se puede referir
  este procedimiento en forma general como un método de
  "Suma de potencias de líneas", que aunque alejado del
  rigor, condujo a Cavalieri a un resultado correcto para
  ?B A k x con
  k=1,2,3,4,5,6,7,8,9.

• Pierre de Fermat (1601-1665). Trata de
  encontrar pruebas más o menos rigurosas de la
  conjetura de Cavalieri. En su trabajo sobre curvas
  polinomiales.

JOHANNES KEPPLER

BONAVENTURA CAVALIERI

PIERRE DE FERMANT

2.3 Personajes y contribuciones en el siglo
XVIII

• Gilles Persone de Roberval (1602- 1675).
  Cálculo de tangentes como vectores de "velocidad
  instantánea". Cicloide: su área es 3 veces la
  del círculo que la genera.

• John Wallis (1616-1703). Escribió su
  Arithmetica Infinitorum en 1655. Abordó
  sistemáticamente, por primera vez, la cuadratura de
  las curvas de la forma y=x k donde k no es
  necesariamente un entero positivo. Su trabajo en la
  determinación de los límites implicados fue
  empírico. Tuvo una influencia decisiva en los primeros
  desarrollos del trabajo matemático de
  Newton.

• Isaac Barrow (1630-1677). Maestro de Newton.
  Competente en árabe y griego, mejoró
  traducciones de textos griegos. Punto de vista conservador en
  matemáticas.

GILLES DE ROBERVAL

JOHN WALLIS

Sus "Lectiones Geométriae", publicadas
en 1670, incluyen los procedimientos infinitesimales conocidos
por él. La mayoría de los problemas presentados
tratan

tangentes y cuadraturas desde un punto de vista
clásico (geométrico en lugar de analítico).
Incluye su método del "triángulo
característico" en el que implícitamente se toma a
la recta tangente como la posición límite de la
secante.

En su obra aparece localizado el Teorema Fundamental del
Cálculo en el sentido de presentar el carácter
inverso entre problemas de tangentes y áreas, en un
sentido estrictamente geométrico, no como un algoritmo de
cómputo.

ISAAC BARROW

2.4 Nace el cálculo

• Isaac Newton (1643-1727). En 1687 fue
  publicada su obra magistral Philosophiae Naturalis
  Principia Mathematica en el cual se exponen, en
  diferentes pasajes, claras exposiciones del concepto de
  límite, idea básica del
  cálculo.

Ofrece tres modos de interpretación para el
nuevo análisis:

• aquél en términos de
  infinitesimales usado en su De analysi, su
  primer trabajo (1669, publicado en1711);

• aquél en términos de fluxiones,
  dado en su Methodus Fluxionum et Serierum Infinitorum
  (1671, publicado en 1736), en la que parece apelar con
  mayor fuerza a su imaginación; ? aquél en
  términos de razones primeras y últimas o
  límites, dado particularmente en la obra De
  Quadratura Curvarum que escribió al final y
  publicó primero (1704), visión que
  él parece considerar más rigurosa.

• Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716).
  Sus resultados en el cálculo integral fueron
  publicados inicialmente en 1684, y posteriormente en 1686
  bajo el nombre de "Calculus Summatorius". Introduce
  los elementos diferenciales dy ó dx para
  expresar la "diferencia entre dos valores sucesivos"
  de una variable continua y ó x. Al
  tomar la suma de tales diferenciales de la variable
  se obtiene la variable misma, lo cual denota por
  ?dx.

El "triángulo diferencial" que había sido
estudiado en varias formas particularmente en los trabajos de
Torricelli, Fermat y Barrow es el antecedente más cercano
al enfoque que ofrece Leibniz en su tratamiento de sumas
y diferencias aunque él mismo aseguró que
la inspiración inicial la encontró al estudiar el
tratado de Pascal "Traité des sinus du quart de
cercle".

Sus obras dan cuenta de un método generalizado
para abordar esas sumas y diferencias,
además del tratamiento inverso de ambas operaciones,
mediante el uso de un sistema de notación y
terminología perfectamente acoplado a la materia que trata
en sus bases lógicas y operativas.

Leibniz siempre se dio cuenta que estaba trabajando con
una nueva materia. Se especula que Newton, hasta que supo de esta
postura de Leibniz consideró él mismo su
método de fluxiones como una nueva materia
también y un modo de expresión matemática
organizado más que simplemente una útil
modificación de reglas anteriores.

ISAAC NEWTON

GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ

El trabajo más importante de cálculo de
Newton estuvo escrito de 1665 a 1676, pero ninguna de sus obras
fue publicada durante ese tiempo. Se ha sugerido que la demora en
la publicación de sus tres principales trabajos fue
ocasionada por el hecho de que estaba insatisfecho con los
fundamentos lógicos de la materia. En su monografía
"De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas"
no hace explícito el uso de la notación fluxional
ni de la idea. En su lugar usa lo infinitamente pequeño,
tanto geométrico como analítico de manera similar a
la que encontramos en Barrow y Fermat, y extiende su
aplicabilidad por el uso del Teorema del Binomio.

Conclusiones

El progreso de las ideas no se da en el tiempo a
través de una trayectoria perfectamente delineada y
preconcebida; existen muchos elementos que en la
construcción son desechados, reformulados o agregados. Las
concepciones filosóficas sobre la realidad, el papel de la
ciencia, y en especial las concepciones sobre las
características que debe reunir el conocimiento
matemático para ser considerado como conocimiento
científico, determinaron los enfoques realizados en cada
época. El impacto que tuvieron los personajes y las
contribuciones consignadas en la historia difícilmente
puede ser comprendida cabalmente si estas consideraciones no se
toman en cuenta.

Dada que la historia del cálculo, comienza desde
los inicios de la historia del hombre, cuando este vio la
necesidad de contar, ya que han sido muchos los grandes
matemáticos que han influido en el desarrollo que
actualmente posee el cálculo, igualmente que han sido
muchas las culturas que han influido en sus avances, donde las
matemáticas, actualmente son la base de todas las ciencias
que maneja el hombre, debido a que su campo de acción
cubre la totalidad de los conocimientos
científicos.

Trayendo así el desarrollo y uso del
cálculo ha tenido efectos muy importantes en casi todas
las áreas de la vida moderna: es fundamento para el
cálculo numérico aplicado en casi todos los campos
técnicos y/o científicos cuya principal
característica es la continuidad de sus elementos, en
especial en la física. Prácticamente todos los
desarrollos técnicos modernos como la construcción,
aviación, transporte, meteorología, etc. hacen uso
del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan
hoy en día en balística, calefacción,
refrigeración, etc.; donde se demuestra que tan importante
es el cálculo hoy en día.

Bibliografía

• http://analisisfigempa.wikispaces.com

• http://www.slideshare.net

• Apuntes de historia de las matemáticas,
  Volumen 1, nº1, 2002.

Autor:

Melanie Martínez