Cónicas

Introducción

Las cónicas constituyen uno de los conjuntos de
curvas más importantes de la Geometría y que
más se utilizan en distintas ramas de la Ciencia y la
Ingeniería.

En este trabajo presentamos lugares geométricos
que son muy importantes en la Geometría analítica y
que se originan de considerar cortes en diferentes ángulos
de un cono doble circular recto, mediante un plano, dando lugar a
las figuras llamadas precisamente CÓNICAS, o
también SECCIONES CÓNICAS, las que según el
ángulo de corte reciben el nombre de parábola,
elipse, hipérbola, y algunos casos especiales de estas
curva.

Todas estas secciones cónicas tiene
una propiedad común que es satisfecha por cada uno de sus
puntos, y es que el cociente de la distancia de cada uno de estos
puntos hasta un punto fijo F, llamado foco, entre su
distancia a una recta fija D, llamada directriz, es
siempre constante, denotada por e y denominada
excentricidad.

CONICAS

Se denomina sección cónica a la curva
intersección de un cono con un plano que no pasas por su
vértice.

Historia

El matemático griego Menecmo descubrió
estas curvas y fue el matemático griego Apolonio de Perga
(antigua cuidad del Asia Menor) el primero en estudiar
detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad
plana que las definía.

Apolonio descubrió que las cónicas se
podían clasificar en tres tipos a los que dio por nombre:
elipse, hipérbola y parábola.

Apolonio demostró que las curvas cónicas
tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas
propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas.
Quizá las propiedades más interesantes y
útiles que descubrió Apolonio de las cónicas
son las llamadas propiedades de reflexión. Si se
construyen espejos con la forma de una curva cónica que
gura alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos
elípticos, parabólicos o hiperbólicos,
según la curva que gura.

Apolonio demostró que si se coloca una fuente de
luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz
reflejada en el espejo se concentra en el otro foco.  Si se
recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico
de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del
espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en
el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en
el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se
apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arquímedes
(287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante
la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos
parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza
para los radares, las antenas de televisión y espejos
solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo
que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que
los faros de los automóviles concentren el haz en la
dirección de la carretera o para estufas. En el caso de
los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los
focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se
utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie
mayor iluminada.

En el siglo XVI el filósofo y matemático
René Descartes (1596-1650) desarrolló un
método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este
método es la llamada Geometría Analítica. En
la Geometría Analítica las curvas cónicas se
pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las
variables x e y. El resultado más sorprendente de la
Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de
segundo grado en dos variables representan secciones
cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar
a dudas las cónicas son las curvas más importantes
que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo,
las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la
óptica. Pero sin duda lo que las hace más
importantes en la física es el hecho de que las
órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y
que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo
sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. El
astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630)
descubrió que las órbitas de los planetas alrededor
del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el
caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los demás
planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de
Plutón. Más tarde el célebre
matemático y físico inglés Isaac Newton
(1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo
alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva
cónica.