Desviación estandar

Introducción

La estadística es una disciplina que proporciona
principios y herramientas para emitir juicios sobre colectivos
basados en datos obtenidos para propósitos
específicos. Es decir, brinda el soporte para saber que
datos obtener, como, cuando, como obtenerlos, y una vez obtenidos
proporciona métodos y y procedimientos para organizarlos
con diferentes propósitos.

La correspondencia entre los
análisis aplicados y datos recabados permite construir
juicios concluyentes sobre el colectivo en estudio.

Los datos que precisamos deben ser generados, de alguna
forma, la cual siempre esta asociada a la definición de
variables, que constituyen los conceptos de referencia mas
importante en los inicios de una investigación.

Desviación
Estándar

La desviación estándar (o
desviación típica) es una medida de
dispersión para variables de razón (ratio o
cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la
estadística descriptiva. Es una medida (cuadrática)
de lo que se apartan los datos de su media, y por tanto, se mide
en las mismas unidades que la variable.

Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta
con conocer las medidas de tendencia central, sino que
necesitamos conocer también la desviación que
representan los datos en su distribución, con objeto de
tener una visión de los mismos más acorde con la
realidad a la hora de describirlos e interpretarlos para la toma
de decisiones.

Desviación estándar o
Típica

Esta medida nos permite determinar el promedio
aritmético de fluctuación de los datos respecto a
su punto central o media. La desviación estándar
nos da como resultado un valor numérico que representa el
promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para
calcular la desviación estándar basta con hallar la
raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su
ecuación sería:

EJEMPLO

1.-El gerente de una empresa de alimentos desea saber
que tanto varían los pesos de los empaques (en gramos), de
uno de sus productos; por lo que opta por seleccionar al azar
cinco unidades de ellos para pesarlos. Los productos tienen los
siguientes pesos (490, 500, 510, 515 y 520) gramos
respectivamente.

Por lo que su media es:

Con lo que concluiríamos que el peso promedio de
los empaques es de 507 gramos, con una tendencia a variar por
debajo o por encima de dicho peso en 12 gramos. Esta
información le permite al gerente determinar cuanto es el
promedio de perdidas causado por el exceso de peso en los
empaques y le da las bases para tomar los correctivos necesarios
en el proceso de empacado.

2.-Ejemplo: Desviación
estándar para datos no agrupados

Calcular la desviación estándar al
siguiente conjunto de datos muéstrales.

PASO 1: Calcular la media
aritmética.

PASO 2: Calcular la varianza

En este punto, la varianza es identificada por
S2.

PASO 3: Calcular la desviación
estándar a partir de la raíz cuadrada de la
varianza.

Los datos se alejan en promedio de la media
aritmética en 6,5516 puntos.

3.- Hallar la desviación media, la
varianza y la desviación típica de la series de
números siguientes:

2, 3, 6, 8, 11.

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

2, 3, 6, 8, 11.

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

4.-Un pediatra obtuvo la siguiente
tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta
en el momento de andar por primera vez:

Calcular la desviación
típica.

5.-.El resultado de lanzar dos dados 120
veces viene dado por la tabla:

Calcular la desviación
típica.

6.-Calcular la desviación
típica de una distribución estadística
que viene dada por la siguiente tabla:

7.-Calcular la desviación
típica de la distribución de la
tabla:

8.-Las alturas de los jugadores de
un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:

Calcular la desviación
típica

9.-Dada la distribución
estadística:

Calcular la desviación
típica.

Media

No se puede calcular la
media, porque no se puede hallar la marca de clase del
último intervalo.

Desviación típica

Si no hay media no es posible
hallar la desviación típica.

10.- Calcular la desviación típica
de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

Varianza

La varianza es la media aritmética del
cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una
distribución estadística.

Ejercicios de varianza

1.-Calcular la varianza de la
distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

2.-Calcular la varianza de la distribución
de la tabla:

3.-Hallar la desviación media, la varianza y
la desviación típica de la series de
números siguientes:

2, 3, 6, 8, 11.

