Secciones Cónicas y sus Aplicaciones

Introducción

Las secciones cónicas eran conocidas
aproximadamente durante el siglo VII a.C., sin embargo, los
estudios sistemáticos y racionales no comenzaron hasta
aproximadamente el primer siglo de la época Helenista,
donde El griego Menaechmos fue el primero en estudiar las
secciones cónicas. Llegó a ellas tratando de
resolver uno de los tres problemas griegos clásicos: la
construcción de un cubo del doble de volumen de otro cubo;
posteriormente, sobresalieron por su contribución e
importantes logros de los matemáticos Euclides,
Arquímedes y Apolonio de Perga. De estos tres personajes,
serán Euclides y Apolonio quienes sentaran los
conocimientos esenciales de la época, y de entonces en
adelante. El primero escribió un tratado de cuatro tomos
sobre las secciones cónicas, pero sería Apolonio
quien, con su obra CONICAS (recopilada en 8 tomos),
establecería los conocimientos y bases fundamentales de
las secciones cónicas las cuales prevalecerían
hasta nuestros días, ya que, luego de la
publicación de dicha obra suya, ningún otro
matemático de la historia trataría de mejorar lo
establecido por Apolonio. A estas secciones cónicas se les
han dado diferentes definiciones, las cuales provienen de ramas
de la matemática, tales como la geometría
analítica, la geometría proyectiva, etc.

SECCIONES CONICAS Y SUS
APLICACIONES

Origen de las
secciones cónicas

Las secciones cónicas eran conocidas
aproximadamente durante el siglo VII a.C. y el interés por
estas curvas aumentaba a medida que se empleaban en la
resolución de problemas. Pero un estudio
sistemático y racional no comenzó hasta
aproximadamente el primer siglo de la Época Helenista, la
influencia de Apolonio sobre las secciones cónicas tiene
una importancia mayor a la usual.

Durante aproximadamente 150 años, se refirieron a
ellas por la forma común a como habían sido
descubiertas: secciones de un cono agudo, secciones de un cono
rectángulo, y secciones de un cono obtuso.
Arquímedes continúo utilizando estos nombres,
aunque según parece también uso ya el nombre de
parábola como sinónimo para una sección de
un cono rectángulo. Sin embargo, fue Apolonio,
posiblemente, siguiendo los consejos de Arquímedes, quien
hablo o nombro por primera vez, las secciones cónicas como
"elipse" e "hipérbola". Los nombres dados no eran nuevos,
sino que adaptados de un uso anterior, posiblemente obtenidos de
los pitagóricos, como la solución de ecuaciones
cuadráticas por el método de aplicación de
áreas.

Ellipsis, que significa una deficiencia, se utilizaba
cuando un rectángulo dado debía aplicarse a un
segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado (u otra figura
dada). Mientras que la palabra Hyperbola (de "avanzar más
allá") se adopto para el caso en que el área
excedía el segmento dado y por último la palabra
Parabola (de "colocar al lado" o "comparar") indicaba que no
había ni deficiencia ni exceso. Apolonio aplico estas
palabras en un contexto nuevo utilizándolas con nombres
para las secciones cónicas.

Definición de
las secciones cónicas

Son aquéllas secciones que resultan al intersecar
una superficie cónica de revolución con un plano.
Según la posición del plano secante, en la
superficie pueden obtenerse una circunferencia, parábola,
elipse hipérbola. Cumpliéndose que el conjunto de
puntos que forma cada cónica tienen una misma propiedad,
lo cual es característica fundamental de lo que en
geometría llamamos lugar geométrico.

La seccion producida por un plano perpendicular al eje
es una circunferenia.

La sección producida por un plano paralelo a una
de las generatrices es una parábola.

La sección producida por un plano que interseca a
todas las generatrices de un mismo lado del vértice es una
elipse.

La seccion producida por un plano que interdeca a todas
las generatrices pero no en un mismo lado del vertice es una
hiperbola.

Lugar
geométrico y ecuaciones generales de las secciones
cónicas

Desde un punto de vista
analítico se puede definir cónica como la curva que
responde a una ecuación del tipo:

Los valores que toman A,
B, C, D, E y F,
determinan el tipo de la cónica y su posición en el
plano. Permitiendo que dichos coeficientes tomen valores
cualesquiera, además de los cuatro tipos de
cónicas, se obtienen cónicas degeneradas e incluso
cónicas imaginarias

Lugar Geométrico, es un conjunto de puntos
que cumplen una misma propiedad.

Circunferencia: