Choques. Impulso y Cantidad de Movimiento

Objetivos

• Realizar un estudio sobre el
  coeficiente de restitucion y sus utilidades

Hallar el coeficiente de
restitucion

Analizar diferentes tipos de
choque

Marco
teórico

Impulso y Cantidad de Movimiento

Existen varias aplicaciones para el impulso
y seguramente todos usamos siquiera alguna vez alguna de estas
aplicaciones o simplemente no nos damos cuenta de todo la que
sucede en realidad, por ejemplo al jugar billar, el taco
transmite energía a la bola mediante un choque y a su vez,
la bola también transmite energía potencial al
chocar con otras bolas.

Una gran parte de nuestra
información acerca de las partículas
atómicas y nucleares, se obtiene experimentalmente
observando los efectos de choque entre ellas. A una mayor escala
cuestiones como las propiedades de los gases se pueden entender
mejor en función de choques de las partículas, y
encontraremos que de los principios de la conservación de
la cantidad de movimiento y de la conservación de la
energía, podemos deducir mucha información acerca
de los fenómenos de choques.

Impulso y cantidad de movimiento.- En un choque
obra una gran fuerza en cada una de las partículas que
chocan durante un corto tiempo; un bat que golpea una pelota de
béisbol o una partícula nuclear que choca con otra
son ejemplos típicos. Por ejemplo, durante el intervalo
muy corto de tiempo que el bat está en contacto con la
pelota se ejerce sobre esta una fuerza muy grande. Esta fuerza
varía con el tiempo de una manera compleja, que en general
no se puede determinar. Tanto la pelota como el bat se deforman
durante el choque. Fuerzas de este tipo se llaman fuerzas
impulsivas.

Supongamos que la curva de la figura 2 muestra la
magnitud de la fuerza que realmente obra en un cuerpo durante un
choque. Supongamos que la fuerza tiene una dirección
constante. El choque comienza en el tiempo t1 y termina en el
tiempo t2, siendo la fuerza 0 antes y después del
choque.

De la ecuación I podemos escribir el cambio de
cantidad de movimiento dp de un cuerpo en el tiempo dt
durante el cual obra una fuerza F así:

dp = F dt

Podemos obtener el cambio de cantidad de movimiento del
cuerpo durante un choque integrando en el tiempo del choque. Esto
es,

p2 – p1 = I dp = I F
dt

La integral de una fuerza en el intervalo durante el
cual obra la fuerza se llama impulso de la fuerza. Por
consiguiente, el cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo
sobre el cual obra una fuerza impulsiva es igual al impulso.
Tanto el impulso como la cantidad de movimiento son vectores y
ambos tienen las mismas unidades y dimensiones.

La fuerza impulsiva representada en la figura 2 se
supone que es de dirección constante. El impulso de esta
fuerza I F dt. está representado en
magnitud por el área de la curva fuerza-tiempo.

Fenómenos de choque.- Consideremos ahora
un choque entre dos partículas, tales como
partículas de masa m1 y m2, durante el breve choque, esas
partículas ejercen grandes fuerzas una sobre la otra. En
cualquier instante F1 es la fuerza ejercida sobre la
partícula 1 por la partícula 2 y F2 es la
fuerza ejercida sobre la partícula 2 por la
partícula 1. En virtud de la tercera Ley de Newton esas
fuerzas son iguales en cualquier instante, pero en sentido
contrario. además, cada fuerza obra durante el mismo
período de tiempo, est es, el tiempo del
choque,

dt = t2 – t1

Dos "partículas" m1 y
m2 en choque, experimentan fuerzas iguales y puestas en
la dirección de la línea de sus centros, acuerdo
con la tercera ley de Newton.

El cambio de la cantidad de movimiento de
la partícula resultante del choque es:

Por consiguiente, en ausencia de fuerzas
externas, la cantidad de movimiento total del sistema es
constante. Las fuerzas impulsivas que obran durante el choque son
fuerzas internas que no tienen efecto en la cantidad de
movimiento total del sistema.

Si consideramos después un sistema
de 3, 4, o, de hecho de un número cualquiera de
partículas que sufren colisiones entre si por una simple
extensión del método usado para dos
partículas, podemos demostrar que la cantidad del
movimiento del sistema se conserva. El único requisito es
que no obren fuerzas externas sobre el sistema.

