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La utilidad de la aritmética modular en los sistemas criptográficos y en los grupos lineales modulares especiales



Partes: 1, 2, 3

    1. Resumen

    2. Identificación

    3. Descripción del proyecto

    4. Fundamentación teórica

    5. Determinación del orden del grupo lineal modular
      especial de rango m y con entrada en Zn

    6. Utilidad de la aritmética modular en los cifrados y
      descifrados de criptosistemas

    7. Introducción histórica

    8. Conclusiones y futuras líneas de
      trabajo

    9. Referencias bibliográficas

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    Resumen

    En este trabajo se
    desarrollan los conceptos Generativos y Significativos de algunos
    Criptosistemas, con sus respectivos sistemas de
    Cifrados y Descifrados; así como las definiciones de
    algunos conceptos fundamentales empleados en la
    terminología criptográfica. Define además,
    algunos conceptos esenciales relacionados con la teoría
    de Grupo;
    seguidamente calcula el Orden del subgrupo SL (m, Zn), de
    manera similar como se calcula el orden a los subgrupos lineales
    clásicos del Grupo General Lineal sobre un cuerpo K
    cualquiera. Para ello se utilizan técnicas
    de reducción del problema al caso primo para
    posteriormente emplear la descomposición prima de
    n; para lo cual se aplican algunos resultados
    básicos sobre isomorfismos de grupos y de
    aritmética modular. Por último se analiza la
    aplicación de la teoría de enteros modulares en el
    estudio de algunos Sistemas Criptográficos tanto
    Simétrico como de Clave Pública, que usan en sus
    algoritmos
    ecuaciones de
    congruencia lineal y el álgebra
    matricial modular.

    Al final, en Futuras Líneas de Trabajo, se hacen
    algunas propuestas a la facultad de Ciencias
    Exactas y Naturales de la Universidad de
    Cartagena-Especialidad en Matemática
    Avanzada.

    Palabras y frases clave: Matrices sobre Grupos
    Especiales, Unidades, Grupos de Unidades, orden de un grupo,
    tamaño de una matriz, rango
    de una matriz.

    ABSTRACT In this paper we develop
    the generic concepts and meanings of some cryptosystems, with its
    system of encryption and decryption, as well as the definitions
    of some fundamental concepts used in cryptographic terminology.
    It also defines some key concepts related to group theory, then
    calculates the Order of the subgroup SL (m, Zn), similar as the
    order is estimated to subgroups of the classical linear general
    linear group over a field K either. This uses techniques to
    reduce the problem to the case for later use prime decomposition
    of n premium, for which they apply some basic results on
    isomorphisms of groups and modular arithmetic. The paper analyzes
    the application of the theory of modular integers in the study of
    some cryptographic systems both Symmetric as Public Key
    Infrastructure in their algorithms using linear congruential
    equations and modular matrix-algebra. Finally, in future lines of work,
    makes some proposals to the Faculty of Natural Sciences,
    University of Cartagena-Specialty in Advanced
    Mathematics.

    Key words and phrases: Matrices of
    Special Groups, Units, Groups of units, order of a group, size of
    a matrix, rank of a matrix.

    Introducción

    El presente Trabajo se inscribe dentro de la
    teoría de la Aritmética Modular y más
    particularmente en la necesidad de conocer su utilidad en los
    sistemas criptográficos que usan en sus algoritmos
    ecuaciones de congruencia lineal y el algebra matricial modular.
    Y además, en los grupos Lineales Modulares Especiales cuyo
    orden incluya la posibilidad de emplearse en futuros sistemas
    Criptográficos que usen algebra matricial
    modular.

    Este Trabajo se centra en los resultados
    encontrados en el artículo Órdenes de Algunos
    Grupos Lineales Modulare de ROY Quintero1 (1991), publicado en la
    revista
    Divulgaciones Matemáticas Vol. 14 No.2 (2006),
    (Pp.107-120) Trujillo-Venezuela. El
    cual se basa en el texto The
    Orders Linear Groups de Emil Artin (1955) volumen 8
    Edición
    3, (Pp. 355-365), princenton,
    EEUU.

    En el marco
    teórico se dan, solo con fines didácticos, las
    definiciones de Sistemas Criptográficos; y con
    propósitos metodológicos, las definiciones de
    Matrices
    Modulares, Matrices Regulares, Orden del Grupo General

    Lineal, y de Grupo Lineal Especial, del mismo modo como
    se definen cuando K es un cuerpo cualquiera.

    Monografias.comVale la
    pena aclarar, que en este trabajo se reserva el concepto de
    tamaño de una matriz para designar su número
    de filas y de columnas, en lugar del orden o
    dimensión
    con el que suelen algunos autores designar
    al número de filas y de columnas de las mismas.

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