La restauración de la razón (página 3)

IV. Las paradojas
en la implicación material

Para
entender esta paradoja hay que hacer distinción entre la
implicación material (de contenido) y la
implicación lógica (de inferencia).

Analicemos la frase (razonamiento) "si llueve, entonces
el techo se moja. Llovió. Por tanto, el techo se
mojó". En esta frase se encuentran instaladas dos
implicaciones; la material y la lógica. La frase (juicio)
"si llueve, entonces el techo se moja" contiene una
implicación, la llamada material. ¿Por qué
se nos dice que esta implicación (si A, entonces B) es
material? Porque es el sujeto hablante (por su acto cognoscente)
el que establece el nexo (relación de implicación)
entre "llueve" y "el techo se moja", atendiendo al contenido
material (real) de los hechos. Este juicio complejo (la
implicación en cuestión) es sintético. El
que llueve implica que el techo se moja porque las condiciones en
que se formula el juicio así lo estipulan. El sujeto
hablante constata el nexo entre las dos realidades de forma
sintética. Y a tenor de ello establece la
implicación. Aquí no hay un razonamiento, sino una
constatación de los hechos. Por ello se llama a este tipo
de implicación material (de contenido).

¿Cuándo la implicación es
lógica? Cuando se trata de un acto de inferencia
lógica. Cuando digo "por tanto, el techo se mojó"
estoy sacando una conclusión, conclusión que es un
acto de inferencia. Se trata de un uso de la forma. De la forma
de los juicios, que son premisas, se infiere (implica) la
conclusión. Por tanto, aquí el sujeto hablante no
constata de forma sintética el nexo, sino que lo constata
de forma analítica. Expresa la implicación usando
la forma y no el contenido. Aquí la veracidad del juicio,
que es conclusión del razonamiento, no consiste
directamente en su correspondencia con la realidad; sino en su
necesidad lógica (esta verdad es de coherencia y no de
constatación), aunque por ser verdadero debe
corresponderse también con la realidad enunciada en
él. Pero es un deber ser del juicio que le viene impuesto
por necesidad lógica.

El axioma fundamental del razonamiento consiste en que
si mis premisas son verdaderas y mi razonamiento correcto,
entonces mi conclusión es necesariamente verdadera. Se
trata, por tanto, en la conclusión de una verdad por
necesidad. Yo puedo llegar a una conclusión falsa
razonando correctamente. Si en mis premisas hay instalada una
falsa, es posible que razonando correctamente arribe a una
conclusión falsa. También en este caso mi
conclusión pudiera ser verdadera. Lo que no puede pasar es
que si mis premisas son verdaderas y mi razonamiento correcto, mi
conclusión sea falsa. También puedo partir de
premisas verdaderas y arribar a una conclusión falsa. En
tal caso aconteció que mi razonamiento fue incorrecto.
Claro, que partiendo de premisas verdaderas y razonando
incorrectamente puedo arribar a una conclusión
también verdadera. La veracidad de la conclusión no
es garantía de la corrección de mi razonamiento. Lo
que se acusa en este axioma es la necesidad de la veracidad de la
conclusión, si mis premisas son verdaderas y mi
razonamiento correcto Este acto en el cual la veracidad de un
juicio se impone por necesidad (por coherencia) es a lo que
llamamos implicación lógica (formal) o
inferencia.

Sucede que la implicación material y la formal
tienen una misma forma (A implica B). ¿Cuándo
–se nos dice- el juicio "A implica B" es verdadero o falso?
Si A es verdadero y B verdadero, entonces el juicio complejo es
también verdadero. Es decir, toma el valor veritativo "v".
Si verdadero implica falso, entonces la implicación es
falsa. No puede pasar que siendo el juicio A verdadero, sea el
juicio B falso. En tal caso pierde sentido la implicación,
y el juicio complejo "A implica B" resulta falso. En tal caso,
decimos, toma el valor veritativo "f". Si A es falso pero B
verdadero, entonces el juicio complejo es verdadero, toma el
valor veritativo "v". En tal caso el sentido de la
implicación se mantiene y por eso el juicio complejo "A
implica B" resulta verdadero. Si A es falso y B también
falso, entonces el juicio complejo es verdadero. Este supuesto no
contradice el sentido de la implicación. Por tanto, toma
el valor veritativo "v". Lo que no puede pasar, como vimos, es
que A sea verdadero y B falso. Eso contradice el sentido de la
implicación.

¿Cómo es que pueden darse entonces
situaciones paradójicas? Se presentan con relación
a algunos juicios que aparentemente contienen una
implicación material y contradicen el axioma fundamental
de la implicación. Por ejemplo, en el lenguaje habitual
decimos "para que la lámpara se encienda, es necesario
cerrar el interruptor". Evidentemente, para que sea verdadero que
la lámpara se encienda tiene que ser verdadero que
cerremos el interruptor. Según este juicio no puede ser
que sin cerrar el interruptor, la lámpara se encienda.
Denotemos a la frase "la lámpara se enciende" con B y a la
frase "conectar el interruptor" con A. El juicio anterior puede
tomar la forma "si conectamos el interruptor, entonces la
lámpara se enciende". Sustituyéndola por sus
variables, tenemos el juicio "si A, entonces B", que es la forma
"A implica B". Según el axioma de la implicación, A
puede ser falso (con B verdadero o falso) y el juicio "A implica
B" será verdadero. Pero como vimos, no puede ser que sin
conectar el interruptor (siendo falso A), la lámpara se
encienda (sea verdadero B). Por tanto, esta implicación
concreta (de la cual se pueden encontrar muchos ejemplos)
contradice el concepto general de la implicación.
¿Cómo formular la contradicción?
Veamos.

Según el axioma de la implicación, puede
formularse el juicio "el juicio "A implica B" es verdadero, si A
es falso". Pero según el caso anterior, tengo que concluir
que "el juicio "A implica B" no es verdadero, si A es falso".
Veamos los dos juicios anteriores.

Denotemos la frase "el juicio "A implica B"" por S y la
frase "verdadero, si A es falso" por P. Al sustituir por estas
variables, de los dos juicios anteriores tenemos los juicios "S
es P" y "S no es P". De aquí resulta, se nos dice, que en
una misma relación tengo "es P y no es P". ¡He
aquí la contradicción! Analicemos a fondo esta
supuesta contradicción.

¿Qué es lo que tenemos? Tenemos los
juicios "S es P" y "S no es P". Pero a estos juicios les falta el
cuantificador. Es evidente que el juicio "S es P" (que es el
axioma de la implicación) tiene carácter universal.
Por eso podemos escribir "todo S es P" (es decir, "todo juicio "A
implica B" es verdadero, si A es falso"). Al mismo tiempo, el
juicio "S no es P" (es decir, los casos contradictorios de la
implicación material) tiene carácter particular. Se
trata de que algunos juicios "A implica B" no son verdaderos, si
A es falso. Son los casos contradictorios. Por eso podemos
escribir "algunos S no son P". Ahora tenemos los juicios "todo S
es P" y "algunos S no son P". Pero, como vimos en el
capítulo II, el juicio "algunos S no son P" es equivalente
al juicio "no todo S es P". Por tanto, la contradicción
toma entonces la forma entre los juicios "todo S es P" y "no todo
S es P". Si ahora denotamos el juicio "todo S es P" con C,
tenemos "C y no-C", que es la forma de la contradicción.
¿Dónde está entonces el desliz
lógico? El lector puede intentar resolver la paradoja. Si
no lo logra, le proponemos que nos siga. Veamos.

Supongamos que alguien nos dice "es necesario que
arranque la locomotora, para que el tren eche a andar". Como
puede verse, aquí hay una especie de juicio complejo. El
giro "es necesario que…, para que…" une dos ideas:
"arranque la locomotora" y "el tren eche a andar".Designemos
estas frases con A y B respectivamente. De aquí resulta:
"es necesario que A, para que B". Evidentemente, el giro "es
necesario que…, para que…" representa una constante
lógica. ¿Qué sentido tiene? Supongamos que:
1) arranca la locomotora y el tren hecha a andar. En este caso mi
juicio complejo será verdadero, toma el valor veritativo
"v" (verdadero); 2) arranca la locomotora, pero el tren no hecha
a andar. En este caso mi juicio complejo sigue siendo verdadero.
Él (el juicio complejo) destaca que para que el tren eche
a andar es necesario que arranque la locomotora. Pero que no
basta con que arranque la locomotora. El que arranque la
locomotora es condición necesaria pero no suficiente para
que el tren eche a andar. Por ello, sigue siendo verdadero, y
toma el valor veritativo "v" (verdadero). 3) Si la locomotora no
arranca, pero el tren echa a andar, entonces mi juicio complejo
será falso. ¿Por qué es falso?, porque en
tal caso los hechos contradicen lo que afirmamos en el juicio.
¿Qué afirmamos en el juicio? Que es una necesidad
que arranque la locomotora para que el tren eche a andar. Si el
tren hecha a andar sin arrancar la locomotora, entonces el
arrancar la locomotora no era una necesidad. Por tanto, mi juicio
complejo es en este caso falso, y toma el valor veritativo "f"
(falso). 4) si la locomotora no arranca, pero el tren no hecha a
andar; entonces mi juicio complejo sigue siendo verdadero. En
este caso no se violenta la condición que establece mi
juicio. Por tanto, toma el valor veritativo "v" (verdadero).
Puede verse que estamos ante la relación de
condición necesaria pero no suficiente, y que esta
relación representa una constante lógica más
al estilo de la implicación. Cuando aquella constante
(necesario A, para B) era falsa, cuando A era falso y B
verdadero. Y ¿cuándo la implicación es
falsa?, cuando verdadero implica falso, cuando A es verdadero y B
es falso.

