INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA 1.1)
INTRODUCCIÓN La historia de la Trigonometría (De
las voces griegas TRIGONON = Triángulo y METREO = medida.
Es, pues, la medida del triángulo; o sea tiene por fin
encontrar el valor de sus elementos) se remonta a la primera
Matemática conocida, en Egipto y Babilonia. Los egipcios
establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos
y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia
clásica no empezó a haber Trigonometría en
las Matemática. En el siglo II a.C. el astrónomo
Hiparco de Alejandría (180 – 125 a. C ) inventa la
Trigonometría que se ocupaba inicialmente en formular
relaciones entre las medidas angulares y las longitudes de los
lados de un triángulo, aspecto utilizado en
astronomía y navegación, en las que el principal
problema era determinar una distancia inaccesible, como la
distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no
podía ser medida de forma directa (lafacu.com). Tolomeo
incorporó en su gran libro de astronomía, el
Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de
1°, desde 0° a 180°, con un error menor que 1/3.600
de unidad. También explicó su método para
compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio
bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular
los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los
conocidos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo los
astrónomos de la India habían desarrollado
también un sistema trigonométrico basado en la
función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta
función seno, al contrario que el seno utilizado en la
actualidad, no era una proporción, sino la longitud del
lado opuesto a un ángulo en un triángulo
rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos
indios utilizaron diversos valores para ésta en sus
tablas. A finales del siglo VIII los astrónomos
árabes habían recibido la herencia de las
tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con
la función seno. En las últimas décadas del
siglo X ya habían completado la función seno y las
otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado
varios teoremas fundamentales de la Trigonometría que
fueron aplicados a la astronomía. El occidente latino se
familiarizó con la Trigonometría árabe a
través de traducciones de libros de astronomía
arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El
primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito
por el matemático y astrónomo alemán Johann
Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el
también astrónomo alemán Georges Joachim,
conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de
funciones trigonométricas como proporciones en vez de
longitudes de ciertas líneas. Los cálculos
trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al
matemático escocés John Napier, quien
inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. Casi
exactamente medio siglo después de la publicación
de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el
cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del
trabajo de Newton fue la representación de muchas
funciones matemáticas utilizando series infinitas de
potencias de la variable x. Newton encontró la serie para
el sen x y series similares para el cos x y la tan x. Con la
invención del cálculo las funciones
trigonométricas fueron incorporadas al análisis,
donde todavía hoy desempeñan un importante papel
tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. 1
Mgs. Mario Suárez Trigonometría 1
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo
Leonhard Euler definió las funciones
trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales
de números complejos. Esto convirtió a la
trigonometría en sólo una de las muchas
aplicaciones de los números complejos; además,
Euler demostró que las propiedades básicas de la
trigonometría eran simplemente producto de la
aritmética de los números complejos. En la
actualidad, el hombre emplea la Trigonometría para
calcular áreas, distancias, trayectorias y en el estudio
de la Mecánica (parte de la Física que estudia el
movimiento de los cuerpos y que se subdivide en
cinemática, dinámica y estática), la
Química y en casi todas las ramas de la ingeniería,
sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos,
como el sonido o el flujo de corriente alterna (LONDOÑO, N
y BEDOYA, H. 1993). Teorema de Pitágoras La
relación entre los cuadrados de los lados de los
triángulos rectángulos se anuncian en el
fundamental Teorema de Pitágoras, cuyo enunciado es el
siguiente: En todo triángulo rectángulo el cuadrado
de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos. Del Teorema de Pitágoras se deducen las
siguientes conclusiones: – En todo triángulo
rectángulo la hipotenusa es igual a la raíz
cuadrada de la hipotenusa de la suma de los cuadrados de los
catetos. v – Un cateto es igual a la raíz cuadrada de la
diferencia entre el cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del
otro cateto v v 1.2) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1.2.1)
DEFINICIÓN Son relaciones entre las longitudes de la
hipotenusa y los catetos del triángulo rectángulo.
Existen seis funciones trigonométricas: seno, coseno,
tangente, cotangente, 2 Mgs. Mario Suárez
Trigonometría 1
secante y cosecante. Las tres primeras funciones se llaman
funciones directas y las tres últimas se llaman funciones
recíprocas o inversas. En el triángulo ACB de la
siguiente figura consideramos el ángulo A c = Longitud de
la hipotenusa a = Longitud del cateto opuesto al ? A b = Longitud
del cateto adyacente al ? A Las funciones trigonométricas
del ángulo A son: Funciones directas Funciones inversas
1.2.2) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
NOTABLES Funciones de 300 y 600 Se obtienen a partir de un
triángulo equilátero (llamado también
equiángulo) de 2 unidades de lado. Se emplea 2 unidades de
lado por ser el número entero más pequeño y
fácil de utilizar para calcular, en números
pequeños, los demás elementos del triángulo
que intervienen en el cálculo las funciones
trigonométricas Tarea para el estudiante 1) Trace un
triángulo equilátero de 2 unidades 3 Mgs. Mario
Suárez Trigonometría 1
2) Trace la altura desde el vértice superior. Explique el
¿Por qué? la altura trazada también es
bisectriz 3) Calcule a y b en la figura 4) Calcule las funciones
trigonométricas de 300 y 600. Racionalice los resultados y
llene la siguiente tabla: Función sen cos tan cot sec csc
Ángulo 300 600 v v Funciones de 450 Se obtienen a partir
de un triángulo cuadrado (llamado también
rectángulo equilátero o rombo equiángulo) de
una unidad de lado. Se emplea una unidad de lado por ser el
número entero más pequeño y fácil de
utilizar para calcular, en números pequeños, los
demás elementos del triángulo que intervienen en el
cálculo las funciones trigonométricas Tarea para el
estudiante 1) Trace un cuadrado de una unidad 2) Trace la
diagonal desde el vértice superior izquierdo. Explique el
¿Por qué? la diagonal trazada también es
bisectriz 3) Calcule la diagonal c de la figura 4) Calcule las
funciones trigonométricas de 450. Racionalice los
resultados y llene la siguiente tabla Función sen cos tan
cot sec csc Ángulo 450 v 1.2.3) FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES 4 Mgs.
Mario Suárez Trigonometría 1
Son funciones trigonométricas de los ángulos que se
encuentran en los cuadrantes del Plano Cartesiano que se obtienen
a partir del Círculo Trigonométrico (Círculo
trazado en el Plano Cartesiano con centro en el punto (0,0) y
radio de una unidad) Donde r ? radio vector; x ? abscisa; y ?
ordenada; ? ? ángulo theta Las funciones
trigonométricas del ángulo ? son: Funciones
directas Funciones inversas Tarea para el estudiante 1) Trace un
Plano Cartesiano a una escala conveniente para un Círculo
Trigonométrico. 2) Con radio en el punto (0,0) y radio una
unidad, trace una circunferencia. 3) Ponga las coordenadas de los
puntos en donde la circunferencia interseca al Plano Cartesiano.
4) Ponga los valores de “y”, “x “y
“r” 5) Calcule las funciones trigonométricas
de los ángulos cuadrantes. Llene la siguiente tabla:
Función sen cos tan cot sec csc Ángulo 00 0 1 900
1800 2700 5 Mgs. Mario Suárez Trigonometría 1
TAREA DE INTERAPRENDIZAJE N° 1 1) Realice un organizador
gráfico (mapa conceptual, cuadro sinóptico,
mentefacto, etc.) sobre la introducción de las funciones
trigonométricas. 2) Consulte sobre la biografía de
Pitágoras, y realice un organizador gráfico de la
misma. 3) Consultar en cualquier fuente de información
disponible sobre la clasificación de los
triángulos, líneas y puntos notables del
triángulo y sobre la clasificación de los
cuadriláteros. 4) Realice las tareas de las funciones
trigonométricas de ángulos notables y cuadrantales.
