Trigonometría (página 2)

• cotangente: (abreviado como
  cot o cta) es la razón
  recíproca de la tangente, o también su inverso
  multiplicativo:

Normalmente se emplean las relaciones
trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo
que haya un interés
especifico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los
términos cosecante, secante y cotangente no suelen
utilizarse.

Funciones trigonométricas
inversas

En trigonometría, cuando el ángulo se
expresa en radianes (dado que un radián es el arco de
circunferencia de longitud igual al radio), suele
denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por
eso las funciones
inversas se denominan con el prefijo arco, así
si:

y es igual al seno de
x, la función
inversa:

x es el arco cuyo seno vale
y, o también x es el arcoseno de
y.

si:

y es igual al coseno de
x, la función inversa:

x es el arco cuyo coseno vale
y, que se dice: x es el arcocoseno de
y.

si:

y es igual al tangente de
x, la función inversa:

x es el arco cuya tangente
vale y, ó x es igual al arcotangente de
y.

Valor de las funciones
trigonométricas

A continuación algunos valores de las
funciones que es conveniente recordar:

Para el calculo del valor de las
funciones trigonométricas se confeccionaron . La primera de estas tablas fue
desarrollada por Johann Müller Regiomontano en 1467, que nos
permiten, conocido un ángulo, calcular los valores de
sus funciones trigonométricas. En la actualidad dado el
desarrollo de
la informática, en prácticamente todos
los lenguajes de
programación existen librerías de funciones que
realizan estos cálculos, incorporadas incluso en
calculadoras electrónicas de bolsillo, por lo que el
empleo actual
de las tablas resulta obsoleto.

Sentido de las funciones
trigonométricas

Dados los ejes de coordenadas cartesianas
xy, de centro O, y una circunferencia
goniométrica (circunferencia de radio la unidad) con
centro en O; el punto de corte de la circunferencia con el
lado positivo de las x, lo señalamos como punto
E.

Notese que el punto A es el vertice
del triangulo, y O es el centro de coordenada del sistema de
referencia:

a todos los efectos.

La recta r, que pasa por O y
forma un ángulo sobre el eje de las x, corta a la
circunferencia en el punto B, la vertical que pasa por
B, corta al eje x en C, la vertical que pasa
por E corta a la recta r en el punto
D.

Por semejanza de triángulos:

Los puntos E y B están en la
circunferencia de centro O, por eso la distancia y son el radio de la circunferencia, en este
caso al ser una circunferencia de radio = 1, y dadas las
definiciones de las funciones trigonométricas:

tenemos:

La tangente es la
relación del seno entre el coseno, según la
definición ya expuesta.

Primer
cuadrante

Partiendo de esta
representación geométrica de las funciones
trigonométricas, podemos ver las variaciones de las
funciones a medida que aumenta el ángulo

Para tenemos que B,
D, y C coinciden en E, por
tanto:

Si aumentamos
progresivamente el valor de las distancias y aumentaran progresivamente, mientras que
disminuirá.

Percatarse que
y están limitados por
la circunferencia y por tanto su máximo valor absoluto
será 1, pero no está limitado, dado que D es
el punto de corte de la recta r que pasa por O, y
la vertical que pasa por E, en el momento en el que el
ángulo rad,
la recta r será la vertical que pasa por O.
Dos rectas verticales no se cortan, o lo que es lo mismo la
distancia será infinita.

La tangente toma
valor infinito cuando rad, el seno vale 1 y el coseno
0.

Segundo
cuadrante

Cuando el
ángulo supera el ángulo recto, el valor del
seno empieza a disminuir según el segmento el coseno aumenta
según el segmento pero en el sentido negativo de las x, el
valor del coseno toma sentido negativo, si bien su valor absoluto
aumenta cuando el ángulo sigue creciendo.

La tangente para
un ángulo inferior a rad se hace infinita en el sentido positivo de
las y, para el ángulo recto la recta vertical
r que pasa por O y la vertical que pasa por
E no se cortan, por lo tanto la tangente no toma
ningún valor real, cuando el ángulo supera los
rad y pasa al
segundo cuadrante la prolongación de r corta a la
vertical que pasa por E en el punto D real, en el
lado negativo de las y, la tangente por tanto toma valor
negativo en el sentido de las y, y su valor absoluto
disminuye a medida que el ángulo aumenta progresivamente hasta los rad.

Resumiendo: en el
segundo cuadrante el seno de disminuye progresivamente su valor desde 1, que
toma para rad,
hasta que valga 0, para rad, el coseno,, toma valor negativo y su valor
varia desde 0 para rad, hasta –1, para rad.

La tangente
conserva la relación:

incluyendo el
signo de estos valores.

Tercer
cuadrante

En el tercer
cuadrante, comprendido entre los valores del ángulo rad a
rad, se produce un
cambio de los valores del seno el coseno y la tangente, desde los
que toman para rad:

Cuando el
ángulo aumenta progresivamente, el seno aumenta en
valor absoluto en el sentido negativo de las y, el coseno
disminuye en valor absoluto en el lado negativo de las x,
y la tangente aumenta del mismo modo que lo hacia en el primer
cuadrante.

A medida que el
ángulo crece el punto C se acerca a O, y el
segmento el coseno,
se hace más pequeño en el lado negativo de las
x.

El punto B,
intersección de la circunferencia y la vertical que pasa
por C, se aleja del eje de las x, en el sentido
negativo de las y, el seno,

Y el punto
D, intersección de la prolongación de la
recta r y la vertical que pasa por E, se aleja del
eje las x en el sentido positivo de las y, con lo
que la tangente, aumenta igual que en el primer
cuadrante

Cuando el
ángulo alcance rad, el punto C coincide con O y
el coseno valdrá cero, el segmento será igual al radio de la
circunferencia, en el lado negativo de las y, y el seno
valdrá –1, la recta r del ángulo y la
vertical que pasa por E serán paralelas y la
tangente tomara valor infinito por el lado positivo de las
y.

El seno el coseno
y la tangente siguen conservando la misma relación, tanto
en valores como en signo, nótese que cuando el coseno vale
cero, la tangente se hace infinito.

Cuarto
cuadrante

En el cuarto
cuadrante, que comprende los valores del ángulo entre rad y rad, las variables
trigonométricas varían desde los valores que toman
para rad:

hasta los que
toman para rad
pasando al primer cuadrante, completando una
rotación:

como puede verse a
medida que el ángulo aumenta, aumenta el coseno en el lado positivo de las
x, el seno disminuye en el lado negativo de las y,
y la tangente también disminuye en el lado negativo de
las y.

Cuando vale ó al completar una rotación completa los
puntos B, C y D, coinciden en E,
haciendo que el seno y la tangente valga cero, y el coseno uno,
del mismo modo que al comenzarse el primer
cuadrante.

Función
tangente

En un
triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como
tan o tg) es la razón entre el cateto
opuesto y el cateto adyacente.

El valor de la
tangente para algunos ángulos importantes
es:

tan = AC / OA = BD
/ OB = sen / cos

tan (p/2) = tan
(90°) = +8

tan (-p/2) = tan
(-90°) = -8

tan (0) =
0

tan (p/4) = tan
(45°) = 1

tan (p/3) = tan
60°=

tan (p/6) = tan
30° =

Una identidad de
importancia con la tangente es:

Seno y
coseno, funciones complejas

El seno y coseno
se definen en matemática compleja, gracias a la
fórmula de Euler como:

Por lo tanto, la
tangente quedará definida como:

Siendo también puede
representarse como j).

Autor:

José
Miguel Figueroa de Cascajal