Distribuciones probabilidad discreta

Una distribución de probabilidades para una
variable aleatoria discreta es un listado mutuamente excluyente
de todos los resultados numéricos posibles para esa
variable aleatoria tal que una probabilidad específica de
ocurrencia se asocia con cada resultado. El valor esperado de una
variable aleatoria discreta es un promedio ponderado de todos los
posibles resultados, donde las ponderaciones son las
probabilidades asociadas con cada uno de los
resultados.

Donde: Xi = i-ésimo resultado de X, la variable
discreta de interés.

P(Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo
resultado de X

La varianza de una variable aleatoria discreta (s 2) se
define como el promedio ponderado de los cuadros de las
diferencias entre cada resultado posible y su media (los pesos
son las probabilidades de los resultados posibles).

Donde: Xi = i-ésimo resultado de X, la variable
discreta de interés.

P(Xi) = probabilidad de ocurrencia del i-ésimo
resultado de X

Variables
aleatorias

Una variable aleatoria X es una función que
asocia un número real a cada punto del espacio
muestral.

Dado un experimento aleatorio cualquiera cuyos sucesos
elementales posibles pueden identificarse fácilmente
mediante un número real, se denomina Variable
Aleatoria, X, al conjunto de estos
números.

También se le llama variable de azar o variable
estocástica, y significa cantidad que puede tomar varios
valores imprevistos.

Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio de
averiguar la marca de tabaco que preferirá un individuo
entre las posibles marcas: <<X>>, <<Y>>,
<<Z>>.

En este caso la asociación de un número
para cada suceso elemental posible del experimento no es
inmediata. En consecuencia, se establece una correspondencia
entre el conjunto de los sucesos elementales posibles y el
conjunto de los números reales, del modo
siguiente:

Al suceso elemental <<preferir la marca X>>
se le hace corresponder el número 1; al suceso elemental
<<preferir la marca Y>> se le hace corresponder el
número 2; al suceso elemental <<preferir la marca
Z>> se le hace corresponder el número 3.

La variable aleatoria X será: X =
(1,2,3).

El número asociado a cada suceso elemental puede
ser cualquiera dentro del conjunto de los números reales,
con la condición única de que a sucesos elementales
distintos le correspondan números también
distintos. Se comprueba fácilmente que la correspondencia
así definida entre el conjunto de los posibles sucesos
elementales de un experimento aleatorio y el conjunto de los
números reales es una aplicación
inyectiva.

2.1.-CLASIFICACIÓN DE LAS
VARIABLES ALEATORIAS.

a) VARIABLE ALEATORIA
CONTINUA.-

• Variable aleatoria continua, de recorrido infinito,
  donde el número al que se hace corresponder la
  aplicación pertenece al conjunto de los números
  reales R.

Si X es una Variable aleatoria continua, puede
tomar cualquier valor de un intervalo continuo o dentro de un
campo de variación dado. Las probabilidades de que ocurra
un valor dado x están dadas por una función de
densidad de probabilidad de que X quede entre a y b. El
área total bajo la curva es 1.

Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio
consistente en medir la altura que es capaz de saltar cada
miembro de un conjunto de personas. En este experimento, cada
miembro del conjunto observado da lugar a un número, por
lo que se toma como variable aleatoria el conjunto de las medidas
de las alturas que son capaces de saltar las distintas
personas.

En el supuesto que una persona hubiera saltado 105 cm y
otra 106 cm, no existiría ninguna razón para que
otra no hubiera saltado un valor intermedio cualquiera entre las
dos anteriores, como 105.5 cm. Se trata de una variable aleatoria
continua.

b) VARIABLE ALEATORIA DISCONTINUA O
DISCRETA.

• Variable aleatoria discreta, que
  produce como resultado un número finito de valores
  predeterminados, por lo que su recorrido es
  finito.

Se dice que una Variable aleatoria
Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de
valores posibles x1,x2,x3,…..xn con probabilidades
respectivas p1,p2,p3,…..pn., Es decir que sólo
puede tomar ciertos valores dentro de un campo de
variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de
este conjunto, entonces p1 + p2 +…+ pn=1.

En general, una variable aleatoria
discreta X representa los resultados de un espacio
muestral en forma tal que por P(X = x)se entenderá la
probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al
considerar los valores de una variable aleatoria es posible
desarrollar una función matemática que asigne una
probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria
X. Esta función recibe el nombre de función de
la probabilidad.