¿Cuál es la secuencia de los valores
veritativos del juicio "es necesario A, para que B"? La secuencia
es "v, v, f, v". ¿Y cuál es la secuencia del juicio
"A implica B"? La secuencia es "v, f, v, v". Como puede verse,
estamos ante dos constantes lógicas distintas. Analicemos
ahora el juicio "es necesario conectar el interruptor, para que
la lámpara se encienda".

Es evidente que, como en el caso del tren y la
locomotora, estamos ante la condición de necesario pero no
suficiente. Analicemos. Si es verdad que se conecta el
interruptor y es verdad que la lámpara se enciende,
entonces mi juicio complejo es verdadero (toma el valor
veritativo "v"). Si es verdad que conectamos el interruptor pero
es falso que la lámpara se encienda, entonces mi juicio
sigue siendo verdadero. El sólo establece la
condición de necesario pero no suficiente. La
lámpara puede estar fundida, o puede no existir fluido
eléctrico, etc. (toma el valor veritativo "v"). Si es
falso que conectemos el interruptor pero la lámpara se
enciende, entonces mi juicio complejo es falso. Esta
circunstancia contradice el enunciado de mi juicio (toma el valor
veritativo "f"). Y si es falso que conectemos el interruptor y es
falso que la lámpara se encienda, entonces mi juicio
complejo es verdadero (toma el valor veritativo "v"). Como puede
verde, aquí la secuencia es "v, v, f, v", como en el caso
del tren y la locomotora.

Supongamos que ahora transformamos el juicio "es
necesario conectar el interruptor, para que la lámpara se
encienda" en el juicio "si conectamos el interruptor, entonces la
lámpara se enciende". Evidentemente, le hemos dado la
forma de la implicación al juicio en cuestión, pero
los valores veritativos del juicio complejo seguirán
siendo los mismos. Se trata de la condición de necesario
pero no suficiente que toma la secuencia "v, v, f, v". No es de
extrañar que aquí choquemos con dos dificultades.
Los valores veritativos segundo y tercero estas en
contradicción con los valores veritativos de la
implicación lógica (que era "v, f, v, v"). El
juicio tiene la forma gramatical de la implicación (se la
dimos nosotros –el hablante- al darle ese giro
idiomático), pero los valores veritativos son de la
condición necesario pero no suficiente. Por eso surge la
contradicción. ¿Por qué?, porque hemos
tomado los valores veritativos de una constante lógica por
otra, simple y llanamente porque le dimos la forma gramatical de
la una a la otra. ¡He aquí la esencia del desliz
lógico que genera la situación
paradójica!

Por eso, cuando en textos o expresiones encontremos
giros que tengan la forma de la implicación, debemos ser
cuidadosos en su análisis lógico. Porque puede
pasar que se trate de relaciones (de condición necesaria
pero no suficiente) que se les hayan dado esa forma gramatical,
sin que se trate de hecho de una implicación
lógica. Pensamos que con esto queda resuelta la
paradoja.

V. Las
aporías del movimiento (primera parte): la
flecha

En el siglo V a. n. e, el
filósofo griego Zenón de Elea planteó una
serie de aporías del movimiento, de las cuales sólo
algunas han llegado hasta nosotros. Analicemos la primera, la
llamada "La flecha".

El se preguntaba: ¿cómo nos figuramos el
vuelo de una flecha? Su desplazamiento es la variación de
su posición en el espacio durante el transcurso del
tiempo. La flecha en vuelo, en los distintos instantes, se
encuentra en los distintos lugares. En un instante cualquiera,
ésta se encuentra en una posición única. Se
encuentra en ese lugar de la misma forma que si se encontrara
allí en reposo. Encontrarse en reposo es ocupar un lugar
definido. No es posible diferenciar la flecha en vuelo, cuando
está en un lugar, de otra que se encuentra allí en
reposo. Este razonamiento, por otra parte, puede repetirse para
cada instante que dure el vuelo de la flecha. Por ello, nuestra
flecha en vuelo se encuentra en cada instante en reposo.
¿Cómo pasaría de una posición a otra?
Probablemente, todo reside en el salto de una posición de
reposo a otra de reposo también. Pero el paso de una
posición a otra, también requiere de cierto tiempo.
Y este tiempo está formado a su vez por instantes, en cada
uno de los cuales la flecha otra vez ocupa un lugar determinado,
como si estuviera allí en reposo. Precisamente, es el paso
de una posición a otra lo que hasta ahora consideramos
movimiento de la flecha. Por tanto, suponer que la flecha pasa de
una posición a otra en un salto es como comenzar de nuevo
el razonamiento inicial. Por tanto, la flecha no se mueve,
está todo el tiempo en reposo.

Con estos razonamientos Zenón no se
proponía negar la existencia física del movimiento.
Comúnmente se piensa lo contrario. El sólo se
proponía mostrar su carácter contradictorio, su
imposibilidad racional, etc., para declararlo falso, externo,
aparente. En este sentido, es bueno señalar que con
Zenón comienza la lógica. En él todo lo que
no se ajusta a la ley lógica formal de la
no-contradicción hay que rechazarlo por inconsistente.
Evidentemente, aquí hay una situación
contradictoria. La experiencia física nos dice que la
flecha vuela desde el arco hasta la diana, pero el razonamiento
anterior nos dice que la flecha no vuela, que en cada instante se
encuentra en reposo y que, por tanto, no se mueve. Tenemos
así, en este caso, dos juicios contradictorios: "la flecha
vuela desde el arco hasta la diana (A)" y "no es verdad que la
flecha vuela desde el arco hasta la diana (No-A)". Es decir,
tenemos la forma "A y no-A", lo que es una contradicción
lógica.

Del análisis zenoniano se infiere la interrogante
siguiente: ¿cómo es que un cuerpo puede estar en un
lugar, estando en movimiento, de una forma distinta del estar,
estando en reposo? ¡He aquí el planteamiento
zenoniano del problema! Su solución implica comprender de
algún modo racional (sin menoscabo de la ley lógica
de la no-contradicción) la esencia del fenómeno del
movimiento. El lector puede intentar hacerlo.

De nada sirve declarar al movimiento como algo
contradictorio en sí mismo, intentando con ello justificar
su aparente imposibilidad racional. Si se nos dice que el
movimiento es una contradicción y que no podemos
entenderlo sin estrangular lo que está vivo, entonces no
hemos resuelto el planteamiento zenoniano sino que lo hemos
disuelto. Por otra parte, renunciar a la racionalidad del
movimiento significa limitar de forma tosca y vulgar las
capacidades de la razón humana. En Hegel encontramos tal
limitación.

Hegel en sus "Lecciones sobre la historia de la
filosofía" aborda el planteamiento zenoniano con la tesis
de que moverse quiere decir "encontrarse en un lugar y no
encontrarse en él, es decir encontrarse en dos lugares al
mismo tiempo" (4). Aquí hay dos tesis en vez de una.
Tomémoslas por separado:

– si se nos dice que el objeto que se mueve está
y no está en un mismo tiempo en un lugar definido
único, caemos de facto en una contradicción
lógica. En efecto, la expresión anterior toma la
forma "S es P" y "S no es P" ("el objeto que se mueve está
en un lugar definido único" y "el objeto que se mueve no
está en un lugar definido único"), lo que es
formalmente contradictorio.

– Si se nos dice, de otra parte, que el objeto que se
mueve está en dos lugares distintos al mismo tiempo no
formulamos una contradicción lógico formal. Pero
formulamos una tesis que es sólo una aparente
solución al planteamiento zenoniano. Si el cuerpo que se
mueve está en dos lugares distintos al mismo tiempo,
entonces sigue estando (lo que ahora en dos lugares). Eso es
precisamente lo que se pregunta Zenón: ¿cómo
es que puede estar, en qué consiste ese estar? Por tanto,
Hegel no resuelve la aporía. El sólo lo que hace es
reconocer el movimiento como algo formalmente
contradictorio.