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

2, 3, 6, 8, 11.

4.-Las alturas de los jugadores de un equipo de
baloncesto vienen dadas por la tabla:

Calcula la varianza.

5.-Determinar la media o valor esperado de
la distribución cuya función densidad de
probabilidad está por la regla de
correspondencia:

Solución:

6.-Calcular la varianza para la función
densidad

Solución:

7.- calcular la varianza de la altura de
varios perros

Las alturas (de los hombros) son: 600mm,
470mm, 170mm, 430mm y 300mm.

Así que la varianza es
21,704.

Escala

ESCALA NOMINAL

Las escalas de medición son nominal
ordinal intervalo y razón

ESCALA NOMINAL utiliza nombres para
establecer categorías, pueden usarse pero estos no son de
carácter simbólico

Ejemplo: *sano *bueno *enfermo

ESCALA ORDINAL

También define categorías
pero establece una relación entre > o <
que

Los números asignados si establecen
jerarquía.

No se puede establecer distancia entre los
puntos

ESCALA DE INTERVALOS

Reúne las características
anteriores

Registra de manera numérica la
distancia entre dos puntos.

El cero no indica ausencia de variable y es
arbitrario.

EJEMPLO *Temperatura *Fechas de calendario *hora *
GMT

ESCALA DE RAZON

Escala más fuerte

El cero indica usencia de la
variable

La diferencia entre dos variables es de
magnitud conocida

EJEMPLO

0 INGRESOS/ MES

Probabilidades

Es el conjunto de posibilidades de que un evento ocurra
o no en un momento y tiempo determinado. Dichos eventos pueden
ser medibles a través de una escala de 0 a 1, donde el
evento que no pueda ocurrir tiene una probabilidad de 0 y uno que
ocurra con certeza es de 1.

Ejemplo: 1. Cuando se lanza una moneda, se desea
saber cual es la probabilidad de

Que se sello o cara, es decir existe un 0,5 (50%) de que
sea cara o 0,5 (50%) de que

Sea sello.

Ejemplo: 2.

Un dado común (un cubo) tiene los pontajes del
uno al seis en cada cara {1, 2, 3, 4, 5, 6}la probabilidad de par
o de impar, pues eso es un suceso seguro, pues si cae cualquier
cara por arriba como 2, 4 o 6 (tres entre 6 = 3/6) es par y si
no, sera 1, 3 ó 5

(tres entre 6 = 3/6) y será impar: P(par o impar)
= probabilidad de par + probabilidad de impar P(par o impar) =
3/6 + 3/6 = 1/2 + 1/2 = 1

Ejemplo: 3

Según un estudio estadístico
la selección de fut de Guatemala tiene una probabilidad de
50% de ganar, 40% de empatar y 10% de perder si Guatemala juega
un partido.a) Por lo menos empate una partida:b) Pierda los 3
partidos:c) Gane solo un partido.

Aquí como ya se están dando las
posibilidades del equipo en cada partido, como al parecer jugaran
3 partidos solo hay que ver el planteamiento como lo que dice el
primero: Habla de las posibilidades que tiene de empatar en un
juego, pues la mismas respuestas dan en la pregunta ya que tiene
un 40% de posibilidad de empatar

Ejemplo: 4

El equipo de baloncesto Tema, un equipo de la liga menor
de la organización Verapacense, juega 70% de sus juegos de
noche, y 30% de día. El equipo gana el 50 por ciento de
sus juegos de noche y el 90% de sus juegos de día.
Según star Chanell, ganaron ayer. ¿Cuál es
la probabilidad de que el juego haya sido de noche?

