Secciones cónicas y sus aplicaciones

Introducción

Las figuras cónicas, se puede obtener como
intersección de una superficie cónica con un
plano.Llamamos superficie cónica de revolución a la
superficie engendrada por una línea recta que gira
alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje,
mientras que denominamos simplemente cónica a la curva
obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano, las
diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas
curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y
parábola.

La importancia fundamental de las cónicas radica
en su constante aparición en situaciones
simples.

La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los
planetas que estos siguen orbitas elípticas, en uno de
cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no
hubiese podido descubrir su famosa ley de la Gravitación
Universal de no haber conocido ampliamente la geometría de
las elipses.

La orbita que sigue un objeto dentro de un campo
gravitacional constante es una parábola. Así, la
línea que describe cualquier móvil que es lanzado
con una cierta velocidad inicial, que no sea vert9ical, es una
parábola.

Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es
constante: depende de la distancia del punto al centro de la
Tierra. En realidad la curva que describe el móvil es una
elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la
Tierra.

OBJETIVOS

• Conocer y aplicar las propiedades a cada una de las
  cónicas, definidas como lugares
  geométricos.

• Reconocer las cónicas como variantes de un
  mismo modelo geométrico.

• Fomentar el interés por las
  matemáticas.

• Comprender los diversos usos de la teoría de
  las secciones conicas en la realidad.

Historia de
cónicas

– Menecmo (350 A.C.) descubrió estas curvas y fue
el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) el primero en
estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la
propiedad plana que las definía.

– Apolonio descubrió que las cónicas se
podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre
de: elipses, hipérbolas y parábolas.. Apolonio
demostró que las curvas cónicas tienen muchas
propiedades interesantes. Quizás las propiedades
más interesantes y útiles que descubrió
Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de
reflexión.

– Arquímedes (287-212 A.C.) logró
incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando
las propiedades de los espejos parabólicos.

En la actualidad esta propiedad se utiliza para los
radares, las antenas de televisión y espejos solares. La
propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del
foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de
los automóviles concentren el haz en la dirección
de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos
hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se
refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza
en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor
iluminada.

– René Descartes (1596-1650) desarrolló un
método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este
método es la llamada Geometría Analítica. En
la Geometría Analítica las curvas cónicas se
pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las
variables x e y. El resultado más sorprendente de la
Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de
segundo grado en dos variables representan secciones
cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar
a dudas las cónicas son las curvas más importantes
que la geometría ofrece a la física.

Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de
gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace
más importantes en la física es el hecho de que las
órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y
que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo
sometido a una fuerza gravitatoria es una curva
cónica.

– Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las
órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que
tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la
excentricidad es 0.017 y los demás planetas varían
desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón.. Más
tarde el célebre matemático y físico
inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la
órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo
gravitatorio es siempre una curva cónica.