Pero es posible abordar la aporía (antinomia,
paradoja) en cuestión de una forma distinta, sin
menoscabar las leyes lógicas, en particular la ley
lógica de la no-contradicción. En la pregunta
cómo es que un cuerpo puede estar, estando en movimiento,
de una forma distinta del estar, estando en reposo, se encuentra
instalada de antemano la imposibilidad de la respuesta. Los
conceptos "cuerpo" y "estar" son formas relativas al reposo, es
decir son conceptos que tienen instalado dentro, en su
significado, la idea del reposo.

Solo se puede estar (hallarse, encontrarse) en reposo.
Lo que se mueve ya no se halla, ya no está, ya no se
encuentra. Preguntarse dónde está lo que se mueve
es una interrogante sin sentido. Moverse es todo lo contrario de
estar (hallarse, encontrarse). Lo que se mueve ya no está,
y lo que está ya no se mueve.

También el concepto "cuerpo" encierra dentro la
idea del reposo. Es cuerpo lo que reposa. Ser cuerpo significa
ante todo tener una coordinación espacial con los
distintos sistemas de referencias. O lo que es lo mismo, tener
forma, volumen, tamaño, es decir ocupar un puesto, lugar,
etc. Y lo que se mueve ya no es cuerpo pues ya no está, ya
no se haya, ya no se encuentra.

En este sentido, el concepto de cuerpo es poco apropiado
para expresar la idea (comprender el fenómeno) del
movimiento. La flecha de Zenón es un cuerpo. Su estudio
del movimiento y el análisis hegeliano del mismo parten
del concepto físico de cuerpo, y éste como vimos es
sólo aplicable al reposo.

Tanto Zenón como Hegel no tomaron en cuenta este
hecho epistemológico. No lo tomaron en parte por razones
históricas. En primer lugar, hasta finales del siglo XIX
las ciencias físicas no conocían otra realidad que
"la materia" (o la sustancia). Por ello, todo análisis del
movimiento debía partir del concepto de cuerpo. Hoy
conocemos además de las formas corpóreas, las
formas del campo (por ejemplo, el campo electromagnético).
En segundo lugar, hasta inicios del siglo XX la física se
atenía al concepto de trayectoria, categoría
heredada de la mecánica clásica y que sólo
tuvo su desquiciamiento con la formulación por Heisenberg
del principio de incertidumbre.

¿Qué es eso que por cuanto se mueve no es
cuerpo? La física de nuestros días reconoce
además de las formas corpóreas, las formas del
campo. Por ello, resulta cómodo suponer que lo que nos es
dado en el movimiento del objeto es una forma de campo. El objeto
cuando se mueve, suponemos, es una forma de campo. Por eso, el
concepto de cuerpo no es aplicable aquí.

Efectivamente, a las manifestaciones del campo no se les
puede atribuir forma, volumen, tamaño, etc., como a los
cuerpos. No se les puede atribuir una coordinación
espacial como a los cuerpos. No se les puede tratar como a los
cuerpos. El cuerpo es una categoría del reposo. El objeto
que se mueve es una especie de campo. De las propiedades de este
campo podemos hablar apelando a sus características
ondulatorias.

Luís de-Broglie fue el primero en atribuirle
propiedades ondulatorias a los objetos en movimiento. Supuso que
éstas son análogas a las del fenómeno
luminoso. La experiencia corroboró la hipótesis de
de-Broglie. Hoy sabemos que la frecuencia relativa w de esta onda
es del orden de la energía cinética E dividida por
la constante de Plank h y que el número de onda relativa k
es del orden del impulso relativo p dividido por la constante de
Plank h. Es decir, E= w.h y p = k.h, con E definida por la
relación E = E*. (v/c) donde E* se refiere a la
energía cinética completa y c a la constante de la
velocidad de la luz en el vacío.

Lo que nosotros destacamos es que el objeto que se mueve
ya no es cuerpo. Incluso bajo el supuesto de que el objeto reposa
de forma relativa, se le puede atribuir una velocidad absoluta en
el espacio del orden de la velocidad de la luz c, de modo que
posee una energía cinética absoluta Eº del
orden del producto m.c2 ( con m por la masa de reposo)
y un impulso absoluto pº del orden del producto m.c, los
cuales se corresponden con una frecuencia wº del orden de la
razón de la energía de reposo Eº dividida la
constante de Plank h (wº= Eº/h) y un número de
onda kº del orden de la razón del impulso pº
dividido la constante de Plank h (kº= pº/h). Esta tesis
contradice, un tanto, creencias arraigadas en la física. A
los físicos les es cómodo suponer un dualismo
onda-corpúsculo, donde el corpúsculo se interpreta
como una especie de cuerpo. Pero este supuesto contradice la
experiencia física. El corpúsculo no puede ser
interpretado como un cuerpo. Un simple experimento mental nos
puede ayudar a ilustrar lo dicho. Veamos.

Dirijamos un haz estrecho y paralelo de electrones
monocromáticos hacia una barrera con dos ranuras.
Detrás de la barrera colocaremos alternativamente varias
placas fotográficas. Al principio cerraremos la segunda
ranura y expondremos una placa durante un tiempo T. El
ennegrecimiento de la placa tratada la caracterizaremos por la
curva A. Sometamos a exposición una segunda placa durante
el mismo tiempo T, cerrando la primera ranura. El carácter
del ennegrecimiento, en este caso, lo caracterizaremos por la
curva B. Finalmente, abriremos ambas ranuras y sometemos una
tercera placa, durante el mismo tiempo T. La forma del
ennegrecimiento en este caso la caracterizaremos por la curva C.
¿Qué nos dice la experiencia física al
respecto?

Muestra que el cuadro que se obtiene para la curva C de
ninguna forma es equivalente a la superposición de las dos
primeras, y resulta análogo al que se obtiene durante la
interferencia de dos ondas luminosas coherentes. El
carácter de la figura en cuestión evidencia que
ambas ranuras ejercen efecto sobre el movimiento de cada
electrón. El fenómeno de la difracción
muestra que ambas ranuras están vinculadas con el
movimiento del objeto.

¿Qué interpretación física
al respecto se puede hacer de este resultado negativo? Que lo que
pasa por las ranuras no son cuerpos, sino formas del campo. Si el
electrón se encontrara en su vuelo totalmente determinado
en el espacio y el tiempo, entonces se movería por una
trayectoria definida única, pasando por una u otra ranura
pero no ejerciendo influencia en ambas a la vez. Sin embargo,
vemos que pasa sufriendo la influencia de ambas ranuras a la vez.
Lo que está totalmente determinado en tiempo y espacio es
cuerpo. Por tanto, lo que pasa por las ranuras es algo que no
está totalmente determinado ni en tiempo ni en espacio,
razón por la cual ambas ranuras ejercen influencia en el
vuelo del electrón. Es decir, lo que pasa por las ranuras
no son cuerpos. Sin embargo, el objeto (electrón) pasa.
Por tanto, el electrón (objeto) es una forma de
campo.

Esto quiere decir que lo que los físicos llaman
corpúsculos no son otra cosa que formas del campo. Y que
el dualismo onda-corpúsculo se refiere no a los cuerpos
sino a formas del campo. La imagen del electrón como
cuerpo es falsa. El es un corpúsculo, sí, pero un
corpúsculo que es una forma del campo (llámese
paquete de ondas o como se quiera). Lo que es válido para
el electrón, es válido para la flecha de
Zenón. La flecha de Zenón que vuela hacia la diana
ya no es cuerpo. Ya es una forma de campo, que dispone de una
frecuencia y un número de onda; y que no dispone de una
trayectoria definida única, como establece el principio de
incertidumbre.

Zenón parte del supuesto de que la flecha en
vuelo para cada instante tiene una posición definida
única, y que se encuentra ahí como si se encontrara
en reposo. Esta tesis es falsa. El principio relativista de
incertidumbre establece que: la incertidumbre de las coordenadas
espaciales Dx por la del impulso Dp es del orden de la constante
de Plank h (Dx.Dp=h); la incertidumbre de la coordenada temporal
Dt por la de la energía DE es del orden de la constante de
Plank h (Dt.DE=h); la incertidumbre de las coordenadas espaciales
Dx por la de la energía DE es del orden del producto de la
constante de Plank h por la velocidad de la luz c (Dx.DE= c.h); y
la incertidumbre de la coordenada temporal Dt por la del impulso
Dp es del orden de la razón de la constante de Plank h
dividido la velocidad de la luz c (Dt.Dp= h/c), con E=E*.(v/c) y
E* como energía cinética completa. De modo que no
puede estar determinado en tiempo y espacio y tener una
energía cinética y un impulso también
totalmente determinado. Por tanto, el planteamiento del problema
por parte de Zenón es errático. En su pregunta
está instalada de antemano la imposibilidad de la
respuesta. ¡He aquí el desliz lógico que nos
crea la situación paradójica!

Hegel, como Zenón, parte del concepto
físico de cuerpo para describir y tratar de entender el
movimiento. Este camino los lleva a una contradicción. De
la aparente imposibilidad racional para entender el movimiento
saca, en particular Hegel, la conclusión de que el
movimiento es una contradicción albergada en las cosas.
Entonces declara a la realidad ontológica como
contradictoria (al menos con relación al movimiento
supuestamente lo es, nos dice Hegel). Al declarar la realidad
ontológica como contradictoria, se hace necesario
reconocer al pensamiento como contradictorio (al menos en la
expresión formal de la contradicción
ontológica). Por eso Hegel asume fríamente (sin
irritarse) y hasta con entusiasmo, la contradicción formal
consistente en que el objeto que se mueve está y no
está al mismo tiempo en el mismo lugar. Pero si esta
contradicción (en este caso formal para el plano del
pensamiento y ontológica en el plano de la realidad) es
admisible, entonces es posible admitir otras contradicciones
formales más. Ya el pensamiento no puede vetar la
contradicción lógico-formal .De aquí que va
por ahí viendo y formulando contradicciones, las cuales en
muchos de los casos son inventadas. Pero el pensamiento, decimos
nosotros, no puede ser contradictorio formalmente. Por tanto, de
lo que se trata es de entender al movimiento de una forma que no
sea contradictoria, al menos desde el punto de vista
lógico-formal. De lo que se trata aquí es de vetar
las contradicciones lógicas y no cualquier tipo de
contradicción.

VI. Las
aporías del movimiento (segunda parte): Aquiles, el de los
pies ligeros

Zenón se
caracterizó por lo ingenioso de sus aporías. Como
todo antiguo le gustaba revestir sus aporías con ropaje de
representaciones sensibles. Por eso les pone nombres triviales.
Analicemos ahora la llamada "Aquiles, el de los pies
ligeros".

Supongamos que tenemos a Aquiles, el de los pies
ligeros, en un estadio. El pretende correr la distancia del
estadio (octava parte de una milla). Pero coloquemos una tortuga
en la mitad del trayecto. Ambos correrán hacia la meta,
que se encuentra en el otro extremo del estadio. Digamos que en
un momento del tiempo comienza la carrera. ¿Qué nos
dice Zenón? Éste razona: cuando Aquiles llega al
punto donde estaba la tortuga, ésta se habrá
desplazado un determinado intervalo (por muy pequeño que
sea). Por tanto, la tortuga aventaja a Aquiles en este momento en
la magnitud de este intervalo. En este segundo momento del
tiempo, continua la carrera. Cuando Aquiles llega hasta donde
estaba la tortuga en este segundo momento del tiempo, ya
ésta se habrá desplazado de nuevo un pequeño
intervalo. Por tanto, una vez más la tortuga (por muy
lento que ésta se mueva) aventaja a Aquiles en un
pequeño intervalo. En este tercer momento del tiempo
continua la carrera. Pero antes de que Aquiles alcance el punto
donde estaba la tortuga en este tercer momento del tiempo, la
tortuga se habrá desplazado un intervalo más y
así sucesivamente. Por tanto, por muy rápido que
corra Aquiles y por muy lento que corra la tortuga, Aquiles nunca
alcanzará la tortuga. Entre Aquiles y la tortuga siempre
habrá un pequeño espacio (por muy pequeño
que sea). La tortuga siempre aventajará a
Aquiles.

Claro que Zenón no intentaba negar que Aquiles
alcanzara la tortuga. El sólo trataba de mostrar la
aparente imposibilidad racional que surge al tratar de entender
el movimiento. Cuentan que Diógenes de Sinope, el
cínico, refutaba estos argumentos caminando en
círculos. Pero un argumento racional no se refuta
demostrando lo contrario, sino delatando la falla lógica,
destruyendo ideológicamente los argumentos. El hecho de
que Diógenes sólo atine a caminar en
círculos y no pueda hacer nada más, muestra
cuán fuerte son los argumentos de Zenón.

Es evidente ante la experiencia física que
Aquiles supera (alcanza) la tortuga. Pero los razonamientos nos
conducen a la tesis contraria: que Aquiles no alcanza (supera) la
tortuga. Tenemos así dos juicios contradictorios: "Aquiles
alcanza la tortuga (S es P)" y "Aquiles no alcanza la tortuga (S
no es P)". Es decir, tenemos "A y no-A", lo que es una
contradicción lógica.

Las aporías zenonianas se caracterizan por la
existencia de dos juicios contradictorios, uno de los cuales
emana de la experiencia física directa y el otro de los
dictados de la razón. Zenón suponía que
cuando esto pasaba había que rechazar la experiencia
física y ajustarse a los dictados de la razón. Por
eso declara al movimiento como falso, externo, aparente, etc. Hoy
sabemos que hay que hacer todo lo contrario, que cuando la
experiencia física contradice los dictados de la
razón es porque algo anda mal con la razón. De
ahí que estas aporías se viren contra la
razón, y que sean, como las paradojas, retos a la
razón humana, desquiciamientos del fundamento racional de
la cultura humana. Hay que tratar de encontrar la falla
lógica que nos conduce a estos resultados
paradójicos. El lector puede intentar resolver la
aporía, si no lo logra le proponemos que nos
siga.

En otra de sus aporías (en Dicotomía),
Zenón demuestra que un corredor no puede salir para la
meta, es decir no puede ponerse en movimiento. El razonaba
así: supongamos que Aquiles quiere correr el estadio. Pero
antes de llegar a la meta, él tiene que recorrer la mitad
del trayecto. Pero antes de llegar a la mitad, tiene que recorrer
la mitad de esta primera mitad. Es decir, recorrer la primera
cuarta parte. Pero antes de recorrer este primer trecho, tiene
que recorrer la primera octava parte y así sucesivamente.
Por tanto, antes de recorrer una parte por pequeña que
esta sea, siempre le quedará una parte por recorrer. De
donde se infiere que nunca podrá salir. Por tanto, Aquiles
no puede salir corriendo. Pero la experiencia física nos
muestra que Aquiles sí puede salir corriendo. Por tanto,
tenemos aquí dos juicios contradictorios: "Aquiles no sale
corriendo" y "Aquiles sale corriendo". Es decir, tenemos "S es P"
y "S no es P". De aquí, "A y no-A".

También se puede demostrar, de forma
análoga, que Aquiles no alcanza la meta, no llega a la
meta. El razonamiento puede ser: antes de llegar a la meta,
Aquiles tiene que recorrer la primera mitad. En este momento, le
resta la mitad. Pero antes de recorrer esta segunda mitad, tiene
que recorrer la mitad de esta segunda mitad. Quiere decir que le
resta un cuarto del trayecto. Pero antes de recorrer este
último cuarto, tiene que recorrer su mitad y así
sucesivamente. Por tanto, Aquiles nunca llegará a la meta.
Siempre le quedará un trecho, por muy pequeño que
sea, por recorrer. Pero la experiencia física muestra que
el corredor llega a la meta. De aquí que tengamos dos
juicios contradictorios: "Aquiles llega a la meta (S es P)" y
"Aquiles no llega a la meta (S no es P)". Es decir, tenemos "A y
no-A".

Tanto la primera aporía (Aquiles y la tortuga)
como estas dos últimas (de que Aquiles no sale para la
meta y de que Aquiles no llega a la meta) están
construidas sobre unas mismas tesis: la idea de la continuidad
del tiempo y el espacio y la idea de la divisibilidad del tiempo
y el espacio.

Estas ideas están tan arraigadas en la
física y en las matemáticas que contradecirlas
puede parecer un sacrilegio. La idea del punto en el espacio, del
instante del tiempo, del infinitesimal como aquella magnitud todo
lo pequeña que se quiera (que tiende a cero pero que no
llega a serlo), etc., son conceptos que las matemáticas y
la física usan todos los días y en todos sus
cálculos. Pero ¿son el tiempo y el espacio
físicos divisibles hasta el infinitesimal? ¿La
realidad física del tiempo y del espacio se ajusta a los
conceptos del punto, del instante y del infinitesimal?
¿Son el tiempo y el espacio realidades físicas
continuas, de modo que puedan ser divididas en porciones
arbitrariamente pequeñas?

La tesis de que Aquiles no sale para la meta o no llega
a la meta o no alcanza la tortuga se reduce a la idea de que
entre Aquiles y la meta o entre Aquiles y la tortuga siempre
queda un infinitesimal de espacio, que deviene en trayecto por
recorrer en un infinitesimal de tiempo. Si el espacio y el tiempo
son continuos y divisibles; un intervalo X, evidentemente, lo
podemos dividir a la mitad, la mitad en la mitad y así
sucesivamente, hasta operar con infinitesimales, con lo que la
serie de porciones de tiempo y de espacio se eleva al infinito,
se nos presentan como infinitud de porciones infinitesimales.
¿Cómo pasar del infinitesimal al punto? De
ningún modo. La razón se opone a ese
tránsito. El matemático pasa al límite como
operación matemática. Pero el paso al límite
es una abstracción, y la realidad física no conoce
de abstracciones. Evidentemente, por más chiquito que sea
un infinitesimal sigue siendo eso; un infinitesimal. Y no hay
forma de pasar del infinitesimal al punto. ¡He aquí
la idea de Zenón!

Pero hay otra forma de abordar la comprensión del
tiempo y el espacio. El punto, el instante, el infinitesimal, el
límite, etc., son abstracciones que pueden ser muy
apropiadas para determinada aproximación a la realidad,
pero que para otras interpretaciones de la realidad pueden ser
totalmente desajustadas. Podemos suponer no que el espacio y el
tiempo son continuos y infinitamente divisibles, sino que tienen
una estructura cuántica, que están formados por
cuantos de espacio y de tiempo. Veamos.

En la naturaleza existen tres constantes universales: 1)
la constante de la velocidad de la luz en el vacío c, 2)
la constante del cuanto de acción de Plank h, y 3) la
constante de gravitación universal de Newton g. Si estas
tres constantes se combinan adecuadamente, resulta que se
obtienen varias magnitudes físicas de interés
particular. En especial se obtiene una magnitud para el espacio y
otra magnitud para el tiempo. La primera, dada en metros, es del
orden de 10 elevado a menos 35; y la segunda, dada en segundos,
es del orden de 10 elevado a menos 45. ¿Qué sentido
físico se le pueden atribuir a estas magnitudes? Se le
puede atribuir el significado que son los cuantos de tiempo y
espacio de que hablamos. Son magnitudes muy pequeñas, pero
no infinitamente pequeñas. Por tanto, no se pueden tratar
como infinitesimales.

La idea de cuantos de tiempo y espacio no resulta tan
descabellada. Estas magnitudes están ahí al alcance
de la mano. No son medibles directamente, pero sí
indirectamente. Las constantes de que emanan (la de la luz, la de
Plank y la de Newton) son medibles experimentalmente. Si ahora de
ellas deducimos los cuantos de tiempo y espacio, entonces estas
cuantos son indirectamente deducidos de un hecho empírico.
Por tanto, no se trata de una especulación
filosófica, sino de un resultado de las ciencias
físicas. Y este resultado nos puede ayudar a entender
cómo Aquiles sale para la meta, cómo alcanza la
tortuga y cómo llega a la meta.

En el primer momento del tiempo no tratamos con un
instante, sino con un cuanto. En este cuanto de tiempo, Aquiles
avanza no un infinitesimal de espacio, sino el primer cuanto de
espacio. Por tanto, la idea aquí de un infinitesimal de
espacio y uno de tiempo es falsa. Aquiles sale del lugar de
arrancada consumiendo cuantos de tiempo y espacio. Cuando
está a la altura de la tortuga, cuando va a alcanzarla lo
que lo separa de ella no es un infinitesimal de espacio; sino un
cuanto. Por tanto, la idea aquí de un infinitesimal es
falsa. Aquiles alcanza la tortuga por cuantos. De igual forma se
puede razonar su llegada a la meta. En el último
intervalo, lo que lo separa de la meta no es un infinitesimal,
sino un cuanto de espacio en el último cuanto de tiempo.
Por tanto, Aquiles alcanza la meta de forma cuántica, y
todo su movimiento tiene un carácter
cuántico.

La idea de un espacio continuo e infinitamente divisible
es falsa. No puede explicar el movimiento. Hay que sustituirla
por una imagen cuántica. Aquí los cuantos no son
divisibles. Ellos están empalmados los unos con los otros
formando el tejido del espacio-tiempo. Pero son tan
pequeños que para algunos análisis se les puede
tomar como continuos y como infinitamente divisibles. Esa es la
razón por la cual su naturaleza cuántica ha pasado
inadvertida. Pero si queremos entender el movimiento, hay que
modificar la imagen de partida que tenemos del espacio y del
tiempo. Zenón parte de la idea de la continuidad y
divisibilidad del espacio y el tiempo para arribar a una
contradicción, entonces declarar al movimiento como falso,
externo. Pero el movimiento es real. Lo que está mal, por
tanto, son las tesis de partida. Estas son las que hay que
modificar. En las tesis de partida de Zenón esta instalado
de antemano la imposibilidad de la comprensión racional
del movimiento. ¡He aquí el desliz de
Zenón!

VII. La
antinomia de Eubúlides

Esta
antinomia se le atribuye a Eubúlides de Mileto (siglo IV
a. n. e) y puede formularse como sigue: /la proposición
puesta en esta página entre barras, es falsa/. Si esta
posición es verdadera, de su contenido se infiere que es
falsa. En cambio, si es falsa, de su contenido se sigue que es
verdadera. Como puede verse, resulta que es verdadera y falsa al
mismo tiempo. Denotemos a "es verdadera" con "A" y a "es falsa"
con "B". Pero ¿qué cosa es ser falsa, ser "B"?, no
ser verdadera. Es decir, ser "no-A". Por tanto, tenemos "A y
no-A". ¡He aquí una contradicción
lógica! El lector puede releer la antinomia e intentar
encontrarle solución. Si no lo logra, que nos siga.

Según Aristóteles en su Organon "una
proposición simple es una voz dotada de significado, que
afirma o niega la presencia de alguna cosa en un sujeto, y ella
en un tiempo pasado, presente o futuro" (5). Si nos atenemos a
esta definición la expresión puesta entre barras y
que conforma el motivo de la antinomia es una proposición.
Tiene sujeto del cual se afirma algo y tiene significado. Pero
¿es realmente la expresión "/la proposición
puesta en esta página entre barras, es falsa/" una
proposición?

El propio Aristóteles en la obra citada nos dice
"mientras que toda sentencia o juicio tiene significado, no todas
pueden llamarse proposiciones. Llamamos solamente proposiciones a
las que tienen en sí verdad o falsedad" (6). Notemos algo.
Aristóteles hace distinción aquí entre
juicio y proposición, identificando juicio con sentencia.
Hoy día es más común encontrar que se
identifique juicio con proposición y se distingan del
resto de las sentencias. Nosotros nos atenemos a este
último punto de vista. Pero, ¿qué nos quiere
decir Aristóteles?, que a la proposición lo que la
caracteriza es la calidad de verdadera o falsa. Y es aquí
donde debemos prestar atención. ¿La
expresión "/la proposición puesta en esta
página entre barras, es falsa/" es verdadera o falsa?
Veamos.

Todo juicio o proposición es una relación.
Todo juicio o proposición enuncia una realidad. De modo
que una cosa es la forma, la envoltura del juicio o
proposición y otra la realidad enunciada por ésta
(la proposición). Por eso, tenemos aquí dos
entidades: 1) la forma de la proposición, que es distinta
en los distintos idiomas, y 2) la realidad enunciada en la
proposición, que es la misma para las distintas lenguas y
que constituye el contenido del juicio o proposición.
Ahora establezcamos una relación entre estas dos
entidades. ¡He aquí el juicio o la
proposición, es decir la relación! El juicio o la
proposición es una relación (v. gr. de contenido y
forma). Resulta que sí lo enunciado en el juicio o
proposición se corresponde con la realidad efectiva, con
los hechos, etc., entonces la proposición es verdadera;
mientras que si no se corresponde, entonces la proposición
es falsa. Pero se sobreentiende que para darse que la
expresión sea verdadera o falsa debe darse la
relación entre el contenido y la forma. Una adecuada
relación entre contenido y forma es condición
indispensable para que tengamos una proposición en
sí, y para que entonces pueda ser verdadera o falsa. Por
tanto, para que una expresión sea verdadera o falsa debe
darse una adecuada relación entre la forma de la
proposición y lo enunciado en la proposición, una
relación de contenido y forma. Analicemos ahora la
expresión motivo de la paradoja, de la
antinomia.