Como siempre tenemos que calcular los casos
favorables frente a los posibles.Favorables: Que haya ocurrido de
noche y que hayan ganado.Ocurridos de noche: 0,7 (70%)Ganados de
noche el 50%, es decir multiplicar por 0,5./ 0,7*0,5 =
0,35Probabilidad 0,35 (35%)Posibles; para calcular los posibles
tenemos que ver el total de GANADOS pues es el dato que nos dan
"ganaron ayer".Ganados de noche: 0,35Ganados de día:
0,9*0,3 = 0,27 (27%)Total ganados: 0,35+0,27 = 0,62El
número de casos favorables para nuestro problema:
0,35Número de casos totales (ya sabemos que han ganado):
0,62Probabilidad: 0,35/0,62 = 0,56; es decir hay un 56 por ciento
de probabilidades de que sabiendo que ganaron ayer el juego
hubiera ocurrido de noche.

Ejemplo: 5

el profesor Marcos ha estado
enseñando estadística básica muchos
años. Ya sabe que el 80% de sus alumnos hace toda la
tarea. También sabe que el 90% de todos los que hacen la
tarea aprueban el curso. De los estudiantes que no hacen la
tarea, el 60% aprueba. Mike tomó estadística el
semestre pasado con la doctora Staller y obtuvo una
calificación aprobatoria.¿ Cuál es la
probabilidad de que el haya hecho todas las tareas?Casos
favorables: que haya aprobado y hecho todas las tareas.Que han
aprobado y hecho la tarea: 0,8*0,9 = 0,72El número total
es el de aprobados (puesto que sabemos que han aprobado) que
son:0,72 que han aprobado y hecho la tarea + 0,20*0,60 (0,12) que
son los que han aprobado pero no hecho la tarea)0,72 +0,12 =
0,84Casos favorables/Casos totales = 0,72/0,84 = 0,86; hay una
probabilidad del 86 por ciento de que habiendo aprobado sea uno
de los que han hecho todas las tareas.

Ejemplo: 6

El departamento de crédito de la
tienda departamental de Cemaco, reportó que el 30% de sus
ventas son pagadas en efectivo, 30 por ciento con cheque y el 40%
con tarjeta de crédito. 20% de las compras en efectivo,
90% de las compras con cheques y 60% de las compras con tarjeta
son por más de 50.

La señora Pérez acaba de
comprar un vestido que costó Q 120. ¿Cuál es
la probabilidad de que haya falta algo, lo resuelvo para las tres
posibilidades: efectivo, cheque y tarjeta.Sabemos que
compró >50, por lo tanto el número casos
favorables son los de efectivo que hayan comprado más de
50 + los de cheque que hayan comprado más de 50 + los de
tarjeta que hayan comprado> 50.No nos dan el tanto por ciento
de las compras en efectivo, pero como sabemos que hay un 30% de
cheques y una 40% de tarjeta, queda un 30% de
efectivo.Favorables.Efectivo > 50: 0,3*0,2 = 0,06Cheques
>50: 0,3*0,9=0,27Tarjeta >50: 0,4*0,6 = 0,24TOTAL:
0,57

Favorables: si se trata de
EFECTIVO0,06/0,57 = 0,105; 10,5%Si la pregunta termina hablando
de Cheques:0,27/0,57 = 0,47; 47%Si fueran tarjetas:0,24/0,57 =
0,42; 42%

Ejemplo: 7

¿Cuantos números de 5
dígitos se pueden formar con los números de 1 al 9,
si:A) los números deben ser impares. B) los dos primeros
dígitos son pares.C) se permiten repeticiones

A) los números deben ser
impares. (5/9) x 9C5 = (5/9) x 126 = 70 númerosC)
se permiten repeticiones. 9P5 = 15 120 números

Ejemplo: 8

Tras un estudio estadístico en una
ciudad se observa que el 70% de los motoristas son varones y, de
estos, el 60% llevan habitualmente casco. El porcentaje de
mujeres que conducen habitualmente con casco es del 40%. Se
pide:Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar
lleve casco.Se elige un motorista al azar y se observa que lleva
casco. ¿Cuál es la probabilidad de que sea
varón?

sea A=motoristas
varonesB=Llevan cascoa) p(B) = 54/100 = 0.54 (54 de
la suma del 70% de varones y 30% de mujeres que llevan casco;
100, del numero de personas en total)b) p(AnB) = (70/100)
x (42/70) = 0.42 La fórmula para la intersección es
P(AnB) = p(A) x p(B/A)El (70/100) sale de la probabilidad que sea
varón (hay 70 varones de 100 motoristas)el (60/70) sale de
que de 70 motoristas varones, el 60% (o sea 42) usan
casco.

Ejemplo: 9

Se ha determinado que 60% de los estudiantes de la
universidad De San Carlos fuman cigarrillos. Se toma una muestra
aleatoria de 800 estudiantes. Calcule la probabilidad de que la
proporción de la muestra de la gente que fuma cigarrillos
sea menor que 0.55.

Solución:

Este ejercicio se puede solucionar por dos
métodos. El primero puede ser con la aproximación
de la distribución normal a la binomial y el segundo
utilizando la fórmula de la distribución muestral
de proporciones.

Aproximación de la distribución normal a
la binomial:

Datos:

Distribución Muestral de Proporciones

Datos:

n=800 estudiantes

P=0.60

p= 0.55

p(p< 0.55) = ?

Observe que este valor es igual al obtenido en el
método de la aproximación de la distribución
normal a la binomial, por lo que si lo buscamos en la tabla de
"z" nos da la misma probabilidad de 0.0017. También se
debe de tomar en cuenta que el factor de corrección de 0.5
se esta dividiendo entre el tamaño de la muestra, ya que
estamos hablando de una proporción.

La interpretación en esta solución,
estaría enfocada a la proporción de la muestra, por
lo que diríamos que la probabilidad de que al extraer una
muestra de 800 estudiantes de esa universidad, la
proporción de estudiantes que fuman cigarrillos sea menor
al 55% es del 0.17%.

Ejemplo: 10

Un medicamento para malestar estomacal tiene la
advertencia de que algunos usuarios pueden presentar una
reacción adversa a él, más aún, se
piensa que alrededor del 3% de los usuarios tienen tal
reacción. Si una muestra aleatoria de 150 personas con
malestar estomacal usa el medicamento, encuentre la probabilidad
de que la proporción de la muestra de los usuarios que
realmente presentan una reacción adversa, exceda el
4%.

• Resolverlo mediante la aproximación de la
  normal a la binomial

• Resolverlo con la distribución muestral de
  proporciones

• Aproximación de la distribución normal
  a la binomial:

Datos:

n=150 personas

p=0.03

x= (0.04)(150) = 6 personas

p(x>6) = ?

Media = np= (150)(0.03)= 4.5

p(x>6) = 0.1685. Este valor significa que existe una
probabilidad del 17% de que al extraer una muestra de 150
personas, mas de 6 presentarán una reacción
adversa.

• Distribución Muestral de
  Proporciones

Datos:

n=150 personas

P=0.03

p= 0.04

p(p>0.04) = ?

Observe que este valor es igual al obtenido y la
interpretación es: existe una probabilidad del 17% de que
al tomar una muestra de 150 personas se tenga una
proporción mayor de 0.04 presentando una reacción
adversa.

Ejemplo:

Se sabe que la verdadera proporción de los
componentes defectuosos fabricadas por una firma es de 4%, y
encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de
tamaño 60 tenga:

• Menos del 3% de los componentes
  defectuosos.

• Más del 1% pero menos del 5% de partes
  defectuosas.

Solución:

• Datos:

n= 60 artículos

P=0.04

p= 0.03

p(p<0.03) = ?

La probabilidad de que en una muestra de 60
artículos exista una proporción menor de 0.03
artículos defectuosos es de 0.2327.

• Datos:

n= 60 artículos

P=0.04

p= 0.01 y 0.05

p(0.01

<0.05) = ?

