Limitaciones científicas

Este artículo pretende contestar lo más
eficaz y sencillamente posible la siguiente pregunta, basada en
los estudios profundos del Génesis: ¿Qué se
puede decir acerca de las limitaciones de la ciencia
humana?

Introducción.

Existen una serie de limitaciones de la ciencia humana
que nos aparecen a simple vista, por decirlo así. Por
ejemplo, el conocimiento de las leyes del universo que el ser
humano puede obtener es presumiblemente limitado y su
aplicación técnica sólo funciona dentro de
la estructura y las limitaciones de dicho universo. Incluso las
matemáticas, que parecen trascender al mundo físico
del que son abstraídas, en realidad tiene sus fundamentos
bien asentados en la sensopercepción que el hombre ha
obtenido del entorno cuantitativo y por tanto es cuestionable que
puedan ofrecer por sí mismas un vislumbre fidedigno de
alguna clase de realidad que trascienda nuestro mundo.

Por otra parte, siendo la ciencia humana un constructo
del propio hombre, es evidente que estará más o
menos sometida a las mismas lacras que el ser humano tiene. Por
lo tanto, la mentira, el fraude, la futilidad, el
autoengaño, el oportunismo y así por el estilo, son
cortapisas que afectan a la ciencia y que, aunque se reconozca
que a la larga el método científico obra de forma
depurativa de cara a los conocimientos adquiridos y aceptados,
dicho método no deja de estar sustentado sobre la misma
sociedad científica que lo utiliza y por lo tanto sujeto a
la buena (o mala) voluntad del colectivo científico. En
última instancia, la supervivencia de la ciencia humana
depende evidentemente de la supervivencia de la mismísima
sociedad humana.

Al parecer, en la década de 1970, cuando se
vislumbraba la potencialidad que en el futuro podrían
alcanzar los llamados "cerebros electrónicos o
computadoras", hubo no pocos individuos que se imaginaron que
algún día estas máquinas serían
capaces de contestar cualquier pregunta o resolver cualquier
problema. Dicha idea fue popularizada en la televisión y
en las películas. Había personas que estaban
convencidas de que, gracias a los esfuerzos del hombre, pronto
aparecería una supercomputadora, una que
revolucionaría los asuntos humanos. Algunos creían
que una máquina de ese tipo era construible y en
consecuencia resolvería todos los problemas de la
humanidad en asuntos de moralidad, ética, gobierno,
ciencia, suministro de alimentos y medicamentos. ¿Se
apegaba a la realidad esa creencia? ¿Qué
habilidades y limitaciones tiene la computadora? Un famoso
"teorema de Gödel" parece que ha pulverizado
trágicamente esas esperanzas.

Limitaciones de
la ciencia humana.

La revista DESPERTAD del 22-6-1993, publicada en
español y otros idiomas por la Sociedad Watchtower Bible
And Tract, dice, en sus páginas 21 y 22:

«"Muchos científicos del siglo XIX […]
solían pensar que algún día llegarían
a la verdad absoluta, al conocimiento definitivo", dice el libro
The Scientist, y añade: "Sus sucesores sólo hablan
de conseguir un "conocimiento parcial", de acercarse
continuamente a la verdad sin nunca alcanzarla del todo". Esta
falta de conocimiento absoluto limita notablemente lo que la
ciencia puede hacer.

Los hechos científicos no cambian con el paso de
los años, pero las teorías científicas
sí, y con frecuencia. En efecto, a veces las
teorías científicas han basculado de un extremo a
otro. Por ejemplo, la ciencia médica pensó en un
tiempo que a una persona enferma de gravedad se le debía
sacar sangre. Después se creyó que era una mejor
solución transfundírsela. En la actualidad hay
quienes comienzan a reconocer que es más sabio no hacer ni
una cosa ni otra, sino buscar tratamientos alternativos menos
arriesgados.

Es evidente que es muy poco lo que los
científicos saben en comparación con lo que
desconocen. En The World Book Encyclopedia se hace la siguiente
observación: "Los botánicos aún no saben a
ciencia cierta cómo funciona el proceso de la
fotosíntesis. Los biólogos y los bioquímicos
todavía no han encontrado la respuesta a cómo se
originó la vida. Los astrónomos siguen sin hallar
una explicación satisfactoria para el origen del universo.
La ciencia médica y fisiológica aún
desconoce cómo curar el cáncer y las enfermedades
víricas. […] Los psicólogos no conocen
todavía todas las causas de las enfermedades
mentales".

Además, la ciencia está limitada porque no
puede ser superior a quienes se dedican a ella. En otras
palabras, la falta de conocimiento del científico se ve
agravada por su propia imperfección. Los autores del libro
"5000 Days to Save the Planet" descubrieron que "una y otra vez
[…] las organizaciones que defienden intereses creados han
manipulado las investigaciones, han distorsionado los
análisis de costo/beneficio realizados y han suprimido
información con el único objeto de vender productos
nocivos o de continuar con actividades perjudiciales para el
medio ambiente".