¿Cuál es la realidad enunciada en la
expresión "/la proposición puesta en esta
página entre barras, es falsa/"?, la propia
expresión. Es como si dijéramos que el contenido de
la expresión es la propia expresión. Por tanto,
aquí la forma se trueca en contenido. Por tanto, esta
expresión no forma juicio, proposición. Aquí
no hay una adecuada relación entre el contenido y la
forma. El contenido de la expresión es la propia
expresión. Por tanto, no hay distinción entre
contenido y forma. No hay la relación adecuada de
contenido y forma. Por tanto, no puede ser ni verdadera ni falsa.
Si la expresión puesta entre barras fuera otra cualquiera,
la expresión "la proposición puesta en esta
página entre barras, es falsa" cobraría pleno
sentido como proposición. Pero no, se trata de la misma
expresión. Aquí no existe la relación
adecuada entre el contenido y la forma. Por tanto, los
calificativos de verdadero y falso están mal empleados. De
dónde, la expresión "/la proposición puesta
en esta página entre barras, es falsa/" no puede ser ni
verdadera ni falsa, porque no hay la adecuada relación
entre el contenido y la forma. ¡He aquí el desliz
que crea la paradoja, la situación
antinómica!

VIII. La paradoja
del montón

Supongamos que tenemos
un montón, que puede ser de arena. El montón de
arena del que hablamos puede estar formado, digamos, por millones
de granos de arena. Si de este montón de arena sustraemos
un grano, el montón sigue siendo montón. Supongamos
que sustraemos y sustraemos. El montón sigue siendo
montón. Por tanto, la diferencia entre un montón y
un no-montón no estriba en un grano. Formemos, entonces,
el juicio siguiente: "un montón de arena es un grano
más o un grano menos de arena". O lo que es lo mismo,
"todo montón de arena es un grano más o un grano
menos de arena". Supongamos entonces que seguimos sustrayendo
granos de arena, supongamos que nos quedan, por ejemplo, diez
granos de arena. Diez granos de arena sigue siendo un
montón. Cinco granos de arena forman un montón.
Pero difícilmente se pueda aceptar que un grano de arena
sigue siendo un montón. Evidentemente, un grano de arena
no es un montón. La cuestión estriba en que
restando uno a uno granos de arena nos hemos quedado con un grano
de arena, lo que ya no constituye un montón. Por tanto, un
grano más o un grano menos de arena son significativos a
estas alturas. Mientras que eran muchos los granos de arena que
formaban el montón no había problemas con la
sustracción de granos. Pero a la altura de unos pocos, un
grano más o un grano menos son significativos. Por tanto,
podemos formar el juicio "un montón de arena no es un
grano más o un grano menos de arena" o, lo que es lo
mismo,"todo montón de arena no es un grano más o un
grano menos de arena". Pero a este juicio, al anterior, le
podemos dar el giro y decir: "algún montón de arena
no es un grano más o un grano menos de arena" (el juicio
universal se puede trocar en particular). Por tanto, tenemos dos
juicios contradictorios: 1) "todo montón de arena es un
grano más o un grano menos de arena", y 2) "algún
montón de arena no es un grano más o un grano menos
de arena". O lo que es lo mismo, "todo S es P" y "algún S
no es P". Pero este último lo podemos sustituir por "no
todo S es P". Es decir, tenemos la contradicción
lógico-formal "A y no-A", que es la forma de expresar la
contradicción.

Notemos que como esta paradoja hay otras similares, como
por ejemplo la del calvo (la diferencia entre un calvo y un
no-calvo no estriba en un pelo de más o un pelo de menos).
El lector puede releer la antinomia y tratar de encontrarle la
solución. Si no la encuentra, que nos siga. Nosotros
proponemos la siguiente solución.

Evidentemente, la paradoja surge del hecho de que los
cambios cuantitativos graduales no acarrean cambios cualitativos.
Si en vez de restar granos de arena al montón
sumáramos, entonces tendríamos que los cambios
cuantitativos al sobrepasar la medida acarrearían cambios
cualitativos. Efectivamente, si apilamos granos de arena llega un
punto en que un grano más sobrepasa la masa
crítica, y el montón de arena por efecto de la
gravedad y otras fuerzas se transforma en magma incandescente o
plasma. Pero se trata de restar granos de arena al montón
y no de sumar. Aquí la diferencia entre un montón y
un no-montón no se puede establecer por medio de la medida
(por medio del límite dentro de los cuales una calidad X
admite cambios cuantitativos), sino que hay que establecerlo por
otra vía.

Claro está que si quitamos granos de arena del
montón, llega un punto en que el montón se acaba y
queda un no-montón, es decir un grano de arena o varios
granos de arena. Por eso el juicio "todo montón de arena
es un grano más o un grano menos de arena" es
válido dentro de determinados límites.
También el juicio "todo montón de arena no es un
grano más o un grano menos de arena" es válido
dentro de determinados límites, dentro de los
límites en los que acaba el montón y comienza el
no-montón. Pero ¿dónde están estos
límites, el del juicio anterior y el de éste?
Aquí es donde surge la situación paradójica.
Al sumar granos de arena, el límite está bien
establecido. En ese caso nos encontramos con una medida y un
salto de calidad. Pero al restar, este límite se torna
indefinido.

¿Cómo pueden entonces dos conceptos
distintos ("montón" y "no-montón") referirse a una
misma calidad, al estado agregativo de granos de arena, y
significar cosas contrapuestas? La respuesta parece ser muy
sencilla: los conceptos "montón" y "no-montón"
designan no una calidad X, sino un estado de la
cantidad.

Normalmente nos encontramos con que los conceptos
(términos) reflejan calidades distintas en distintas
cantidades. "Perro", "caballo", "silla", etc., son
términos que denotan determinadas calidades. Pero no
debemos confundirnos. La cantidad también puede ser
conceptualizada. La diferencia entre "no-montón" y
"montón" es un problema cuantitativo y no cualitativo. Por
eso es que la frontera entre un concepto y el otro es un tanto
indefinida. Aquí no hay un salto de calidad. Pero es lo
suficientemente precisa para poder diferenciar entre estos dos
conceptos. Los juicios "todo montón de arena es un grano
más o un grano menos de arena" y "todo montón de
areno no es un grano más o un grano menos de arena" son
verdaderos dentro de determinados límites, aunque estos
límites no se distingan por un salto de calidad.
Aquí la distinción hay que hacerla a partir de la
magnitud de la cantidad. Por tanto, lo correcto hubiera sido
decir "algún montón de arena es un grano más
o un grano menos de arena" y "algún montón de arena
no es un grano más o un grano menos de arena", con lo que
los juicios tomarían la forma "algún S es P" y
"algún S no es P", lo que no es formalmente
contradictorio.

Si se pierde de vista estos límites y se toman
los juicios en toda su universalidad entonces surge la
situación paradójica. ¡He aquí la
esencia del desliz lógico que crea la situación
paradójica!

IX. La antinomia
de Grelling

Se basa en el concepto de
"predicado heterológico". El predicado –es decir, la
palabra que expresa cierta propiedad– se llama
heterológico si él mismo carece de dicha propiedad.
(Por ejemplo, la palabra "trisílaba" no es ella misma
trisílaba, mientras que la palabra "esdrújula" es
ella misma esdrújula. La primera es heterológica,
mientras la segunda no lo es). La antinomia surge al aplicar esta
definición al predicado "heterológico". Si
"heterológico" es heterológico, por
definición no posee la propiedad por él expresada.
Es decir, "heterológico" no es heterológico. En
cambio, si "heterológico" no es heterológico, de
nuevo por definición debe poseer la propiedad por
él expresada. Es decir, "heterológico" es
heterológico. Tenemos de esta forma que
"heterológico" es heterológico y no es
heterológico al mismo tiempo. En otras palabras tenemos
los juicios: 1) ""heterológico" es heterológico" y
2) ""heterológico" no es heterológico". O lo que es
lo mismo, "S es P" y "S no es P", es decir, "A y no-A". El lector
puede intentar resolver él mismo la antinomia. Si no lo
logra, proponemos que nos siga. Nosotros pensamos en la
solución siguiente.

Analicemos algunos predicados: por ejemplo,
"trisílabo"."Trisílabo" posee la propiedad de tener
sílabas. Pero en este caso no en número de tres,
sino en número de cuatro. El denota la propiedad de tener
sílabas, pero en número de tres. Por tanto, no
posee la propiedad por él expresada –la de tener
tres sílabas-, es decir es heterológico. Analicemos
el predicado "esdrújulo". Esdrújula es una palabra
que se acentúa en la antepenúltima sílaba.
Como vemos, "esdrújulo" es una palabra, y por ello tiene
la propiedad de acentuarse. Aquí coincide el acento de la
palabra con la antepenúltima sílaba. En este caso,
"esdrújulo" es él mismo esdrújulo. Por
tanto, es no-heterológico. Esto quiere decir que hay
términos o predicados que son heterológicos y otros
que no son heterológicos. Surge la pregunta siguiente:
¿todo predica es o bien heterológico o bien
no-heterológico?, al parecer sí.

Los predicados "heterológico" y
"no-heterológico" son contradictorios. Esto quiere decir
que el que no es heterológico es no-heterológico y
viceversa. Pero esto no quiere decir que todos los predicados
heterológicos y no-heterológicos lo sean en igual
forma, y menos aún al estilo de "trisílabo" o
"esdrújulo". Analicemos el predicado
"heterológico". ¿Qué significa ser
heterológico?

De "heterológico" no tenemos una
definición evidente. Sabemos que el predicado se llama
heterológico si él mismo carece de la propiedad que
expresa. Es decir, sabemos cuando un predicado es
heterológico o no-heterológico, pero no lo que es
heterológico de forma evidente. Pero hay una cosa cierta,
de la definición anterior se deduce que la calidad de ser
heterológico no es una propiedad, es mas bien la ausencia
de una propiedad (la característica de los predicados de
no poseer la propiedad que expresan). Por tanto, al menos sabemos
algo: heterológico no es una propiedad.

Tomemos la antinomia en cuestión.
¿Cómo dice la primera parte de la primera parte?
Dice: "si "heterológico" es heterológico, entonces
por definición no posee la propiedad por él
expresada". Falso. "Heterológico" no expresa ninguna
propiedad. Así que no puede no poseer la propiedad en
cuestión. Aquí se parte del supuesto de que
"heterológico" expresa una propiedad. Este supuesto es
falso. "heterológico" no expresa ninguna propiedad. Este
equívoco surge de querer aplicar la definición de
heterológico al predicado "heterológico". Notemos
que la segunda parte de esta primera parte ya no tiene
razón de ser. ¿Cómo dice la primera parte de
la segunda parte? Dice: "si "heterológico" no es
heterológico, entonces por definición posee la
propiedad por él expresada". Falso. "heterológico"
no posee ninguna propiedad. Él no expresa ninguna
propiedad y, por tanto, no puede ni poseer ni no poseer ninguna
propiedad. Este equívoco, como el primero, surge de querer
aplicar la definición de heterológico al predicado
"heterológico". Por último, notemos que la segunda
parte de esta segunda parte ya no tiene razón de ser. En
fin, heterológico no expresa ninguna propiedad. El admitir
que heterológico expresa una propiedad es lo que crea la
situación antinómica. ¡He aquí la
esencia del desliz lógico!

CONCLUSIONES

Hemos tratado con
un grupo bastante numeroso de paradojas, aporías y
antinomias, a las cuales le hemos intentado encontrar
solución. Notemos algo. Nosotros no pretendemos que todas
nuestras soluciones sean ni correctas ni del todo exactas.
Simplemente son nuestra propuesta. Pero hay algo que el lector
debe saber y que debe estar de acuerdo con nosotros: si aunque
sea una de estas soluciones es la correcta, si aunque sea una es
una aproximación a la solución, etc., entonces este
trabajo ha valido la pena. Pero hay más.

El solo hecho de juntarlas y replanteárselas bajo
la concepción de que son solubles, de que estas
contradicciones obedecen a deslices lógicos, etc., da
motivos para que este trabajo salga a la luz. Porque es que la
concepción que justifica y perpetúa estas
contradicciones es una franca concesión al irracionalismo,
es un desacato a la autoridad de la razón. De suerte que
en el poderío de la razón, siempre se ha tenido la
más profunda fe. Esto es un axioma de la esencia
humana.

Notemos algo. No es posible que todo sea y no sea, al
mismo tiempo y en la misma relación, lo que es y otra cosa
distinta. De todo, al mismo tiempo y en la misma relación,
no se puede decir que es y no es. ¿Si todo es y no es,
entonces la tesis misma "todo es y no es" cómo es? Por
definición (en virtud de que todo es y no es), es y no es.
Pero si en una de sus determinaciones al menos no es, entonces se
auto-refuta. No es, es decir no es verdad que es. De donde, no es
posible que todo sea y no sea. Al menos esta tesis no lo es. Y si
esta tesis no lo es, entonces no todo es y no es.

Todo objeto es, en su medida, idéntico a
sí mismo. Él es, en esa unidad, una calidad. De esa
calidad (lo que el objeto es) no se puede decir que sea y no sea.
Él es, por ejemplo, A (piedra, árbol, casa, etc.),
es decir la calidad en cuestión. La calidad tiene una
medida. Dentro de esta medida, el objeto admite cambios
cualitativos. Pero a pesar de estos cambios, sigue siendo el que
es. Los cambios son en la cantidad, pero no en la calidad. El es
A o es B o es C, pero es esa calidad. Ahora bien, al superar la
medida (en el momento de la superación), el objeto deja de
ser el que es (la calidad A), y pasa a ser otro (la calidad B).
Ahora, en este punto y momento, él (el objeto en
cuestión) es A y es B. Es A, porque aún no ha
dejado de ser A. Pero ya es B (es decir, no es A), porque
está cambiando de calidad. Sólo en este momento (en
el momento del salto de calidad) el objeto es y no es (es A y es
B, es decir no es A). La tesis de que las cosas son y no son es
aplicable, entonces, sólo al momento del salto de calidad.
Fuera de este instante (durante los cambios dentro de la
calidad), el objeto es idéntico a sí mismo. Dentro
de la medida, no es posible que sea y no sea.

Pero el pensamiento refleja, sobre todo, la estabilidad
de las cosas. Toma a las cosas en su determinación
cualitativa, en su calidad. La calidad es idéntica al ser.
De las cosas, el pensamiento dice que son o no son. Por eso, para
el pensamiento es ley la no contradicción lógico
formal, y es ley la identidad del tipo "A es A".

Ahora bien, una cosa son las paradojas lógicas
del tipo de razonamiento lógicamente cerrado y otras las
antinomias que surgen como momento necesario del proceso del
conocimiento del objeto, al estilo de las de la economía
política clásica. Estas últimas son juicios
contradictorios que toman desde fuera la forma "A y no-A". Estas
antinomias surgen objetivamente en la ciencia como consecuencia
lógica del análisis objetivamente correcto del
objeto. Así, por ejemplo, la ley de la cuota media de
ganancia, que establece la dependencia del tamaño de la
ganancia de la magnitud del capital en conjunto, y la ley del
valor, que establece que sólo el trabajo vivo produce el
nuevo valor, devienen en la teoría de Ricardo en una
contradicción abierta. ¿Qué hacer entonces
con este tipo de contradicción, que tiene la forma
lógica del tipo "A y no-A", si hay que vetar las
contradicciones?

En la literatura encontramos dos puntos de vista
totalmente contrapuestos. El primero intenta a toda costa vetar
todo tipo de contradicción, no sólo las que son
pensamientos o razonamientos lógicamente cerrados, sino
también las que son expresión de contradicciones
dialécticas del propio proceso del conocimiento del
objeto, del carácter contradictorio del objeto en
cuestión. Si la realidad es internamente contradictoria,
entonces –decimos nosotros- el pensamiento tiene que
reflejar esta contradicción en forma de
contradicción lógica. Por eso no estamos de acuerdo
con Alexandra Guetmanova cuando afirma que las contradicciones
lógico formales evidencian un razonamiento confuso e
incorrecto, que semejante contradicciones obstaculizan el
conocimiento del mundo. Según ella, la ley de la
no-contradicción señala la necesidad de que uno no
admita en su pensamiento y discurso enunciados formalmente
contradictorios, pues de lo contrario su pensamiento será
incorrecto (7). Este es el punto de vista del propio
Aristóteles. El afirmaba que "es imposible que un mismo
atributo pertenezca a la vez que no pertenezca a una misma cosa
en una misma relación" (8), o que "es imposible afirmar y
negar algo simultáneamente" (9). Lo que Guetmanova
añade a Aristóteles es la idea de que la
contradicción dialéctica, mientras no se soluciona,
toma la forma de contradicción lógico formal, pero
–según ella- una vez que se soluciona, desaparece el
carácter lógico formal de la contradicción.
Este punto de vista es contrario a todo tipo de
contradicción lógico formal en el pensamiento, lo
que no es compatible con el enfoque de la llamada lógica
dialéctica. El otro punto de vista que encontramos en la
literatura al respecto es el que intenta justificar a toda costa
las contradicciones en el pensamiento del tipo lógico
formal, argumentando que son la expresión de las
contradicciones de contenido, de las de carácter
dialéctico, negando a su vez la necesidad del veto
lógico formal de las contradicciones.