Ahora el estudiante se preguntará
por qué los fenómenos de choque se han discutido en
función del impulso. De echo, el principio de
conservación de la cantidad de movimiento ya se ha
deducido antes. Todo lo que debemos reconocer para sistemas en
los cuales ocurren colisiones, es que las fuerzas de choque son
fuerzas internas, y para tales sistemas surge
inmediatamente el principio de la conservación.

Una razón para considerar la
naturaleza de impulso de un choque es que ilustra a una clase
importante de problemas sobre como ocurre la conservación
de la cantidad de movimiento. Sin embargo, una razón
más importante es que nos permite explicar por qué
casi siempre suponemos conservación de cantidad de
movimiento durante un choque, aun cuando obren fuerzas
externas sobre el sistema.

Cuando un bat le pega a una pelota de
béisbol un bastón de golf le pega a una pelota de
golf, o una bola de billar le pega a otra es evidente que obran
fuerzas externas sobre el sistema; por ejemplo, la gravedad o la
fricción ejercen fuerzas sobre esos cuerpos; esas fuerzas
externas pueden no ser las mismas sobre cada cuerpo que choca, ni
necesariamente se anulan por otras fuerzas externas durante el
choque y suponer conservación de la cantidad de movimiento
con tal que, como es casi siempre cierto,

Las fuerzas externas sean insignificantes
en comparación con las fuerzas impulsivas de choque. Como
resultado de ello, el cambio de cantidad de movimiento de una
partícula que sufre un choque, cambio que provenga de una
fuerza externa, es insignificante en

Comparación con el cambio de
cantidad de movimiento de una partícula producido por la
fuerza impulsiva de choque.

Por ejemplo, cuando un bate le pega a una
pelota de béisbol el choque dura sólo una
fracción de segundo, ya que el cambio de cantidad de
movimiento es grande y el tiempo de choque es mas pequeño,
se deduce de:

En la practica, por consiguiente, todo lo
que se requiere para justificar el uso del principio de la
conservación de la cantidad de movimiento de un sistema de
partículas, poco antes de que choquen, es igual a la
cantidad de movimiento del sistema, poco después de que
las partículas han chocado.

Choques en una dimensión.- El
problema de determinar el movimiento de los cuerpos
después del choque, conociendo el movimiento antes del
mismo, puede moverse solamente si conocemos exactamente las
fuerzas de choque y podemos resolver las ecuaciones del
movimiento. A menudo esas fuerzas no se conocen. Sin embargo el
principio de la conservación de la cantidad de movimiento
debe ser valido durante el choque, así como el de la
conservación de la energía total. Aun cuando
podemos no conocer los detalles de la interacción, esos
principios pueden usarse para predecir los resultados del
choque.

Los choques o están limitados a
casos en los cuales dos cuerpos entran en contacto en el sentido
usual. También se puede decir que chocan cuerpos que no
entran en contacto por que ejercen fuerzas entre si y que
alternan mutuamente sus movimientos. Los átomos pueden
interactuar mediante fuerzas eléctricas o
magnéticas que ejercen entre si, los núcleos pueden
actuar mediante fuerzas nucleares y los cuerpos
astronómicos pueden actuar mediante fuerzas
gravitacionales tratando los cuerpos que interactuan como un
sistema, podemos usar los principios de conservación para
estudiar el movimiento de esos cuerpos.

Las colisiones ordinariamente se clasifican
de acuerdo con lo que se conserve o no durante el choque la
energía cinética. Cuando se conserva la
energía cinética durante un choque, se dice que el
mecanismo es elástico; si no es así, el
choque es inelástico. Las colisiones de las
partículas atómicas y subatómicas, a veces
son elásticas. De hecho estas son las únicas
colisiones verdaderamente elásticas que se conocen. Sin
embargo, a menudo podemos tratarlas como aproximadamente
elásticas, como en el caso de choques de bolas de marfil o
de vidrio. La mayoría de los choques son
inelásticos. Cuando dos cuerpos quedan unidos
después de un choque se dice que este es completamente
inelástico. Por ejemplo el choque entre una bala y su
blanco es completamente inelástico cuando la bala queda
ahogada en el blanco. Él termino completamente
inelástico no significa que pierda toda la energía
cinética inicial; Como veremos; quiere decir
también que la perdida es tan grande como lo permite la
cantidad de conservación de la cantidad del
movimiento.