Aunque la mayoría de los científicos sean
honrados, no hay por qué atribuir a sus actividades un
valor desmesurado. "Son personas como las demás
—dijo el científico británico Edward
Bowen—. Todos cometen errores. Los hay abnegados
y los hay sin escrúpulos, los hay
brillantes y los hay torpes. He conocido a algunos de los
científicos prestigiosos de nuestro tiempo, hombres que
han hecho mucho bien a la humanidad. Si bien es cierto que no he
conocido a ningún científico que haya estado en la
cárcel, sé de algunos que la
merecerían".

Queda claro que las muchas limitaciones de la ciencia
moderna la incapacitan para afrontar los retos del siglo XXI.
Sobre todo, ha sido incapaz de proteger el medio ambiente, y en
lugar de contribuir a eliminar la guerra de la Tierra, ha
colaborado en la invención de armas de gran poder
destructivo».

Si bien la intuición y la perspicacia nos dictan
que existen limitaciones (grandes limitaciones) para la ciencia
humana, el propio razonamiento matemático ha constatado
que eso es cierto y ha venido a trastocar la fe que por largo
tiempo los filósofos y los hombres de ciencia
habían depositado en la supuesta omnipotencia explicativa
(y quizás aplicativa) de la misma. El gran artífice
de esta mayúscula decepción fue un
hombre bastante introvertido, Kurt Gödel, una persona
enfermiza que sufrió depresiones desde la
infancia. Aparentemente sin pretenderlo y animado
sólo por el ansia de explicaciones, removió los
cimientos de las matemáticas que se habían
construido desde los tiempos de Euclides hasta los comienzos del
siglo XX y cristalizó sólidas ideas que
repercutieron en diversos campos del conocimiento, o tal vez en
todos, pero en especial en la matemática, la
filosofía y las actuales ciencias de la
computación.

Un iconoclasta
involuntario.

Según el Diccionario de la Real Academia de la
Lengua Española, año 2003, edición
electrónica, la palabra ICONOCLASTA proviene del griego
"εíκονοκλáστης"
(rompedor de imágenes) y se aplica por antonomasia a todo
aquel individuo que niega el culto a las imágenes de
santos, vírgenes y cristos tenidas por sagradas en la
cristiandad, y además las destruye, e incomoda o persigue
a quienes las veneraban. Figuradamente, también se llama
"iconoclasta" a quien niega y rechaza la autoridad de maestros,
normas y modelos establecidos tradicionalmente en la sociedad
humana, sin que por ello el calificativo tenga necesariamente
connotaciones peyorativas.

En sentido figurado, hubo un
matemático de mediados del siglo XX que
involuntariamente llegó a ser iconoclasta, al arrasar con
sus razonamientos el modelo idolátrico de la "ciencia
humana potencialmente todopoderosa" que se había
implantado en la mente de la mayoría de los
científicos, al ser llevados éstos por la
embriagante eclosión exponencial de los descubrimientos en
todas las áreas del saber. Aparentemente, buscando
consolidar esta imagen colosal de la ciencia desde sus
fundamentos, se topó con una realidad devastadora, primero
para él y después para todo aquél que,
huyendo del autoengaño, estuviera dispuesto a asumir
la gran verdad: la ciencia humana es un ídolo
quebradizo, incapaz de sustentarse a sí mismo y
absolutamente adolescente. El nombre de este matemático es
Kurt Gödel.

Gödel nació el 28 de abril de 1906 en
Brünn (Moravia, actual República de Checoslovaquia).
Hijo de Rudolph, propietario de una fábrica textil, y
Marianne, una cultivada madre de familia. Gracias a la holgada
economía familiar, debido al tesón comercial de su
padre, Gödel y su hermano pudieron formarse en buenas
escuelas privadas alemanas, en las que obtuvieran buenas
notas.

Como otros grandes físicos y matemáticos,
Gödel no reveló su genialidad durante la infancia. De
manera anecdótica tenemos que decir que Gödel, en la
asignatura de matemáticas, recibió una
calificación de insuficiente. A pesar de todo, fue un
niño con una enorme curiosidad, ganándose el apodo
de "der Herr Warum" (El Señor Porqué).

En 1924 ingresó en la universidad de Viena con la
intención de estudiar Física Teórica.
Impresionado por los profesores Philipp Furtwängler y Hans
Hahn, su interés se volcó en las
matemáticas. Entró a formar parte del
Círculo de Viena (aunque participó en contadas
ocasiones en las discusiones), en el que se debatían los
escritos de Ludwig Wittgenstein. Es a partir de entonces cuando
comienza a elaborar sus teorías más importantes
sobre la "completitud de sistemas formales". Mucho antes
había conocido los escritos de Ernst Mach, gran defensor
del racionalismo como medio de conocer las cosas a través
de la lógica y el método empírico de la
observación, alejándose del uso de entidades
metafísicas.

Dos publicaciones le otorgan gran
notoriedad, su tesis doctoral escrita en 1929 y el teorema
"Über formal unentscheidbare Sätze der
Principia Mathematica und verwandter Systeme" (Sobre
proposiciones formalmente indecidibles en los Principia
Mathematica y sistemas afines) publicado en 1931. En 1933
viajó a Estados Unidos impartiendo una serie de
conferencias, y es allí donde conoció por primera
vez a Einstein. Es en esta época cuando Hitler llega al
poder. Aunque al principio Gödel no mostraba excesivo
interés por la política, tras el
asesinato de uno de los miembros del Círculo de Viena por
un antiguo alumno nazi, decide emigrar a Estados Unidos, donde en
1939 se casó con Adele Pokert, estableciéndose en
Princeton, New Jersey.

Sobre la década de 1940
mantuvo contacto con Einstein y colaboró con él en
algunos aspectos de la teoría de la Relatividad,
trabajando en las ecuaciones del campo gravitatorio. Poco
después, Gödel publicó algunos
artículos sobre la Relatividad. En 1946 se hizo miembro
del Instituto de

Estudios Avanzados de Princeton, en el que estuvo hasta
su muerte. Recibió numerosos homenajes y premios a lo
largo de su vida, de Yale, Harvard, la Academia de las Ciencias,
Brown, American Philosophical Society, London Mathematical
Society y la Royal Society of London. Sin embargo, rechazó
el titulo honorífico de la Universidad de Viena por su
relación con el tercer Reich. Su mujer Adele sufrió
un ataque cardíaco que la dejó inválida y
Gödel tuvo que ocuparse de ella. Una vez fallecida su
esposa, Kurt Gödel dejó de comer convencido de que
alguien intentaba envenenarlo. Murió por inanición
el 14 de enero de 1978.

Antecedentes
históricos.

Desde tiempos inmemoriales el hombre ha querido dar una
explicación a todos los fenómenos que le rodean e
incluso a los que observa en sí mismo, y también ha
deseado saber el porqué de las cosas que detecta con sus
sentidos corporales. Grandes pensadores han intentado siempre
encontrar el método, el supuesto camino que conduce a la
verdad absoluta, y lo han hecho a través de la
filosofía y de la ciencia. Esta última, sobre todo
en los tiempos modernos, ha ido poco a poco robando terreno a la
filosofía. Pero la búsqueda de la verdad por el
hombre continuamente se ha visto sometida a grandes cambios, con
mayor o menor acierto. Cuando un método parecía
funcionar en los casos conocidos, surgía un nuevo caso que
no era explicable con dicho método. Ello obligaba a
replantearse el porqué de esta disonancia, cómo
resolverla o de qué manera controlarla.

Para entender el impacto que causó
Gödel cuando publicó sus hallazgos es necesario tener
una visión general de la situación de la
época. Las matemáticas comenzaban una etapa de
optimismo y la mayoría de los matemáticos
consideraban que todo aspecto de las matemáticas
podría ser codificado en sistemas axiomáticos que
permitieran demostrar la falsedad o verdad de todas las
proposiciones. ¿Cómo se llegó a esta
convicción?

NOTA:

Un axioma es una verdad (o juicio tenido por verdadero)
que no necesita demostración, pues su evidencia es
considerada implícita. Los axiomas forman la base a partir
de la cual comenzar a trabajar dentro de un sistema
axiomático, y un sistema axiomático consiste en un
conjunto de axiomas y reglas de inferencia que nos permiten
demostrar la veracidad o falsedad de una proposición (o
juicio a comprobar, mediante razonamiento
lógico).

La axiomatización de una
teoría consiste en establecer una serie de axiomas o
elementos de juicio básicos y fundamentales
extraídos de dicha teoría, unas reglas de
inferencia y unos razonamientos a partir de los cuales la
susodicha teoría quede convertida en una colección
de enunciados o proposiciones. De esta manera, la teoría
pasa a ser un sistema axiomático.
Apriorísticamente, se considera que toda teoría,
por complicada que sea, es axiomatizable.

Desde la antigüedad hasta el siglo XIX, la
matemática ha sido considerada como la ciencia encargada
del conocimiento de las propiedades cuantitativas de los
fenómenos naturales; es decir, la ciencia que hace
abstracción de todo menos del aspecto cuantitativo de
universo; por lo tanto, para la matemática no existe el
tiempo ni los colores ni ninguna otra cosa salvo la cantidad.
Basándose en una serie de axiomas, la matemática
permite formalizar los diversos fenómenos naturales en
su aspecto cuantitativo. Un ejemplo de esta
formalización viene dado por la
"geometría euclidiana" o de Euclides. Este sabio griego
partía de los siguientes axiomas para formalizar la
realidad cuantitativa espacial que percibía:

1. Por dos puntos cualesquiera del espacio
(tridimensional) pasa una línea recta y
sólo una.

2. Toda línea recta se puede prolongar
indefinidamente, hacia un extremo y otro de la
misma.

3. Para cada punto y para cada longitud, en un plano,
existe un círculo con centro en dicho punto y
con radio igual a esa longitud.