Este es el punto de vista de E. V. Ilienkov.
Según él "el veto lógico formal de la
contradicción se refiere al uso de los términos y
no al proceso de movimiento de los conceptos". Según este
autor "la dialéctica –se refiere a la lógica
dialéctica- nace allí donde el pensamiento
metafísico, el que no conoce y que no desea conocer otra
lógica que no sea la lógica formal, se enreda
definitivamente con las contradicciones lógicas" (10).
Para Ilienkov la lógica formal es pensamiento
antidialéctico, o como le solía llamar Hegel:
metafísica. Pero la lógica formal no es
lógica metafísica, antidialéctica. La que
puede ser dialéctica o metafísica es la
interpretación que se haga de la lógica formal. La
lógica formal es una ciencia y, como tal, merece todo el
respeto que merece la ciencia en general. Pero la
interpretación que se haga de las leyes lógicos
formales sí puede ser antidialéctica o
metafísica.

Si, por una parte, nos oponemos resueltamente y sin
distinción a toda contradicción lógica,
negando las contradicciones dialécticas, entonces caemos
en los brazos de la antidialéctica, de la
metafísica. Si, por el contrario, abrazamos las
contradicciones sin distinguir entre lo que puede ser una
contradicción lógico formal sin contenido de una
contradicción lógico formal en tanto que
expresión del contenido, entonces caemos también en
la antidialéctica, en la metafísica, pues negamos
todo valor a la ley lógico formal de la no
contradicción. Negar el valor de la ley lógico
formal de la no contradicción es también una forma
de metafísica. Es absolutizar las contradicciones, es
querer sustituir la lógica formal por la llamada
lógica dialéctica. En lógica formal, o mas
exactamente en lógica –pues se trata de una sola
ciencia-, lo que hay que hacer es entender dialécticamente
el veto de las contradicciones. Ya Leibniz entendía el
proceso lógico formal con una nueva dialéctica al
introducir la ley lógico formal de la razón
suficiente. Según esta ley, toda idea (en este caso:
juicio) verdadera debe ser suficientemente
fundamentada.

Esta ley (la de la razón suficiente) no tiene
fórmula, es totalmente sustanciosa. Podemos, al mismo
tiempo, hacerla extensiva a las contradicciones. Podemos,
entonces, afirmar: para introducir la forma del juicio "S es P y
no-P" (la forma de la contradicción lógica) hay que
tener razones suficientes, no podemos introducirla libremente,
sin veto. Hay que vetar las contradicciones
lógico-formales mientras no se tengan razones suficientes
para introducirlas en el pensamiento. Las contradicciones
dialécticas, las que son objetivamente contradicciones de
la realidad, hay que asumirlas como eso: como contradicciones
lógicas. Pero no admitir cualquiera contradicción
lógica por el mero hecho de querer ser dialécticos,
oponiendo la lógica dialéctica a la lógica
formal.

Desde este punto de vista, la ley lógica de la no
contradicción resulta sustanciosa también. Se trata
de entenderla de forma dialéctica, como algo consustancial
al pensamiento. Si ahora nos encontramos con una
contradicción lógica, debemos intentar resolverla.
¿En qué consiste su solución? Primero, en
dilucidar si es de pura forma, sin respaldo objetivo, etc., o si
se trata de la expresión consecuente de una
contradicción de contenido. Y segundo, una vez que se
establezca su naturaleza, pasar a su solución real.
Sí es una contradicción no real, irreal, etc.,
entonces encontrar los deslices lógicos que nos llevan al
error lógico. Si se trata de una contradicción
real, entonces expresar en forma de teoría la
solución de la contradicción, lo que no es otra
cosa que entender la naturaleza contradictoria del objeto en una
dialéctica de mediación.

Hay algo más que queremos señalar. Se
trata de la relación que guarda este trabajo con la
hipótesis de la polivalencia. Según el principio de
la polivalencia, una fórmula o proposición
deberá cumplir dos requisitos. Primero, deberá
tomar un conjunto de valores veritativos mayor o igual a dos. Y,
segundo, deberá ajustarse al requerimiento de que una
misma fórmula no podrá tomar dos o más
valores veritativos al mismo tiempo (11). Esto quiere decir que
el principio de la polivalencia no menoscaba la ley lógica
de la no contradicción. Si bien es cierto que la
teoría de la polivalencia pone en entre dicho la ley del
tercero excluido, ley de la lógica formal clásica
bivalente; no es menos cierto que con relación a la ley de
la no contradicción no pasa lo mismo. La ley de la no
contradicción es inmutable con relación a la
modificación de la valencia de las preposiciones.
¿Por qué?, porque la hipótesis de la
polivalencia exige que una misma fórmula no puede tomar
dos o más valores veritativos al mismo tiempo, lo que
quiere decir que no puede darse la relación A y no-A para
una proposición. A y no-A son dos valores veritativos de
la fórmula A, tomados en la misma relación. Esto se
desprende de la definición de la operación
lógica de la negación. Por tanto, la ley de la no
contradicción es inmutable con relación a la
modificación de la valencia. De lo dicho anteriormente se
desprende el carácter universal de la ley de la no
contradicción, al menos en relación a la
modificación de la valencia de las
proposiciones.

Una última aclaración. Existen muchos
tipos de contradicciones. Nosotros proponemos vetar las
contradicciones lógicos (de la realidad ontológica,
es decir de la esfera del contenido del ser) mientras no sean
objetivamente de contenido. En otras palabras, proponemos vetar
las contradicciones que tienen una expresión en el
pensamiento en forma de contradicción
lógico-formal, que no son expresión objetiva del
contenido del ser.

Por otra parte, las contradicciones de clases, por
ejemplo, no son vetables. Las contradicciones de clase, en
particular el antagonismo de clase (se trata de las clases
sociales) es un tipo de contradicción que no
necesariamente tiene una expresión lógico-formal en
forma de contradicción lógica. Este tipo de
contradicción (que no es más que la
yuxtaposición, oposición, contraposición,
etc. de los intereses de clases) se resuelve en la
dialéctica de mediación (12). El hecho de que, por
ejemplo, la Tierra se vea atraída por el Sol a causa de la
gravitación y, a la par, se vea repelida a causa de su
energía cinética es una contradicción,
contradicción que se resuelve en el movimiento
elíptico de la Tierra alrededor del Sol, pero esta
contradicción no es lógico-formal.

Por tanto, de lo que se trata es de vetar no todo tipo
de contradicciones, sino sólo las que tienen una
expresión lógico-formal y que no son objetivamente
de contenido. Debemos admitir la contradicción
lógico-formal sólo cuando hallan razones más
que suficientes para aceptarla. Nosotros pensamos que es
importante restaurar la razón, es de vital importancia
superar la aparente crisis creada en lógica,
matemática, metafísica, cosmogonía, etc. con
relación a las contradicciones.

BIBLIOGRAFIA

1.- Diego Gracia.
Bioética para la sustentabilidad. Publicación
acuario. La Habana. 2002. página 157.

2.- M. Rosental y P. Iudin. Diccionario
filosófico. Argentina. 1973. Página 17.

3.- Aristóteles. Organon. La habana. 1975.
página 76.

4.- Hegel. Lecciones sobre historia de la
filosofía. México. 1955. página
253.

5.- Aristóteles. Organon. La Habana. 1975.
página 70.

6.- Aristóteles. Organon. La Habana. 1975.
página 69.

7.- Alexandra Guetmanova. Lógica. Editorial
Progreso. Moscú. 1989. página 119.

8.- Aristóteles. Metafísica. Obras.
Moscú. 1976. Tomo I. página 125.

9.- Aristóteles. Segundas Analíticas.
Moscú. 1978. Tomo 2. Página 276.

10.- Ilienkov E. V. Lógica dialéctica,
ensayos de historia y teoría. Editorial de Ciencias
Sociales. La Habana. 1984. páginas 227-242.

11.- Eramis Bueno. Lógica Polivalente. La Habana.
1976. página 19.

12.- Z. M. Orudzhev. La Dialéctica como Sistema.
Editorial de ciencias Sociales. La Habana. 1978. página
180.

Autor:

Evelio A. Perez Fardalez

Breve biografía del autor: Nací en Sancti
Spíritus, Cuba. Mis primeros estudios fueron de
economía industrial en la Universidad de Las Villas (Santa
Clara). Después cursé estudios de filosofía
en la Universidad Estatal de Moscú. Me gradué en
1984. Desde entonces, imparto filosofía en el Instituto de
Medicina de Sancti Spíritus.

Sancti Spíritus, Cuba. 13 de mayo de
2008.