Proyecto de investigación sobre la utilidad de la aritmética modular en los sistemas criptográficos y en los grupos lineales modulares especiales

2. Introducción
3. Identificación
4. Descripción
   del proyecto
5. Fundamentación
   teórica
6. Determinación
   del orden del grupo lineal modular especial de rango m y con
   entrada en Zn
7. Utilidad
   de la aritmética modular en los cifrados y descifrados
   de criptosistemas
8. Introducción
   histórica
9. Conclusiones
   y futuras líneas de trabajo
10. Referencias
    bibliográficas

Resumen

En este trabajo se
desarrollan los conceptos Generativos y Significativos de algunos
Criptosistemas, con sus respectivos sistemas de
Cifrados y Descifrados; así como las definiciones de
algunos conceptos fundamentales empleados en la
terminología criptográfica. Define además,
algunos conceptos esenciales relacionados con la teoría
de Grupo;
seguidamente calcula el Orden del subgrupo SL (m, Zn), de
manera similar como se calcula el orden a los subgrupos lineales
clásicos del Grupo General Lineal sobre un cuerpo K
cualquiera. Para ello se utilizan técnicas
de reducción del problema al caso primo para
posteriormente emplear la descomposición prima de
n; para lo cual se aplican algunos resultados
básicos sobre isomorfismos de grupos y de
aritmética modular. Por último se analiza la
aplicación de la teoría de enteros modulares en el
estudio de algunos Sistemas Criptográficos tanto
Simétrico como de Clave Pública, que usan en sus
algoritmos
ecuaciones de
congruencia lineal y el álgebra
matricial modular.

Al final, en Futuras Líneas de Trabajo, se hacen
algunas propuestas a la facultad de Ciencias
Exactas y Naturales de la Universidad de
Cartagena-Especialidad en Matemática
Avanzada.

Palabras y frases clave: Matrices sobre Grupos
Especiales, Unidades, Grupos de Unidades, orden de un grupo,
tamaño de una matriz, rango
de una matriz.

ABSTRACT In this paper we develop the
generic concepts and meanings of some cryptosystems, with its
system of encryption and decryption, as well as the definitions
of some fundamental concepts used in cryptographic terminology.
It also defines some key concepts related to group theory, then
calculates the Order of the subgroup SL (m, Zn), similar as the
order is estimated to subgroups of the classical linear general
linear group over a field K either. This uses techniques to
reduce the problem to the case for later use prime decomposition
of n premium, for which they apply some basic results on
isomorphisms of groups and modular arithmetic. The paper analyzes
the application of the theory of modular integers in the study of
some cryptographic systems both Symmetric as Public Key
Infrastructure in their algorithms using linear congruential
equations-and-modular-matrix-algebra. Finally, in future lines of work,
makes some proposals to the Faculty of Natural Sciences,
University of Cartagena-Specialty in Advanced Mathematics. Key
words and phrases: Matrices of Special Groups, Units, Groups
of units, order of a group, size of a matrix, rank of a
matrix.

Introducción

El presente Trabajo se inscribe dentro de la teoría de
la Aritmética Modular y más particularmente en la
necesidad de conocer su utilidad en los
sistemas criptográficos que usan en sus algoritmos
ecuaciones de congruencia lineal y el algebra matricial modular.
Y además, en los grupos Lineales Modulares Especiales cuyo
orden incluya la posibilidad de emplearse en futuros sistemas
Criptográficos que usen algebra matricial modular.

Este Trabajo se centra en los resultados encontrados en
el artículo Órdenes de Algunos Grupos Lineales
Modulare de ROY Quintero1 (1991), publicado en la revista
Divulgaciones Matemáticas Vol. 14 No.2 (2006),
(Pp.107-120) Trujillo-Venezuela. El
cual se basa en el texto The
Orders Linear Groups de Emil Artin (1955) volumen 8
Edición
3, (Pp. 355-365),

princenton, EEUU.

En el marco
teórico se dan, solo con fines didácticos, las
definiciones de Sistemas Criptográficos; y con
propósitos metodológicos, las definiciones de
Matrices
Modulares, Matrices Regulares, Orden del Grupo General

Lineal, y de Grupo Lineal Especial, del mismo modo como se
definen cuando K es un cuerpo cualquiera.

Vale la pena
aclarar, que en este trabajo se reserva el concepto de
tamaño de una matriz para designar su número
de filas y de columnas, en lugar del orden o
dimensión con el que suelen algunos autores designar
al número de filas y de columnas de las mismas.