Coordenadas baricéntricas de los puntos notables del triángulo

Fórmulas
fundamentales de la trigonometría plana

Teorema 1.1 (del seno): Si ABC es un
triángulo entonces

Donde S es el área y R es del radio
de la circunferencia circunscrita al triángulo
ABC.

Demostración: En efecto,
ABA"C siendo un paralelogramo,

Ahora, de las igualdades (1.2) –
(1.4) resulta la igualdad (1.1).

Observación 1.1: El teorema
del seno es útil sobre todo cuando en el triángulo
se conocen un lado y los ángulos situados sobre este lado,
dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos o dos lados y
el ángulo opuesto a uno de ellos.

Teorema 1.2 (del coseno): En el
triángulo ABC,

Demostración: Puesto que las
dos últimas igualdades se deducen de la primera por
permutación circular, basta comprobar la
primera:

Observación 1.2: El teorema
del coseno es útil para hallar un lado de
triángulo

, cuando se conocen los otros dos lados y
el ángulo formado por ellos o para hallar los
ángulos cuando se conocen los tres lados. En este
último caso se aplicarán las
fórmulas:

Teorema 1.3 (de Neper): En el
triángulo ABC,

Demostración: Utilizando las
propiedades de las proporciones, de (1.1) se deduce
que

Observación 1.3: La
fórmula (1.6.) se puede escribir también en la
forma siguiente:

Teorema (1.4) (de Herón): Si
se conocen los tres lados a, b y c del triángulo ABC
entonces su área S se puede calcular según la
fórmula siguiente:

, donde

Demostración: Según la
primera fórmula de la observación (2.2),

Observación 1.5:

Conociendo las coordenadas de los puntos A,
B y C en un sistema de referencia orto-normal, esta
fórmula permite calcular el área del
triángulo, sin hallar sus lados y sin aplicar la
fórmula de Herón. Utilizando la definición
del producto vectorial y el teorema del seno, de la
fórmula anterior resulta también que

Baricentro

Teorema 2.1: La función
vectorial de Leibniz es constante si el peso del sistema de
puntos ponderados es nulo y es biyectiva en el caso
contrario.

Demostración:

Definición 2.2: El baricentro
del sistema de puntos ponderados (2.1) es el único punto G
que cumple una de las dos condiciones equivalentes:

Propiedades del
baricentro:

• 1) No depende del orden de los
  puntos y pertenece al espacio afín E.

4)

Observación 2.2: El
isobaricentro G de los puntos A y B cumple la
condición:

Así, G es el punto medio del
segmento [AB].

Observación 12.2.3: Si ABC es
un triángulo, el isobaricentro G del sistema (A,1), (B,1)
y (C,1) es el baricentro del sistema (A",2), (C,1) , donde A" es
el punto medio de [A,B]. Así G pertenece a la mediana
[AA`] y

Observación 2.3: Si en el
triángulo ABC A", B" y C" son los puntos medios de los
lados [BC], [AC] y [AB], respectivamente entonces

Baricentros
notables en un triángulo

En el párrafo anterior se ha visto
que el centro de gravedad es el isobaricentro de los puntos A, B
y C. A continuación se van a interpretar como baricentros
de los puntos A, B , C ciertos puntos notables del
triángulo, como son, por ejemplo, el incentro , el
circuncentro, el ortocentro, etc.

Teorema 3.1:

Para la existencia de un único punto
I que verifique la condición (3.1) es preciso la
existencia de unos números reales t, s, u (únicos)
tal que

No es difícil comprobar que el
último sistema es equivalente a la siguiente:

La compatibilidad del sistema esta
asegurada puesto, que al sustituir los valores de s u y t en la
última ecuación, la igualdad se cumple.
Así,

Por tanto, el punto es el baricentro del sistema de puntos
ponderados (12.2.2). Luego, puesto que I es el punto de
concurrencia de los tres bisetrices, el punto I se encuentra a la
misma distancia de los tres lados, es decir, es el centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo ABC.