5) Comprobar las siguientes igualdades empleando los valores
exactos los ángulos dados: 5.1) sen 2 300 ? cos 2 300 ? 1
5.2) sen 2 450 ? cos 2 450 ? 1 5.3) sen 2 600 ? cos 2 600 ? 1
5.4) 1 ? tan 2 300 ? sec 2 300 5.5) 1 ? tan 2 450 ? sec 2 450
5.6) 1 ? tan 2 600 ? sec 2 600 5.7) 1 ? tan 2 00 ? sec 2 00 6)
Hallar tan del ángulo A, sabiendo que b ? mn ? n 2 y c ? m
? n 1 n mn 1.2.4) SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Tarea para el estudiante 1) Trace un Plano Cartesiano. 2) Trace
un radio vector r en los 4 cuadrantes del Plano Cartesiano con un
ángulo ?. 3) Empleando al radio vector como hipotenusa
forme triángulos rectángulos. 4) Ponga los
elementos de los triángulos rectángulos trazados
anteriormente, empleando la simbología “x”
“-x”, “y” y “-y” para los
catetos adyacente y opuesto al ángulo ?, respectivamente,
según el cuadrante. 5) Calcule las funciones
trigonométricas en cada triángulo y determine los
signos de las funciones trigonométricas. Llene la
siguiente tabla: Signos de las Funciones Trigonométricas
Cuadrante Función I II III IV Mgs. Mario Suárez sen
? + + Trigonometría 1 6
cos ? tan ? cot ? sec ? csc ? + + Resumen todas sin csc tan cot
cos sec 1.2.5) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
FAMILIARES De 300 Tarea para el estudiante 1) Repita los pasos
del anterior taller empleando ? ?300, r ?2, x ? v y y?1 2)
Calcule el ángulo familiar de 300 que se obtiene en el
segundo, tercero y cuarto cuadrante. 3) Calcule las funciones
trigonométricas de 300 y de sus ángulos familiares.
Racionalice las respuestas y llene la siguiente tabla:
Ángulo 300 1500 2100 3300 Función sen ? cos ? tan ?
cot ? sec ? csc ? De 450 Tarea para el estudiante 1) Repita los
pasos del anterior taller empleando ? ? 450, r ? v , x ?1 y y ?1
2) llene la siguiente tabla: Ángulo 450 1350 2250 3150
Función sen ? cos ? tan ? cot ? sec ? csc ? De 600 7 Mgs.
Mario Suárez Trigonometría 1
Tarea para el estudiante 1) Repita los pasos del anterior taller
empleando ? ? 600, r ? 2, x ?1 y y ? v 2) llene la siguiente
tabla: Ángulo 600 1200 2400 3000 Función sen ? cos
? tan ? cot ? sec ? csc ? TAREA DE INTERAPRENDIZAJE N° 2 1)
Realice las tareas para el estudiante de los signos de las
funciones y de las funciones trigonométricas de
ángulos familiares. 2) Comprobar las siguientes igualdades
empleando los valores exactos los ángulos dados: 2.1) sen
2 1200 ? cos 2 1200 ? 1 2.2) sen 2 1350 ? cos 2 1350 ? 1 2.3) sen
2 2400 ? cos 2 2400 ? 1 2.4) 1 ? tan 2 1500 ? sec 2 1500 2.5) 1 ?
tan 2 2250 ? sec 2 2250 2.6) 1 ? tan 2 3000 ? sec 2 3000 2.7) 1 ?
tan 2 1200 ? sec 2 1200 2.8) 1 ? tan 2 3150 ? sec 2 3150 2.9) 1 ?
