Deducción ecuaciones del desplazamiento, velocidad y aceleración del pistón en mecanismo manivela – biela – corredera

1. Resumen
2. Desarrollo

Resumen

Se deducen ecuaciones del
desplazamiento, velocidad y
aceleración de la corredera o pistón en un
mecanismo Manivela – Biela – Corredera. A partir de su diagrama, en
función
de la velocidad angular, desplazamiento angular y longitud de la
manivela, así como longitud de la biela. Dichas
deducciones no aparecen en los textos consultados.

Desarrollo

De la figura observamos que:

X = R + r – r cosβ – R
cosα……… (1)

En esta expresión tenemos que eliminar α,
para quedarnos con las variables
fácilmente medibles R, r, β, y
ω.

Para eliminar cosα procedemos
asν:

De la misma figura observamos que:

r senβ = R senα = h
………(2)

También, la ecuación de la ley de los
cosenos nos explica partiendo del siguiente triangulo
que:

a² = b² + c² – 2bc cosα…
… …(3)

Aplicando esta ecuación a la figura 1
tenemos:

h² = R² + R² cos²α – 2R (R
cosα) cosα … … …(4)

Pero de la ecuación (2) podemos
escribir

h² = r² sen²β

Por lo que sustituyendo este valor en el
primer miembro de la ecuación (4) tenemos:

r² sen²β =
R² + R² cos²α –
2R² cos²α

Sumando algebraicamente los términos R²
cos²α tenemos:

r² sen²β =
R² – R² cos²α

o sea R² cos²α
= R² – r² sen²β

De donde: R cosα = √
R² – r² sen²β

Sustituyendo este valor en (1) tenemos:

X = R + r – r cosβ – √
R² – r² sen²β

De donde:

X = r(1 – cosβ) + R -√
R² – r² sen²β

Multipliquemos y dividamos el radical por R

X = r (1 – cosβ) + R – R
√ R² – r²
sen²β

R

De donde podemos escribir

Saquemos como factor común a R² dentro del
radical

Saquemos del radical a R²

La expresión dentro del radical se resuelve por
la formula del binomio de Newton:

(a – b)n = an – nan –
1b + n (n – 1) an – 2 b2 –
n (n-1)(n-2) an – 3 b3 + … …
…

2! 3!

Aplicando esto a la expresión dentro del radical
nos queda:

Pero los términos de la serie se vuelven
insignificantes después del 2° término; Por lo
tanto tenemos como resultado:

Sustituyendo este valor en la ecuación (5)
tenemos:

Ecuación que nos da el desplazamiento del
pistón

El efecto de oblicuidad de la biela, dado por el termino
r2 sen²β,
hace que el

2R

Movimiento del pistón no sea
armónico.

Obtengamos ahora la ecuación que nos da la
velocidad del pistón

Por lo tanto

Pero: 2 senβ cosβ =
sen2β

Por lo tanto la ecuación nos queda:

Ecuación que nos da la velocidad del
pistón.

Obtengamos ahora la ecuación que nos da la
aceleración del pistón

 
Ecuación que nos da la aceleración del
pistón