4. Todos los ángulos rectos (o ángulos de
90 grados) son iguales.

5. Si una recta A del espacio corta a otras dos B y C y
no forma ángulo recto con ambas (es decir, un
ángulo recto con B y otro ángulo recto con C), las
dos rectas B y C se cortarán en algún punto del
citado espacio. Este axioma es en realidad un
postulado (algo pedido o necesitado por la teoría, para su
axiomatización [o formalización] , pero cuya
veracidad no es tan evidente como la de los axiomas 1 a
4).

Este sistema axiomático euclidiano constituye la
denominada "geometría clásica", un constructo
teórico tan sólido que se mantuvo en vigor hasta el
siglo XIX. Sin embargo, en ese siglo se descubrió que
variando el quinto axioma (llamado "postulado de las paralelas"),
y sustituyéndolo por otro que no contradijera a los
axiomas 1 a 4, se obtenía otra clase de geometría
no euclidiana perfectamente válida y formalizable,
correspondiente a otra concepción espacial diferente. En
realidad, ese quinto postulado puede adoptar diversas formas, no
contradictorias con los 4 axiomas precedentes, y cada una de
ellas dará, pues, una geometría
distinta.

NOTA:

Estrictamente hablando, no es lo mismo
AXIOMATIZACIÓN que FORMALIZACIÓN. Pero, a efectos
prácticos, ambos conceptos son equivalentes. La
AXIOMATIZACIÓN de una teoría (es decir, del
lenguaje o registro lingüístico que soporta toda la
información que constituye dicha teoría) supone un
estudio profundo de la misma para lograr unos axiomas que,
combinados con una leyes de inferencia lógica, permitan
una buena formalización (dar forma lógica o de
automatización o cálculo lógico) de la
teoría. La FORMALIZACIÓN de la teoría
consiste en su axiomatización, en la definición de
unas reglas de inferencia o relacionales anexas y en la
colección de todas las proposiciones verdaderas derivadas
de los axiomas (teoremas) que permiten expresar la teoría
en lenguaje formal o lógico.

Llegado el siglo XIX, los lógicos ingleses George
Boole y Augustus De Morgan codificaron los esquemas deductivos de
razonamiento. Frege y Peano combinaron el razonamiento formal con
el estudio de los conjuntos y los números. Hilbert, por su
parte, creó formalizaciones de geometría más
estrictas que las de Euclides. Cantor había
diseñado una teoría de conjuntos que, pese a ser
bastante atractiva, contaba con diversas paradojas, las cuales
surgían del fenómeno denominado "autorreferencia";
por lo tanto, eliminando la autorreferencia quedaban eliminadas
las paradojas. Russel y Whitehead se lanzaron a un ímprobo
esfuerzo para eliminar las paradojas de la lógica, de la
teoría de números y de la teoría de
conjuntos, y publicaron finalmente sus trabajos en la obra
"Principia Mathematica", mostrando su solución a la
autorreferencia: la "Teoría de Tipos".

De todas formas, los matemáticos y lógicos
comenzaron a albergar serias dudas acerca de los sistemas
formales, pues parecía que las paradojas surgían
rápidamente en dichos sistemas. El gran temor era que las
paradojas de la lógica podían darse en la
matemática, por lo que ésta no tendría unas
bases tan firmes como se creía. Fue entonces cuando
comenzó a surgir la llamada "metamatemática", o el
estudio de la propia matemática y de sus
fundamentos.

El razonamiento matemático siempre
se había hecho en lenguaje natural, lo que daba lugar a
muchas ambigüedades. Russel y Whitehead, en sus
"Principia Mathematica", pretendieron derivar toda la
matemática de la lógica, sin ningún tipo de
contradicción. La obra fue aclamada por todos, si bien
aún existía la duda de si toda la matemática
podía ser englobada en ellos y si se alcanzarían
resultados distintos usando los mismos métodos.

Entonces, David Hilbert propuso a la comunidad
matemática su reto: demostrar, siguiendo los caminos
trazados en los "Principia Mathematica", que el sistema definido
en los mismos era coherente y además completo. En resumen,
lo que Hilbert pretendía era que, a partir de una
porción de las matemáticas, se demostrara la
solidez del todo. Si esto llegaba a lograrse, podría
considerarse toda demostración como un mero proceso
mecánico (un automatismo o un algoritmo), de tal modo que
toda proposición de un sistema sería demostrable. Y
aún en el caso de que existieran fallos en el sistema, la
inclusión de nuevos axiomas podría
subsanarlos.

En el año 1931, Gödel
publicó un artículo que echaba por tierra todo el
"programa de Hilbert", pues demostraba no
sólo que el sistema de Russel y Whitehead tenía
fallos, sino que todo sistema axiomático los
tendría. La publicación del que se conocería
como el "Teorema de Gödel" supuso un duro golpe, pues en
resumidas cuentas probaba que el hombre, por sus propios medios,
jamás podría alcanzar el conocimiento y la verdad
absolutos.

Paradojas.

La palabra PARADOJA proviene de la fusión de los
vocablos griegos PARA (contra) y DOXA (opinión), y se
refiere a toda idea o noción que resulta opuesta a la
lógica común y a la sensatez humana. Los
filósofos y pensadores griegos de la antigüedad
detectaron muchas paradojas en el conocimiento y el saber de la
época, lo cual mostraba que existía una serie de
cortapisas y limitaciones internas en el propio conocimiento
científico o filosófico. Algunos sufrieron una
decepción, otros vieron las paradojas como una muestra de
las limitaciones ineludibles del pensamiento humano y aún
otros las usaron como incentivo para analizar los fundamentos del
saber de la época y tratar de resolver el problema
teórico que planteaban. Estos últimos tenían
la convicción de que el sucesivo refinamiento de las
definiciones y de los planteamientos teóricos
harían desaparecer las paradojas, ya que éstas
daban la impresión de ser evidencias de construcciones
teóricas deficientes.

Un buen ejemplo de paradoja es la famosa
frase de Sócrates "sólo sé que
no sé nada". Obviamente, si sabe que no sabe nada, ya sabe
algo, luego la proposición se contradice a sí
misma. La contradicción de esta paradoja surge en el
momento en que Sócrates hace referencia a si mismo
(autorreferencia). No todas las paradojas se deben a la
problemática de la "autorreferencia", pero el famoso
"teorema de Gödel" tiene mucho que ver con proposiciones que
hacen referencia a sí mismas (autorreferencia).

Numerosas son las paradojas que han
aparecido en el campo de las matemáticas a través
de los siglos, y algunas de ellas han sido resueltas con notables
ganancias teóricas añadidas. Es decir, el
esfuerzo de algunos matemáticos para resolver
algunas paradojas ha propiciado la elaboración de fecundos
cuerpos teóricos que han enriquecido no sólo a las
matemáticas sino también a muchas otras disciplinas
científicas dependientes de éstas
(epistemología, física, química,
biología, informática, sociología,
geología, astronomía,etc.). Sin embargo, han
aparecido sin cesar nuevas paradojas al amparo de novedosas
teorías matemáticas que en principio fueron
construidas para refinar los conocimientos y eliminar las
paradojas existentes, por lo que se ha llegado a la
convicción de que es imposible librarse de las paradojas.
Si bien es verdad que es factible refinar el saber
matemático (por la única vía de la
formalización) y eliminar así las paradojas
enquistadas en él, también es cierto que a la luz
de dicho refinamiento surgen otras paradojas advenedizas que
perturban la paz mental del investigador. Esto parece ser un
indicativo eterno del porvenir que le espera a la
matemática: luchar contra las paradojas, y generar otras
en el mismo intento. Por lo tanto, cabe suponer que las
matemáticas siempre estarán refinándose, en
un proceso de autodepuración que no conocerá final
(lo cual, dicho sea de paso, asegurará al
matemático la continuidad de su
profesión).

Dada la dependencia que el resto de la ciencia humana
tiene con respecto a las matemáticas, como bien
apuntó en su día el reputado Lord Kelvin (ver nota,
abajo), es obvio que las limitaciones que afectan al saber
matemático también serán limitaciones
impuestas sobre el resto de las ciencias. En consecuencia, toda
ciencia positiva (ciencia matematizable) afronta limitaciones
propias (las ocasionadas por su propia idiosincrasia) y ajenas
(las derivadas de la matemática utilizada).

NOTA:

En varios libros de texto de Física
universitaria, se atribuye a Lord Kelvin la siguiente
declaración: "Suelo repetir con frecuencia que sólo
cuando es posible medir y expresar en forma numérica
aquello de que se habla, se sabe algo acerca de ello: nuestro
saber será deficiente e insatisfactorio mientras no seamos
capaces de traducirlo en números. En otro caso, y sea cual
fuere el tema de que se trate, quizás nos hallemos en el
umbral de su conocimiento, pero nuestros conceptos apenas
habrán avanzado en el nivel de la ciencia".

William Thomson (1824-1907), primer barón Kelvin
(Lord Kelvin), fue un físico y matemático
británico que se destacó por sus importantes
trabajos en el campo de la termodinámica y la
electrónica gracias a sus profundos conocimientos de
análisis matemático. Es uno de los
científicos que más hicieron por llevar a la
física a su forma moderna. Es especialmente famoso por
haber desarrollado la "escala Kelvin" de temperatura.
Recibió el título de "barón Kelvin" en honor
a los logros alcanzados a lo largo de su carrera.

