Sistemas de numeración

Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.

En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase . Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.

Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.

El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes;. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los indroductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez simbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.

CAPITULO 1

Sistema de numeración

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos
y reglas de generación que permiten construir todos los números
válidos en el sistema.

Cualquier sistema consta fundamentalmente de una serie de elementos que lo conforman, una serie de reglas que permite establecer operaciones y relaciones entre tales elementos. Por ello, puede decirse que un sistema de numeración es el conjunto de elementos (símbolos o números), operaciones y relaciones que por intermedio de reglas propias permite establecer el papel de tales relaciones y operaciones.

Un sistema de numeración puede representarse como

Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado,
pero una regla común a todos es que para construir números válidos
en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar
los símbolos permitidos en ese sistema.

Los hombres supieron asociar tempranamente a una colección de objetos un grupo de signos o de cosas: trazos marcados en la madera, en un hueso o en la arena, montones de piedras, gestos con la mano o con la cabeza, etc. Así, los pastores sumerios llevaban la cuenta de los nacimientos, pérdidas, compras y ventas de sus ovejas representando cada animal del rebaño mediante un cono de arcilla (calculi) colocado en un a envoltura de arcilla. La economía, más compleja, de las primeras aglomeraciones urbanas de la Baja Mesopotamia eligió un sistema más elaborado: se imprimieron sobre la envoltura de arcilla signos que representaban los mismos signos que los calculi. Estos últimos, que ya no tenían razón de ser, fueron poco a poco suprimidos, y las envolturas reemplazadas por las primeras tablillas, numerales. Por tanto, las primeras numeraciones escritas aparecieron al mismo tiempo que las primeras formas de escritura, en Mesopotamia hacia 3300 a. J. C. y en Egipto hacia 3200 a. J. C.

CAPITULO 2

Clasificación de los sistemas de numeración

Los sistemas de numeración pueden clasificarse en tres grupos que son:

=> S. Numeración No-posicionales.

=> S. Numeración Semi-posicionales.

=> S. Numeración posicionales.

En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número.

Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional,
en cambio el babilónico es posicional. Las lenguas naturales poseen sistemas
de numeración posicionales basados en base 10 ó 20, a veces con
subsistemas de cinco elementos. Además, en algunas pocas lenguas los
numerales básicos a partir de cuatro tienen nombres basados en numerales
más pequeños.

2.1 Sistema de numeración No-posicionales.

Estos son los más primitivos se usaban por ejemplo los dedos de
la mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas
manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con nudos
para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre
conjuntos. Entre ellos están los sistemas el antiguo Egipto, el sistema
de numeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas
y otros pueblos.

En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo
utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número.

Entre ellos están los sistemas el antiguo Egipto, el sistema de numeración
romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos.

El sistema del antiguo Egipto.

Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema de escribir los Números en base diez utilizando los geroglíficos de la figura para representar los distintos ordenes de unidades.

El sistema Romano. El sistema de numeración romana
se desarrolló en la antigua Roma y se utilizó en todo su
imperio. Es un sistema de numeración no posicional, en el que
se usan algunas letras mayúsculas como símbolos para representar
los números.

Los romanos desconocían el cero, introducido posteriormente por
los árabes, así que no existe ningún símbolo en
el sistema de numeración romano que represente el valor cero.

2.2 Sistema de numeración Semi-posicionales.

Sistema de los números romanos no es estrictamente posicional. Por esto, es muy complejo diseñar algoritmos de uso general (por ejemplo, para sumar, restar, multiplicar o dividir). Como ejemplo, en el número romano XCIX (99 decimal) los numerales X (10 decimal) del inicio y del fin de la cifra equivalen siempre al mismo valor, sin importar su posición dentro de la cifra.

2.3 Sistema de numeración Posicionales.

En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.

El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior.

cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado nos queda que 99+1=100.

Como vemos, un sistema de numeración posicional se comporta como un cuentakilómetros: va sumando 1 a la columna de la derecha y, cuando la rueda de esa columna ha dado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda.

Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos conscientes de este comportamiento, y damos por hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que encierra esa expresión.

Entre esos sistemas posicionales se encuentran:

De base 2 Sistema Binario,
de base 8 sistema Octal y el de base 16 sistema hexadecimal.
También los antiguos mayas tuvieron un sistema de numeración posicional
el cual ya no se usa.

• El sistema decimal, es un sistema de numeración posicional
  en el que las cantidades se representan utilizando como base el número
  diez, por lo que se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1);
  dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8)
  y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números
  árabes, y es de origen indú.

Es el sistema de numeración usado habitualmente en todo el mundo
(excepto ciertas culturas) y en todas las áreas que requieren de un sistema
de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo
en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados
al método de trabajo como el binario o el hexadecimal.

El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así:

• El sistema binario, es un sistema de numeración en
  el que los números se representan utilizando solamente las cifras
  cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las
  computadoras, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por
  lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido
  1, apagado 0).

• El sistema Octal o sistema numérico en base 8 utiliza
  los dígitos 0 a 7.

Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 / 001 / 010, de tal forma que obtengamos una serie de números en binario de 3 dígitos cada uno (para fragmentar el número se comienza desde el primero por la derecha y se parte de 3 en 3), después obtenemos el número en decimal de cada uno de los números en binario obtenidos: 1=1, 001=1 y 010=2. De modo que el número decimal 74 en octal es 112.

• El sistema hexadecimal, a veces abreviado como hex,
  es el sistema de numeración posicional de base 16 —empleando
  por tanto 16 símbolos—. Su uso actual está muy vinculado
  a la informática y ciencias de la computación, pues los computadores
  suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y,
  debido a que un byte representa 28 valores posibles, y esto puede representarse

que, según el teorema general de la numeración posicional, equivale al número en base 16 10016, dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente —permiten representar la misma línea de enteros— a un byte.

Conclusión

Un sistema de numeración está definido por la elección arbitraria de una base de numeración (esta base es igual al número de símbolos, llamados cifras, que se utilizarán para representar los números) y por ciertas reglas de posición. La base a elegida debe ser un número natural superior a 1; una vez fijada la base, es necesario elegir a signos diferentes y a nombres diferentes para representar y nombrar los primeros números inferiores a a.

En el caso en que a=10 se trata del sistema de numeración decimal, sistema utilizado de manera general, y cuyo origen es casi con seguridad el número de dedos de las manos. Los símbolos utilizados son, en este caso, las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

En el caso en que a=2 se trata del sistema de numeración binaria, sistema utilizado por razones tecnológicas en las máquinas de cálculo, en particular en los ordenadores. Los símbolos utilizados son entonces las cifras 0 y 1. Las calculadoras utilizan también el sistema de base 8, o sistema octal

La representación escrita de los números naturales se fundamenta en el hecho de que todo número natural se puede expresar de forma única como combinación lineal de potencias de la base elegida, siendo los coeficientes de la combinación números naturales estrictamente inferiores a la base (estos números pueden ser nulos).

Bibliografía

• 1. CONSERVACION DE LA ENERGIA (FUENTE INTERNET). ACCESO. MAYO 12, 2010 http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Newtons_cradle_animation_book.gif

• 2. ENERGIA CONCEPTO. (FUENTE INTERNET). ACCESO. MAYO 08, 2010

http://jaimevp.tripod.com/Electricidad/energi01.HTM

• 3. SISTEMA HEXADECIMAL (FUENTE INTERNET). ACCESO. MAYO 22, 2010.

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_hexadecimal

• 4. SISTEMA HEXADECIMAL (FUENTE INTERNET). ACCESO. MAYO 22, 2010

http://es.wikipedia.org/wiki/Categor%C3%ADa:Sistemas_de_numeraci%C3%B3n_posicional

• 5. SISTEMAS NUMERICOS (FUENTE INTERNET). ACCESO. MAYO 27, 2010

http://celita.foroactivo.com/tu-primer-foro-f1/sistemas-de-numeracion-t2.htm

Anexos

Autor:

Henry Manuel Brito