Observación 3.1: Utilizando
el teorema del seno resulta que el incentro del trián-gulo ABC es
también baricentro del siguiente sistema de puntos
ponderados:

Teorema 3.2:

Demostración: Puesto que los
vectores

El último de los sistemas
equivalentes es compatible determinado, puesto que la cuarta
ecuación del sistema se cumple al sustituir en esta
ecuación los valores obtenidos para u y t a partir de las
tres primeras ecuaciones. Sustituyendo los valores obtenidos para
s,t, u en las relaciones (3.8) resultan las fórmulas (3.4)
– (3.6).

Teorema 3.3:

Teorema 3.4:

La demostración de los teoremas 3.3
y 3.4 se hace de la misma manera que la del teorema
3.2.

Teorema 3.5:

Si el triángulo ABC no es
rectángulo entonces el baricentro H del sistema
ponderado

, es el ortocentro del
triángulo.

Demostración:

Luego, de manera análoga, se obtiene
que

Así, las rectas (AH), (BH) y (CH)
son las alturas del triángulo y su punto común H es
el ortocentro.

Observación 3.2: De la
demostración del teorema anterior resulta que los
vectores:

Observación 3.3: Si el
triángulo ABC no es rectángulo, El ortocentro del
triángulo es el baricento también de los siguientes
sistemas ponderados:

En efecto, utilizando los teoremas del seno
y del coseno, se puede ver que las ternas siguientes son iguales
o proporcionales:

Teorema 3.6:

Demostración: En efecto, (12.3.11)
se cumple si y solamente si existen unos números reales t,
s, u tales que:

Sustituyendo s en la última
ecuación y teniendo en cuenta que para los ángulos
de un triángulo se verifica siempre la
igualdad:

Así, el sistema (3.23) es
equivalente a:

Teorema 3.7:

Si ABC es un triángulo, el punto O,
centro de la circunferencia circunscrita, es el baricentro del
sistema de puntos ponderados siguiente:

Demostración: Según
(12.2.14)

Entonces,

Luego,

Por tanto,

y, según (3.25), el teorema queda
demostrado.

Observación 3.4:

En efecto, de lo expuesto en la
demostración del teorema anterior resulta que

, y luego, por permutación circular
se obtiene que:

Teorema 3.8 (de Ceva):

Si ABC es un triángulo,

Demostración: Primero hay que
comprobar las igualdades siguientes:

Luego,

Por tanto, si K es el baricento del sistema de puntos
ponderados (3.28)

Para obtener el sistema de puntos
ponderados (3.28"), hay que observar que, utilizando la
relación de Chasles,

Teorema 3.9 (de Georgonne): Si ABC
es un triángulo y C es la circunferencia inscrita en el
triángulo, sean D, E y F los puntos de contacto de esa
circunferencia con las rectas (BC), (CA) y (AB), respectivamente.
Entonces

(3.29)

, y las rectas

(3.30)

, son concurrentes en un punto R que es le
baricentro de los puntos ponderados:

, donde son los lados del triángulo y p es el
semiperimetro.

Sumando las dos igualdades del sistema, se
obtiene que:

Así, sustituyendo el valor obtenido
de ? en la segunda ecuación del sistema (3.32) se obtiene
que:

, donde se ha tenido en cuenta que los
tangentes trazados a una circunferencia desde un mismo punto
tienen la misma longitud. Por tanto,

, donde las dos últimas igualdades
se pueden obtener de la misma manera que la primera.

Puesto que según el teorema de Ceva, las rectas
(3.30) son concurrentes en un punto R, que es el baricentro del
sistema ponderado (3.31), puesto que las ternas siguientes son
proporcionales:

Lema 3.1:

Demostración: Utilizando
(3.4) y (3.20),

De la primera ecuación del sistema
resulta que:

Finalmente, (12.3.33) y (12.3.34) se
obtienen de (12.3.32) por permutación circular.

Teorema 3.10 (De
Georgonne):

Entonces, las rectas

, respectivamente, donde y p es el semiperimetro del
triángulo.

Demostración: Según el
lema 3.1,

El resto de las afirmaciones del teorema se
demuestra de manera análoga.

Teorema 3.11 (de Nagel):

Demostración: Según el
lema 3.1,

Por tanto, según el teorema de Ceva,
N es el baricentro de los sistemas de puntos ponderados
siguientes:

Teorema 3.12 (de Nagel):

Demostración: En efecto,
utilizando el lema 3.1,

La demostración del resto de las
afirmaciones del teorema es análoga.