tan 2 2100 ? sec 2 2100 2.10) 1 ? cot 2 1500 ? csc 2 1500 1.2.6)
GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS TAREA DE
INTERAPRENDIZAJE N° 3 1) Llene la siguiente tabla y grafique
las funciones trigonométricas de manera manual y
utilizando el programa Graph o cualquier otro programa. Nota:
Grado s Re v 0 8 Mgs. Mario Suárez Trigonometría
1
15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 1/2 195 210 225 240 255
270 285 300 315 330 345 360 9 Mgs. Mario Suárez
Trigonometría 1
10 Mgs. Mario Suárez Trigonometría 1
2) Elaborar la tabla y construir un mismo sistema de coordenadas
las gráficas de las funciones: 11 Mgs. Mario Suárez
Trigonometría 1
1.3) RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
TAREA DE INTERAPRENDIZAJE N° 4 Emplear las funciones
trigonométricas o el teorema de Pitágoras para
resolver los siguientes ejercicios y problemas 1) Hallar el valor
de x en las siguientes figuras: S = 69,3 m S =5 S = 81,1 m S = 6(
3 ? 1) 2) En la siguiente figura determinar la altura h de la
montaña y el valor de x S= 1730, 9 m; 999, 3 m 3) El
siguiente triángulo está inscrito en una
circunferencia de 2 cm de radio. Calcular el área de la
región sombreada S = 7,37 cm2 4) El lado del siguiente
pentágono regular mide 2,4 cm y su apotema 1,6 cm.
Calcular el área de la región sombreada 12 Mgs.
Mario Suárez Trigonometría 1
S = 2,96 cm2 5) El diámetro de la circunferencia es 4 cm.
Calcular el área de la región sombreada. S = 6,5
cm2 6) Calcular el área de un triángulo
isósceles cuya base mide 6 cm y uno de sus lados 5 cm R=
12 cm2 7) La base de un triángulo isósceles mide 10
m y el ángulo en la base ? / 6 rad. Calcular el
perímetro y el área. P = 21,54 m A= 14,4 m2 8)
Calcular el área de un rectángulo sabiendo que su
diagonal mide 10 cm y la base 8 cm. R= 48 cm2 9) Resolver un
rombo, sabiendo que su diagonal mayor mide 8 m y su diagonal
menor 60 dm. P= 20 m; A=24 m2; 106,260; 73,740 10) Calcular el
área de un trapecio isósceles sabiendo que la base
mayor mide 10 cm, la base menor 4 cm y uno de sus lados 5 cm A
=28 cm2 11) Calcular el área de un hexágono regular
inscrito en una circunferencia de 2m de radio A = 10,4 m2 12)
Calcular la longitud de un arco intersecado por una cuerda que
mide 2,6 m en una circunferencia de 3 m de diámetro. Arco
= 3,145 m 13) Los organizadores de una prueba ciclística
ordenan a un constructor una rampa de 10 m de largo y que se
levante del suelo a una altura de 3 m. Calcular el ángulo
de elevación de la rampa. S = 17,46º 14) La sombra
que proyecta un árbol de 3,4 m sobre el piso horizontal
mide 4,3 m. ¿Cuál es la medida del ángulo
que hace la horizontal con la línea que une los dos puntos
extremos, de la sombra y del árbol? S = 38,33º 15)
Una escalera de 3 m está recostada sobre una pared
vertical y forma con el piso en ángulo de 63,3º. Mgs.
Mario Suárez ¿Qué altura alcanza la escalera
sobre la pared? Trigonometría 1 S = 2,68 m 13
16) Un pintor usa una escalera de 5 m de longitud
apoyándose sobre la pared y a 3 m de ella en el piso.
Determinar la altura que alcanza la escalera sobre la pared. S =
4m 17) Una antena de televisión de 8 m de altura
está sujeta desde su extremo superior por un cable fijo a
6m de la base. ¿Cuál es el precio del cable si cada
metro cuesta $ 0,5? S= $5 18) Una antena de televisión
está sujeta desde su extremo superior por un cable fijo a
2m de base y forma con la horizontal un ángulo de
70º.¿ Que altura alcanza la antena? S = 5,5 m 19)
Determinar la altura de un edificio, sabiendo que cuando el sol
forme un ángulo de 60º con el edificio, éste
proyecta una sombra de 60 m. S = 103,92 m 20) Determinar la
longitud que presenta la sombra de un árbol de 6m de
altura cuando la inclinación de los rayos del sol es de
40º S = 7,15 m 21) El ángulo de elevación de
una cometa cuando se ha soltado 40m de hilo es 40º.
Determinar la altura de la cometa S = 25,7 m 22) Un avión
de reconocimiento localiza un barco enemigo con un ángulo
de depresión de 28º. Si el avión vuela 3200 m
de altura, calcular la distancia a la que se encuentra el barco
enemigo. S = 6815,8 m 23) Desde la cúspide de un faro de 4
m de altura sobre el nivel del mar se observa que un
ángulo de depresión de 21º a un bote. Calcular
la distancia horizontal del faro al bote. S = 10,42 m 24) Desde
un punto situado a 2 m sobre el nivel del piso, un hombre de 1,7
m observa un edificio situado a 20 m sobre la horizontal. Si el
ángulo que forma la visual con la horizontal es de
45º. Cuál es la altura del edificio. S = 23,7 m 25)
Desde la cúspide de un faro de 6m de altura sobre el nivel
del mar se observa que los ángulos de depresión a 2
botes situados en líneas con el faro son de 14º y
30º , respectivamente. Calcular la distancia entre ambos
botes. S = 13,67 m 26) Un poste de alumbrado tiene una altura de
4 m. Un observador está parado frente al poste a una
distancia de 2m del mismo. Si la estatura del observador es de
1,7 m, ¿cuál es la longitud de la sombra que
proyecta el observador sobre el piso. S= 1,48 m 27) El viento
quiebra un árbol y la parte superior toca el suelo en un
punto de éste a 8m de la base del árbol. La parte
quebrada mide 17 m. ¿Cuál era la altura original
del árbol? 14 Mgs. Mario Suárez
Trigonometría 1
2 3r 3 C S= 32 m 28) Una persona se encuentra en la ventana de su
apartamento que está situada a 8m del suelo y observa el
edificio de enfrente con un ángulo de elevación de
300. La distancia entre el apartamento y el edificio es 166,18 m.
Determinar la atura del edificio de enfrente. S= 104 m 29) El
volumen de un hexaedro es de 64 cm3. Demostrar que la diagonal
del cuerpo mide 4 3 cm 30) En la siguiente figura demostrar que d
= 2? , D = 3? y ? ? 1.4) RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
OBLICUÁNGULOS Recordemos que un triángulo
oblicuángulo es aquel que no tiene ángulo recto.
Para resolver estos triángulos necesitamos conocer los
teoremas o leyes del coseno y del seno. 1.4.1) TEOREMA O LEY DEL
COSENO En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un
lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los
otros dos lados, menos el doble producto de éstos por el
coseno del ángulo comprendido entre dichos lados. a2 = b2+
c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 -2ac cos B b a A m c H n B A
continuación se demuestra el teorema para el lado a o BC
Consideremos el triángulo anterior .Sea CH el segmento
altura y sean m y n las longitudes de los segmentos en el que el
punto h divide el lado AB 15 Mgs. Mario Suárez
Trigonometría 1
2 2 2 2 2 2 h En el triángulo AHC y el BHC por el teorema
de Pitágoras: a2 = h2 + n2 b2 = h2 + m2 (1) (2) Al restar
la ecuación (2) de la ecuación (1) se obtiene: (1)
–(2): a 2 ? b 2 ? n 2 ? m 2 Por ser m + m = c ? n = c
– m a 2 ? b 2 ? ?c ? m? ? m 2 a ? b ? c ? 12m ? m ? m
Cuadrado de un binomio Términos semejantes (3)
Transponiendo b2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2cm a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2cm m
Como: cos A = y m = b cos A (4) b 2 2 2 Reemplazando (4) en (3),
obtenemos: a = b +c – 2bc cos A En forma similar que
podríamos demostrar el teorema del coseno para los lados b
y c 1.4.2) TEOREMA O LEY DE LOS SENOS En todo triángulo
ABC, las longitudes de los lados son directamente proporcionales
a los senos de los ángulos opuestos a dichos lados.
Consideremos al triángulo ABC de la figura. Tracemos la
altura h desde el vértice del ángulo B hasta el
lado AC. B a h c C b D A En el triángulo ADB calculando
sen A: Sen A = h c Despejando h h = c sen A (1) en el
triángulo CDB calculando sen C y despejando h sen C = ? h
? asenC(2) a Aplicando la propiedad transitiva ( a = b y b =c ? a
= c ) 16 Mgs. Mario Suárez Trigonometría 1
a c a b c De la igualdad de las ecuaciones 1 y 2 a sen C = c sen
A Transponiendo sen C y sen A ? senA senC Generalizando esta
igualdad para el lado B y su lado opuesto ? ? senA senB senC
TAREA DE INTERAPRENDIZAJE N° 5 1) Resolver los siguientes
triángulos ABC B a c 1.1) a = 5 cm C b = 100 mm C =
45º b A A= 28,700, B = 106,30, P =22,368 cm, A?= 17,65 cm2
7? 1.2) a = 10 cm b = 150 mm B = 30 A= 29,720, C = 18,330, P
=31,34 cm, A?= 23,59 cm2 1.3) B = 113º10’ 1.4) c = 40
cm 1.5) a = 150 cm 1.6) a = 9 cm b = 248 cm b = 0,5 m c=3m b =
0,07 m c = 1,95 m A= 20,540, C = 46,290, P =537,65 cm, A?=
8783,76 cm2 3 A= Re v 20 B= 75,550, C = 50,440, P =131,82 cm, A?=
809,02 cm2 B = 5 ? / 6 A= 9,8960, C = 20,110, P =886,387 cm, A?=
11250 cm2 c = 40 mm A= 106,60, B = 48,190, C = 25,20, P =20 cm,
A?= 13,41 cm2 2) El valor de x en la siguiente figura es 17 Mgs.
Mario Suárez Trigonometría 1
3) Desde un punto situado en el plano horizontal que pasa por la
base de un edificio, el ángulo de elevación a su
cúspide es de 520 39’ y desde otro punto situado a
10 m del anterior y más distante que él del pide
del edificio es de 35016’. Hállese la altura del
edificio. S = 15,36 m 4) Un asta de bandera de 4 m de altura
está situada en lo alto de una torre. Desde un punto
situado de la base de la torre se observa que los ángulos
de elevación al tope y al pie del asta son de 38053’
y 20018’ respectivamente. Hállese la distancia del
punto a la torre y la altura de ésta. S= 3,39 m; 9,16 m 5)
Un automóvil parte con rumbo N300O a una velocidad de 180
km/h durante 3 horas. Un segundo automóvil parte desde el
mismo lugar del primero con rumbo a S100E a una velocidad de 200
km/h durante 4 horas. Calcular la distancia entre los
automóviles. S= 1320,41 km 6) Un avión parte con
rumbo N300E a una velocidad de 3000 km/h durante 2 horas. Luego
cambia el rumbo a S200E a una velocidad de 4000 km/h durante 2
horas. Calcular la distancia y el rumbo con respecto a su punto
de partida. S= 6188,08 km; N 67,970 O 7) Un vehículo parte
con rumbo N300O a una velocidad de 150 km/h durante 2 horas.
Luego cambia el rumbo a S400O a una velocidad de 200 km/h durante
3 horas. Finalmente cambia su rumbo a N600O a una velocidad de
180 km/h durante 4 horas. Calcular la distancia y el rumbo con
respecto a su punto de partida. S= 1170,2 km; S 82,30 E 8) Un
automóvil parte con rumbo N300E a una velocidad de 150
km/h durante 2 horas. Luego cambia el rumbo a S200E a una
velocidad de 200 km/h durante 3 horas. Finalmente cambia su rumbo
a N600E a una velocidad de 180 km/h durante 4 horas. Calcular la
distancia y el rumbo con respecto a su punto de partida. S=
980,34 km; S 86,730 O 18 Mgs. Mario Suárez
Trigonometría 1