Aun cuando las fuerzas de colisión no se
conozcan, el movimiento de las partículas después
de la misma puede determinarse a partir del movimiento antes del
choque con tal de que este sea completamente inelástico, o
bien, si es elástico, con tal que se efectúe en una
sola dimensión el movimiento relativo después de
este es a lo largo de la misma línea que el movimiento
relativo antes del mismo.

Consideremos primero un choque elástico en una
sola dimensión. Podemos imaginar dos esferas lisas, que no
rigen, moviéndose inicialmente en la dirección de
la línea que une sus centros, chocando frente a frente y
moviéndose en la misma línea recta sin
rotación después del choque. La situación se
ilustra en la figura que tenemos de abajo.

Debido a su forma esférica, esos cuerpos ejercen
fuerza entre sí, durante el choque, que están a lo
largo de la línea inicial del movimiento de tal manera que
el movimiento final esta también él la misma
línea.

Las masas de la esfera son m1 y m2 siendo las
velocidades componentes u1 y u2 antes del choque y v1 y v2
después del choque.

Llamamos la dirección positiva de la cantidad de
movimiento y de la velocidad hacia la derecha. Entonces del
principio de la conservación de la cantidad de movimiento
obtenemos

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2

y de la conservación de la energía
cinética obtenemos

1/2 m1u12 + 1/2 m2u22 = 1/2 m1v12 + 1/2
m2v22

La ecuación de la cantidad del movimiento se
puede escribir

m1(u1 – v1) = m2 (v2 – u2)
(1º)

y la ecuación de la energía se puede
escribir

m1(u12 – v12) = m2 (v22 – u22)
(2º)

dividiendo miembro a miembro la ecuación 2º
entre la 1º obtenemos

u1 + v1 = v2 + u2 (3º)

Nótese que en un choque elástico en una
dimensión, la velocidad mínima de acercamiento
antes del choque es igual a la velocidad relativa de
separación después del mismo porque la
ecuación 3º se puede escribir también
así.

u1 – u2 = v2 – v1

Para determinar las velocidades v1 y v2 después
del choque a partir de las velocidades u1 y u2 antes del choque,
podemos usar dos de las tres ecuaciones numeradas anteriormente.
Así de la ecuación 3º

v2 = u1 + v1 – u2

reemplazando este valor en la ecuación 1º y
despejando v1, obtenemos

Hay varios casos de especial interés. Por
ejemplo, cuando las partículas que chocan tienen la misma
masa, m1 es igual a m2 las dos ecuaciones anteriores se
transforman en

Esto es, un choque elástico de una
dimensión de dos partículas de igual masa, las
partículas simplemente intercambian sus velocidades
durante el choque.

Otro caso de interés es aquel en el cual una
partícula m2 esta inicialmente en el reposo. Entonces u2
es igual a cero y

Esto es, cuando una partícula ligera choca con
una de mucha mayor masa que esta en reposo, la velocidad de la
partícula ligera aproximadamente se invierte y la
partícula de gran masa permanece aproximadamente en
reposo. Por ejemplo, supongamos que una pelota se deja caer
verticalmente sobre una superficie horizontal fija a la tierra.
Esto es de hecho un choque entre la pelota y la tierra. Si el
choque es elástico, la pelota botara con una velocidad
invertida y llegara a la misma altura a la de la cual
caerá finalmente, si m2 es mucho menor que m1,
obtenemos

Esto significa que la velocidad de la partícula
incidente de gran masa casi no cambia con el choque contra la
partícula ligera fija pero la partícula ligera
rebota con una velocidad aproximadamente doble de la velocidad e
la partícula incidente. El movimiento de una bola de
boliche casi no es afectado porque choca contra una pelota de
plástico del mismo tamaño inflada con aire pero la
pelota rebota rápidamente.

Diseño
gráfico

Materiales

• Interface 750

Sensor de movimiento

Esfera de goma

Regla

Procedimiento

• Arme el esquema experimental mostrado
  en la figura 1.

Lance de una determinada altura la esfera
de goma por debajo del sensor.

Procure que el lanzamiento y el rebote
siempre se encuentren alineados al sensor.

Realice varios ensayos antes de iniciar la
toma de datos.

De ser posible repita la experiencia con
otro tipo de esfera.

Análisis

1.- Luego de registrar los datos,
selecciona una región de interés de las graficas
posición vs tiempo. Donde h es la altura respecto del piso
de la bola. ¿Qué puede interpretar de la forma de
la trayectoria?