Normalidad de los
datos

En estadística y probabilidad se
llama distribución normal, distribución de Gauss o
distribución gaussiana, a una de las distribuciones de
probabilidad de variable continua que con más frecuencia
aparece en fenómenos reales.

La gráfica de su función de
densidad tiene una forma acampanada y es simétrica
respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce
como campana de Gauss.

La importancia de esta distribución
radica en que permite modelar numerosos fenómenos
naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los
mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de
fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de
variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del
modelo normal puede justificarse asumiendo que cada
observación se obtiene como la suma de unas pocas causas
independientes.

De hecho, la estadística es un
modelo matemático que sólo permite describir un
fenómeno, sin explicación alguna. Para la
explicación causal es preciso el diseño
experimental, de ahí que al uso de la estadística
en psicología y sociología sea conocido como
método correlacional.

La distribución normal
también es importante por su relación con la
estimación por mínimos cuadrados, uno de los
métodos de estimación más simples y
antiguos.

Algunos ejemplos de variables asociadas a
fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal
son:

Caracteres morfológicos de
individuos como la estatura;

Caracteres fisiológicos como el
efecto de un fármaco;

Caracteres sociológicos como el
consumo de cierto producto por un mismo grupo de
individuos;

Caracteres psicológicos como el
cociente intelectual; nivel de ruido en telecomunicaciones;
errores cometidos al medir ciertas magnitudes; etc.

La distribución normal
también aparece en muchas áreas de la propia
estadística. Por ejemplo, la distribución muestral
de las medias muéstrales es aproximadamente normal, cuando
la distribución de la población de la cual se
extrae la muestra no es normal.[1] Además, la
distribución normal maximiza la entropía entre
todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual
la convierte en la elección natural de la
distribución subyacente a una lista de datos resumidos en
términos de media muestral y varianza. La
distribución normal es la más extendida en
estadística y muchos test estadísticos están
basados en una supuesta "normalidad".

En probabilidad, la distribución
normal aparece como el límite de varias distribuciones de
probabilidad continua y discreta.

EJEMPLO

Función de densidad

Su gráfica se muestra a la derecha y
con frecuencia se usan …tablas para el cálculo de los
valores de su distribución.

[editar] Función de
distribución

La función de distribución de
la distribución normal está definida como
sigue:

Esta función de distribución
puede expresarse en términos de una función
especial llamada función error de la siguiente
forma:

La inversa de la función de
distribución de la normal estándar (función
cuantil) puede expresarse en términos de la inversa de la
función de error:

y la inversa de la función de
distribución puede, por consiguiente, expresarse
como:

Esta función cuantil se llama a
veces la función probit. No hay una primitiva elemental
para la función probit. Esto no quiere decir meramente que
no se conoce, sino que se ha probado la inexistencia de tal
función. Existen varios métodos exactos para
aproximar la función cuantil mediante la
distribución normal (véase función
cuantil).

Los valores pueden aproximarse con mucha
precisión por distintos métodos, tales como
integración numérica, series de Taylor, series
asintóticas y fracciones continuas.

Límite inferior y superior estrictos para la
función de distribución

Bibliografía

1.Pértega Díaz S, Pita
Fernández S. Representación gráfica en el
análisis de datos. Cad Aten Primaria 2001; 8:
112-117.

2.Altman DA. Practical statistics for
medical research. 1th ed., repr. 1997. London: Chapman &
Hall; 1997.

3.Daniel WW. Bioestadística. Base
para el análisis de las ciencias de la salud. Mexico:
Limusa; 1995.

4.Elston RC, Johnson WD. Essentials of
Biostatistics. Philadelphia: F.A. Davis Company; 1987.

5.Altman DG, Bland JM. Statistics notes:
The normal distribution. BMJ 1995; 310: 298-298. [Texto
completo]

6.-http://www.spssfree.com/spss/analisis2.html

7.-http://www.mitecnologico.com/Main/DesviacionEstandar

Autor:

La Sirenita