Una solución a la cuadratura del círculo con regla y compás

La cuadratura del círculo es uno de los
tres problemas de
la Grecia
clásica, los otros dos son la duplicación del cubo
y la trisección del ángulo, que los matemáticos griegos intentaron resolver
utilizando únicamente la regla y el compás.
Éste intento continuó, por matemáticos de
todo el mundo hasta finales del siglo XIX.

Efectivamente, fue el matemático
alemán Ferdinand Lindemann, quien en 1.882 demostró
que el número PI era trascendente y por tanto el problema
irresoluble.

A pesar de esto, se ha seguido buscando métodos
geométricos de aproximación hasta nuestros
días, incluso por matemáticos prestigiosos. Se
busca una construcción sencilla, elegante y con el
menor número de pasos.

Dado un círculo , C1, de radio R1=1, un
cuadrado inscrito en él, de lado y otro círculo, C2 inscrito en dicho
cuadrado y de radio vamos a demostrar que existe un circulo, C3,
entre C1 y C2, cuya superficie es igual a la del cuadrado dado y
cuyo radio, R3, vamos a determinar.

a) Desde el centro, O, trazamos un ángulo
de 30º que determina los puntos de corte A, B, C, D, con los
círculos C2 y C1 respectivamente y teniendo al radio OQ
como bisectriz.

b) Trazamos los segmentos AD y BC, y donde se
cortan determina el punto P sobre el radio OQ. El Segmento OP, es
el radio R3 del circulo C3, buscado.

Determinación del segmento OP = R3