Como vemos en la ultima grafica #1 la
trayectoria de la bola va disminuyendo después de cada
choque, la razón es que en cada choque pierde
energía en distintas forma (calor, sonido) y
también energía cinética por lo tanto la
velocidad disminuye, y la velocidad de salida es menor, es por
eso que en cada choque alcanza menos altura que en la
anterior.

2.- considerando que no hay perdida de
energía entre cada impacto, determine la velocidad antes
(Va) y después (Vd) de cada impacto. Use el principio de
conservación de la energía en cada caso. Llene los
datos calculados en la tabla 1

También podemos utilizar el
principio de conservación de la energía:

La V2=2.66m/s esta seria velocidad antes
del choque del cuerpo con el piso teorica; pero si observamos la
grafica V vs T podemos observar que la V2= 2.25m/s (antes del
choque experimental); como se puede ver hay una variación
en la velocidad (menor), esto significa que hubo una perdida de
energía durante la caida.

*Si queremos hallar la velocidad
después del choque:

H= 0.364 (altura que cae)

Si calculamos en todos los puntos de choque
se observa lo mismo que se hizo en el paso anterior; por eso que
el cuerpo va perdiendo altura cada vez que choca hasta que pierda
toda su energía que tenia al principio (h=0) ya no
sube.

Con la siguiente formula del principio de
conservación de la energía hallaremos los valores
de la tabla nueva:

Cuestionario

1.- Explique como se aplica el principio
de conservación de movimiento a una pelota que rebota
contra una pared.

Antes del choque, los cuerpos que forman el
sistema inicial esta formado por la bola y la pared, entonces la
bola viene con una velocidad Va y la pared con una velocidad Vb,
que es estática, por lo tanto su velocidad es cero. Luego
después del choque el sistema sigue formado por la bola y
la pared, ahora la bola tiene una velocidad Vc y la pared sigue y
tiene una velocidad cero, en este caso la cantidad de movimiento
no se conserva, pues la velocidad antes del choque y
después del choque no son iguales, esto quiere decir que
existe un factor entre estos, y este factor es el coeficiente de
restitución (e).

2.- Considere un choque elástico
en una dimensión entre un cuerpo A que llega a un cuerpo B
que esta inicialmente en reposo. ¿Cómo
escogería usted la masa de B, en comparación con la
masa de A, para que B rebote con la máxima velocidad, la
máxima cantidad de movimiento y la máxima
energía cinética.

Considerando que el choque sea
elástico, la masa de B tiene que ser menor que la masa de
A, ya que en la cantidad de movimiento depende de las velocidades
de los cuerpos, y para que B tenga mayor velocidad, entonces su
masa debe ser pequeña puesto que durante el choque el
cuerpo a de mayor masa le pase la mayor cantidad de
energía al cuerpo inmóvil.

3.- Se afirma que la velocidad en el
punto mas bajo no depende para nada de la forma de la superficie.
¿seguira siendo cierta tal información si hubiera
rozamiento?

Ya no seria valido puesto que si se
presenta rozamiento entre las superficies habría un mayor
desprendimiento de energía al momento del choque
produciendo que la velocidad después del choque sea menor
que si fuera en una superficie sin rozamiento.

4.- En el instante que la esfera toca el
suelo no presenta energía potencial, y al cambiar de
dirección por el rebote por un instante su velocidad sera
cero, por lo que tampoco tendría energía
cinética. ¿esto es cierto o no?

La esfera al llegar al suelo va perdiendo
energía potencial y va ganando energía cinetica,
cuando llega al suelo experimenta un choque y sabemos que un
choque se produce en un intervalo de tiempo muy pequeño,
esto nos da ha entender que las fuerzas que interactúan
son muy grandes, estas fuerzas grandes provocan cambios en la
rapidez, pero también en la dirección del
movimiento

5.-En un choque entre un tico y un auto
de los años 50. ¿Cuál de los autos seria mas
seguro estar?

Imaginemos la siguiente recreación,
en una avenida están por chocar dos autos, un tico de masa
m y un auto muy pesado de masa 5m (auto de los años 50),
como indica el problema. En el instante del choque aparecen dos
fuerzas de la misma magnitud pero en sentido contrarios, esas
fuerzas están dirigidas a cada auto, lo que
producirá en ellos un cambio en su velocidad, y es obvio
que la fuerza que actúa sobre la masa m produciran en el
un cambio mayor, por la segunda ley de newton, y lo mas probable
es que el auto pequeño (tico) salga disparado o bien quede
hecho trisas.

Enviado por:

Bart