Teorema 3.13 (de Euler):

Si en el triángulo ABC , H es el
ortocentro, A1, B1 y C1 son las proyecciones ortogonales de los
vértices A, B y C sobre las rectas (BC), (AC) y (AB),
respectivamente, A", B" y C" son los puntos medios de los
segmentos [BC], [AC] y [AB], respectivamente y A", B" y C" son
los puntos medios de los segmentos [AH], [BH] y [CH],
respectivamente, entonces los nueve puntos siguientes:

Demostración: G siendo el
centro de gravedad del triángulo ABC, consideremos las
homotécias

Luego, puesto que

A continuación, suponiendo
que

Teorema 3.14:

Donde S es el área del
triángulo y p es el semiperimetro.

Demostración: En efecto sea I
el cetro de la circunferencia inscrita e IA el centro de la
circunferencia exinscrita tangente al lado [BC].

El punto I se encuentra a la misma
distancia r de los lados del triángulo puesto que I es el
punto común de las bisectrices de los ángulos
interiores. Así,

Teorema 3.15: Si las bisectrices de
los ángulos interiores del triángulo ABC ,
correspondientes a los vértices A, B y C, cortan los lados
[BC], [CA] y [AB] en los puntos A", B" y C", respectivamente,
entonces

, donde p es el semiperìmetro del
triángulo.

Demostración:

Así

Las otras dos fórmulas se obtienen
por permutación circular.

Teorema 3.16:

Demostración:

Así

Definición 3.1: Si ABC es un
triángulo, P es un punto cualquiera del plano, y la recta
r que pasa por P corta las rectas (BC) y (AC) en D y E,
respectivamente, entonces r es antiparalela a la recta (AB)
si

Observación 3.8:

Teorema 3.17: Si ABC es un
triángulo y una recta r corta los lados [BC] y [AC] en los
puntos D y E, respectivamente, entonces r es antiparalela a la
recta (AB) si, y sola-mente si,

Al revés, si se cumple la igualdad
3.39, entonces, teniendo en cuenta que el ángulo C es
común en los triángulos ABC y DEC y que los lados
que forman este ángulo son proporcionales, resulta que los
triángulos son semejantes. Por tanto, los ángulos,
que se oponen a los lados correspondientes, son
iguales.

Teorema 3.18: Si ABC es un
triángulo y SC es la simetría ortogonal respecto a
la bisectriz del ángulo entonces la transformada de una antiparalela a
la recta (AB) por SC es una paralela a (AB), y al
revés.

Demostración: Se recuerda que
las simetrías ortogonales son aplicaciones biyectivas que
conservan las distancias y los ángulos. Sea r una
antiparalela a la recta (AB), que corta las rectas (BC) y (AC) en
los puntos D y E, respectivamente (figura 3.12)

Definición 3.2: Una simediana
en el triángulo ABC es el simétrico de una mediana
respecto a la bisectriz correspondiente al mismo
vértice.

Observación 3.9:

Puesto que la mediana (CC") divide el
segmento [P"Q"] en dos partes iguales y SC conserva las
distancias, resulta que la simediana SMC pasa por el punto medio
de [PQ].

Luego, teniendo en cuenta que la mediana
(CC") es el lugar geométrico de los puntos medios de los
segmentos [P"Q"], paralelos al lado [AB], la simediana SMC
será el lugar geométrico de los puntos medios de
los segmentos antiparalelos al lado [AB].

Teorema 3.19:

Demostración: Sea (DE) la
antiparalela a la recta (AB) que pasa por el punto P.
Entonces,

Al revés, si PU = PV, teniendo en
cuenta las igualdades (3.40) y (3.41) resulta que los
triángulos PUD y PVE son iguales y, por tanto, PD = PE.
Así, según la observación 3.9, el punto P
pertenece a la simediana SMC.

Teorema 3.20: Si ABC es un
triángulo y las rectas (TA) y (TB) son las tangentes a la
circunferencia circunscrita al triángulo en los puntos A y
B, respectivamente, entonces el punto T se encuentra sobre la
simediana SMC.

Demostración: