Introducción
Como trabajo final
para el régimen de promoción de la asignatura Matemática
I, desarrollaré a continuación esta monografía
referida a la resolución de sistemas por el
método de
Gauss- Jordan.
Luego de buscar y seleccionar la información referida al tema, y de realizar
un repaso general acerca del tema matrices y
ecuaciones
lineales, me encuentro en condiciones de realizar este trabajo
acorde a los requisitos que la cátedra propuso durante
todo el cursado de la materia.
Desarrollo
El Método de Gauss – Jordan o
también llamado eliminación de Gauss –
Jordan, es un método por el cual pueden resolverse
sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables,
encontrar matrices y matrices inversas, en este caso
desarrollaremos la primera aplicación
mencionada.
Para resolver sistemas de ecuaciones
lineales aplicando este método, se debe en primer lugar
anotar los coeficientes de las variables del sistema de
ecuaciones lineales en su notación matricial:
Entonces, anotando como matriz
(también llamada matriz aumentada):
Una vez hecho esto, a continuación
se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es
decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la
forma:
Esto se logra aplicando a las distintas
filas y columnas de las matrices simples operaciones de
suma, resta, multiplicación y división; teniendo en
cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos
de la fila o de la columna, sea el caso.
Obsérvese que en dicha matriz
identidad no aparecen los términos independientes, esto se
debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la
matriz identidad, dichos términos resultaran ser la
solución del sistema y verificaran la igualdad para
cada una de las variables, correspondiéndose de la
siguiente forma:
d1 = x
d2 = y
d3 = z
Ahora que están sentadas las bases,
podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales por medio de este método.
Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con
un ejemplo concreto:
Sea el sistema de
ecuaciones:
Procedemos al primer paso para
encontrar su solución, anotarlo en su forma
matricial:
Una vez hecho esto podemos empezar a
operar con las distintas filas y columnas de la matriz para
transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en
cuenta la forma de la misma:
Lo primero que debemos hacer es
transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en
el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer
esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso
de 2, es decir ½.
Luego debemos obtener los dos ceros de
la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto,
buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por
debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto
de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será
-5.
Una vez hecho esto, se procederá a
multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de
los elemento de la 1ª fila y estos se sumaran a los
números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de
la 2º fila, se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno
de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con
el numero que le corresponda en columna de la segunda fila. En el
caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por
cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su
resultado con el número que le corresponda en columna de
la tercera fila.
Nuestro siguiente paso es obtener el 1
de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de
igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila
por el inverso del numero que deseamos transformar en 1, en
este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13
Además si observamos la tercera
fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo
denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los
elementos de la 3º fila por 2 (el denominador); si bien este
no es un paso necesario para el desarrollo del
método, es útil para facilitar cálculos
posteriores.
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