Objetivo del
texto
El objetivo de este breve texto es ser un nexo entre las
muchas explicaciones elementales de la hipótesis de
Riemann y los Números Primos, con los complejos y
elaborados libros escritos por reconocidos matemáticos. Se
ha intentado mantener una línea simple entre el concepto
de número primo y los desarrollos realizados por Riemann
hasta su conocida Hipótesis, y la consecuencia de
ésta sobre la teoría de números. Para
explicaciones más exhaustivas o desarrollos
contemporáneos, se puede consultar la bibliografía
citada al final del presente texto y a partir de éstas
consultar otras que pueden proporcionar más claridad sobre
el tema.
Capítulo 1
Introducción a los Números
Primos
Desde hace 2500 años los números primos
atraen la atención de matemáticos y aficionados de
todo el mundo, se los califica de misteriosos e indomables ya que
no parece existir alguna regla que determine sus ubicaciones
entre los demás números naturales.
Se define un número primo como aquel
número natural que es solo divisible por si mismo y por la
unidad, por definición el número 1 no se considera
número primo.
El concepto de número primo ya se conocía
en la antigua Grecia en la escuela de Pitágoras (hace 2500
años) y un poco después en las obras de Euclides se
incluye la demostración de la existencia de una cantidad
infinita de estos números.
Un antiguo y efectivo método para hallar
números primos es la criba de Eratóstenes, que
consiste en una tabla de números naturales dispuestos en
columnas, primero se tachan todos los múltiplos de 2,
luego se tachan todos los múltiplos del siguiente
número no tachado anteriormente y así
sucesivamente, los números que quedan sin tachar son los
números primos.
Para saber si un número es primo basta dividirlo
por todos los números naturales menores a la raíz
cuadrada de dicho número y si no se encuentra
ningún divisor entonces el número es primo. Si se
encuentra un divisor o si el número es par y mayor que 2
se dice que es un número compuesto. Los números
primos son importantes porque son los átomos de las
matemáticas, ya que todos los demás números
se construyen a partir de ellos en forma de productos.
A medida que avanzamos en la recta numérica los
números primos son cada vez más escasos y la
distancia entre primos consecutivos se va haciendo cada vez
más grande, a estas distancias que son regiones libres de
primos se las denomina lagunas o desiertos.
Capítulo 2
La función
Zeta y los números primos
Fue Euler en su publicación de 1794
¨Introductio in analysin infinitorum¨, quien
demostró la relación entre la función zeta y
los números primos, que más tarde se
conocería como producto de Euler.
Se redefine la función zeta como la
función armónica generalizada.
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