Aproximación al Teorema de
Gödel.

En 1931, Gödel publicó un artículo
titulado "Sobre proposiciones formalmente no decidibles en
Principia Mathematica y sistemas relacionados". La
proposición VI de este artículo es lo que se
conocería como "primer teorema de Gödel". Esta
proposición dice así: "A toda clase c de
fórmulas w-consistentes recursivas le corresponde una
clase-signo r tal que ni v Gen r ni Neg (v Gen
r) pertenecen a Flg (c), donde v es la variable
libre de r".

Semejante proposición, dada en
lenguaje metamatemático, suena bastante extraña
para el profano, pero puede traducirse de una manera
más comprensible así: "En todo sistema
axiomático existen proposiciones para las cuales no es
posible demostrar si son ciertas o son falsas". Por otra parte,
Gödel asimismo afirmaba que si un sistema axiomático
es consistente, entonces es incompleto; y si el sistema es
completo, entonces es inconsistente.

Pero, ¿qué significa "consistente" o
"incompleto", y qué es una "proposición", etc.? En
primer lugar, un sistema axiomático es un conjunto de
axiomas y reglas de inferencia (o métodos o normas para
enjuiciar o razonar acerca de los axiomas y las proposiciones).
Una proposición es una afirmación que puede
ser cierta o falsa. Por ejemplo, en un sistema
axiomático aritmético, una proposición
podría ser "2+2=4"; la proposición es
cierta. Otra proposición pudiera ser "3+1=7", la cual es
falsa.

Un sistema axiomático se dice "completo"
(completitud) cuando dentro de dicho sistema (es decir, usando
sólo sus axiomas y sus reglas de inferencia) se permite
demostrar si una proposición es cierta o falsa. En cambio,
los sistemas axiomáticos "incompletos" (incompletitud)
tienen proposiciones las cuales no son susceptibles de ser
demostradas como ciertas o como falsas. Asimismo, un sistema
axiomático es "coherente o consistente" (coherencia o
consistencia) cuando no alberga contradicciones o paradojas de
ningún tipo; y, obviamente, es "incoherente o
inconsistente" ( incoherencia o inconsistencia) cuando presenta
contradicciones o paradojas.

En la época en la que aparece el
Teorema de Gödel se creía que podrían crearse
sistemas axiomáticos que describieran los diversos campos
de la matemática (la teoría de conjuntos, la
teoría de números, la lógica,
etcétera), de tal modo que dichos sistemas fueran
completos y coherentes. Se aspiraba a abarcar todo el
conocimiento y, en su optimismo, los matemáticos
creían que todo podría ser demostrado. Pero un
sistema que incluya proposiciones autorreferenciales genera
paradojas, como hemos visto anteriormente. El Teorema de
Gödel, pues, marcó un antes y un después en
las matemáticas.

Teorema de
Gödel.

Las demostraciones de Gödel sobre la consistencia
interna y completitud de un sistema axiomático se basan en
la posibilidad de "representar" las declaraciones
metamatemáticas acerca de un sistema formal dentro del
sistema mismo. Gödel tradujo proposiciones sobre el sistema,
tales como "esta proposición no tiene demostración
en este sistema" a proposiciones numéricas. No debemos
perder de vista que el teorema de Gödel se centra en la
aritmética y sistemas afines, por lo que las proposiciones
deben traducirse a números naturales (los números
naturales son los siguientes: 1, 2, 3, 4 , 5, …).

Hacer uso de la idea de la representación
numérica fue la clave de la investigación de
Gödel. Él probó que proposiciones
metamatemáticas acerca de un sistema aritmético
formalizado podían ser representadas por fórmulas
aritméticas dentro del propio sistema. Una vez asegurado
esto, el segundo paso consistió en idear un método
de representación tal que le permitiera demostrar que ni
la fórmula aritmética correspondiente a una
determinada proposición metamatemática verdadera
acerca de la fórmula, ni la fórmula
aritmética correspondiente a la negación de la
proposición, son demostrables dentro del
sistema.

En resumidas cuentas, Gödel ideó un sistema
tal que a proposiciones metamatemáticas sobre el sistema
les correspondía una única fórmula
aritmética dentro del propio sistema, para a
continuación demostrar que dichas fórmulas no eran
demostrables dentro del sistema. El método ideado por
Gödel se conoce como "numeración Gödel". El
proceso consta de varias fases, que van desde la
simbolización numérica de Gödel hasta la
demostración de la imposibilidad de probar la consistencia
de la aritmética mediante un proceso finitista (un
número finito de pasos u operaciones). En primer lugar,
Gödel asoció a cada símbolo de cualquier
fórmula del cálculo un número entero
positivo (número natural) arbitrario. Gödel
optó por la siguiente simbolización para el
vocabulario fundamental del sistema axiomático:

Por ejemplo, el número de Gödel
asignado a la fórmula:

sería el siguiente:

(observándose que la construcción del
número de Gödel de la fórmula se hace tomando
la sucesión de los números primos como base de
factores, excluyendo el 1, a saber: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,
23, 29, …, colocando como exponentes de los factores los
números de Gödel de los distintos símbolos y
finalmente multiplicando todos los factores
exponenciados).

Existen signos que no aparecen en el vocabulario,
así que no tienen asociado un valor. ¿Por
qué? ¿Acaso no podría provocar esto que se
queden fuera muchas proposiciones? La respuesta es "no", ya que
Gödel demostró que los signos anteriores eran
suficientes, por lo que para representar ciertas proposiciones
con otros signos éstas pueden y deben transformarse a
proposiciones equivalentes que empleen esos símbolos
godelianos. Por ejemplo, la conjunción "p λ q" (p y
q), escrita de manera no godeliana, equivale a la
expresión godeliana "~(~p y ~q)".

En el caso de haber una sucesión de
fórmulas, el número de Gödel total se puede
obtener a partir de los números de Gödel
de cada fórmula de la sucesión, por el mismo
procedimiento que el número Gödel de
cada una de las fórmulas. Es decir, si n1, n2, …, nk son
los números de Gödel de las k fórmulas de una
sucesión S, el número Gödel de S, nS,
será:

donde "p" es el número primo del
lugar "k"de la sucesión de primos.

En resumen, toda expresión contenida en el
sistema axiomático considerado tiene asociado un
número de Gödel. Este método establece una
"biyección" (es decir, toda expresión del sistema
corresponde a un único número de Gödel y todo
número de Gödel está asociado a una
única expresión del sistema).

Una que vez que Gödel establece los
símbolos básicos, intenta construir la
proposición "Esta proposición no es
demostrable en el sistema". Es la llamada "fórmula G".
Dicha fórmula puede escribirse de la siguiente
manera:

G = [G no es demostrable]

Para demostrar el teorema, se hace necesario definir la
proposición "la sucesión de fórmulas con
número de Gödel x es una demostración o prueba
de la fórmula con número de Gödel z ". Sea
dicha proposición expresada por la fórmula o
relación aritmética que escribiremos
"Dem(x,z)". De forma análoga, la relación
aritmética equivalente a proposición "la
sucesión de fórmulas con número de
Gödel x no es una demostración o prueba de la
fórmula con número de Gödel z" es "~Dem (x,
z)". Por lo tanto, la relación "Dem (x,z)"
viene a decir que la proposición cuyo número
Gödel es z es demostrable.

Por otra parte, también se hace
necesario emplear la notación aritmética " Sust
(m,k,m)" para designar matemáticamente "el
número Gödel de la fórmula obtenida a partir
de la fórmula de número Gödel m, sustituyendo
en ella la variable (numérica o proposicional) de
número de Gödel k por el numeral m".

Todo esto se hace con la intención de hallar la
fórmula G, esto es, la representación
aritmética de la proposición metamatemática
"la fórmula G no es demostrable". Se parte de la
fórmula:

(∀x)(~Dem(x,z))

la cual quiere decir que "para todo x, la
sucesión de fórmulas con número de
Gödel x no es una prueba de la fórmula
con número de Gödel z", o, lo que es lo mismo, la
fórmula de número de Gödel z no es
demostrable. Un caso particular de ésta proposición
sería:

(∀x)(~Dem(x,Sust(y,k,y)))

donde "Sust(y,k,y)" representa,
evidentemente, un número de Gödel.

Esta fórmula, o sea,
(∀x)(~Dem(x,Sust(y,k,y))), tiene a su vez asociado
un número de Gödel n. Si la reescribimos
del siguiente modo, sustituyendo y por n, obtendremos:
(∀x)(~Dem(x,Sust(n,k,n)))

Ésta es la fórmula G. El
número de Gödel asociado a G es el número
simbolizado por Sust(n,k,n).

luego la fórmula G expresa la
siguiente proposición:

"(∀x)(~Dem(x,Sust(n,k,n))) no
es demostrable".

Es decir:

G = [G no es demostrable]

O sea:

"Esta proposición (G) no es
demostrable".

Con ello, pues, se ha conseguido
representar la proposición "Esta proposición no
es demostrable" dentro del sistema. Si, por otra
parte, se consiguiera demostrar G dentro del sistema entonces se
llegaría a una contradicción, con lo cual el
sistema sería incoherente o inconsistente. Así, por
tanto, G debería ser no demostrable y de este modo cierta,
por lo que el sistema quedaría entonces incompleto, al no
poderse demostrar la proposición G expresable dentro del
mismo. Pero en el caso de que la proposición G se
incluyera dentro del conjunto de axiomas del sistema para
solucionar la incompletitud del mismo, entonces, al seguir los
mismos procesos, obtendríamos los mismos
resultados.

Otro razonamiento adicional es el
siguiente. Supongamos que G es demostrable. Entonces
existiría una sucesión de
fórmulas aritméticas que constituyesen una prueba
de G. Sea I el número Gödel de tal sucesión de
fórmulas. Por lo tanto tendremos
"(Dem(I,Sust(n,k,n)))", que es una fórmula que
debería ser aritméticamente verdadera. Sin embargo,
puede probarse que esta relación aritmética es de
un tipo tal que, si dicha relación se da entre un par
definido de números, la fórmula que exprese este
hecho es demostrable dentro del sistema, por lo tanto,
"(Dem(I,Sust(n,k,n)))" es un teorema.

Ahora bien, empleando las reglas de
transformación de la lógica elemental, se obtiene
la fórmula
"~(∀x)(~Dem(x,Sust(n,k,n)))", que es ~G. Por
tanto, G y su negación ~G son ambas demostrables, lo
que es una paradoja, puesto que estamos demostrando
que la proposición "Esta proposición no es
demostrable" es demostrable: el sistema, pues, es
incoherente (inconsistente). Pero suponiendo que el sistema es
consistente (sin contradicciones ni paradojas), entonces tanto G
como su negación serían no demostrables, por lo que
el sistema quedaría incompleto. Y, aún cuando se
añadiera G al conjunto de axiomas del sistema,
podría construirse una nueva fórmula verdadera pero
indecidible (no demostrable dentro del sistema) siguiendo los
pasos descritos anteriormente.

Por supuesto, surgen las siguientes preguntas:
¿Si la aritmética (es decir, la teoría
aritmética formalizada) es consistente, es entonces
incompleta? ¿Si la aritmética es completa, es
entonces inconsistente?

Sea la fórmula aritmética A,
que representa la proposición "Esta proposición no
es demostrable"; es decir: A= "A no es demostrable".
Si el sistema es coherente, entonces si A es cierto resulta que
~A es falso, con lo cual obtenemos:

A cierto -> ~A falso

Es decir, si la aritmética es coherente, entonces
es incompleta.

Ahora bien, si hacemos completa la aritmética,
por medio de hacer verdadera a ~A (que lee: no es cierto que la
proposición A no sea demostrable; es decir: la
proposición A es demostrable), entonces debería ser
falso A (que lee: A no es demostrable). Ello haría
demostrable A, esto es, haría demostrable que A no es
demostrable, lo cual es una paradoja. Por consiguiente, si la
aritmética es completa, entonces es
incoherente.

En el interés de abreviar espacio y
evitar engorrosidades, no hemos escrito las expresiones formales
de Gödel de A y ~A, pero existen y son relativamente
fáciles de construir. Éstas son proposiciones que
entran dentro del lenguaje del sistema axiomático
aritmético y pertenecen a los formalismos internos del
mismo, pero no son demostrables en dicho interior y por eso
constituyen limitaciones internas de dicho sistema
axiomático (incluso son, en realidad, la punta de lanza
que indica que existen limitaciones internas en todos los
sistemas formalistas axiomáticos).

NOTA:

Tanto las nociones preliminares de "geometría
euclidiana o clásica" como las de "lógica
proposicional y lógica de predicados" se dan por supuestas
aquí, puesto que corresponderían a materias
impartidas en cursos de acceso a la universidad en la
mayoría de los países (asignaturas
preuniversitarias).

Repercusiones.

En la civilización occidental, desde la cultura
griega clásica hasta el siglo XX, las matemáticas
se han erigido como fortaleza del racionalismo. Sin embargo,
hasta la más precisa de las ciencias que el hombre ha
podido concebir (es decir, las matemáticas) no ha logrado
escapar de una serie de limitaciones internas que la encorsetan
sin remedio. En efecto, todo sistema matemático que pueda
construirse por la mente humana estará condenado
inexorablemente a la incompletitud. Gödel ha demostrado que
existen en las matemáticas ciertos problemas sin
solución, los cuales no pueden ser formalizados en un
sistema axiomático completo.

Por consiguiente, los matemáticos
saben ahora que su mayor objetivo, o sea, la
consecución de la herramienta teórica que dote al
hombre del poder intelectual de penetración que
le permita llegar a lo más profundo de las cosas, es
inalcanzable. Su objetivo, como tal, ni siquiera
existe.

Gödel ha facilitado un vislumbre del desahucie
final. Las matemáticas no poseen, pues, una realidad
autosustentable independiente del hombre; y aunque existiera
ésta, nuestra capacidad mental finita nos impediría
formalizar su descripción en un sistema completo.
Más aún, el conocimiento racional nunca
podrá llegar a la verdad última acerca del
universo.

NOTA: