Cálculo de Pi

1. Resumen
2. El número pi, un
   poco de historia
3. Cálculo de
   p por el método de Leibnitz
   basado en el arco tangente de James Gregory

Resumen

Este trabajo acerca
del cálculo de
pi, utiliza un algoritmo de
convergencia de bajo rendimiento, como lo es el método
de Leibnitz,
basado en el arco tangente de James Gregory, pero, es una
forma didáctica para mostrar el poco alcance de
dicho método, y
de esta manera buscar otros métodos
con mejores rendimientos, es decir, algoritmos
mucho más eficientes que éste. Seguramente
presentaré en otros trabajos, algoritmos que mejoren el
actual método. Esto constituirá una búsqueda
utilizando la potencia de
MATLAB en la investigación de este tema, aunque se sabe
mucho de los trabajos que ya se han realizado sobre este
tópico. Es una búsqueda didáctica, para "aprender haciendo" de los
estudiantes y lectores que son inquietos
intelectualmente.

EL NÚMERO
PI, UN POCO DE HISTORIA

El número pi es la constante que relaciona
el perímetro de una circunferencia (L), con la longitud de
su diámetro p = L/D. Este no es
un número exacto, sino que es de los llamados
números irracionales que tiene infinitas cifras decimales
sin repetición de períodos. Ya en la
antigüedad, se insinuó que todos los círculos
conservaban una estrecha dependencia entre el contorno y su
radio, pero
tan sólo desde el siglo XVII la correlación se
convirtió en un dígito y fue identificado con el
nombre "Pi" (de periphereia, denominación que los griegos
daban al perímetro de un círculo). A lo largo de la
historia, a este
ilustre guarismo se le han asignado diversas cantidades. En la
Biblia, aparece con el valor 3, en
Babilonia 3+1/8, los egipcios le otorgaban 4(8/9)², y en
China 3.1724.
Sin embargo, fue en Grecia donde
la correspondencia entre el radio y la longitud de una
circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los
más insignes enigmas a resolver. Un coetáneo de
Sócrates,
Antiphon, inscribió en el círculo un cuadrado,
luego un octógono e ideó multiplicar la cantidad de
lados hasta el momento en que el polígono obtenido se
ajustara casi con la circunferencia. Euclides precisa en sus
Elementos, los pasos al límite necesarios e
investiga un sistema
consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de
lados de los polígonos regulares y en demostrar la
convergencia del procedimiento.

Algunos valores de
pi obtenidos antes de 1900 fueron:

• Papiro Rhind o de Ahmes (Egipto,
  4000 a.C.), que es uno de los documentos
  matemáticos más antiguos: (16/9)2 =
  3.160494.
• Tablilla de Susa (Babilonia, 1600 a.C.):
  3.125
• La Biblia (Reyes-I-7-23, 550 a.C.): 3
• Bandhayana (India, 500
  a.C.): 3.09
• Arquímedes de Siracusa (287-212 a.C.): Entre
  223/71 y 220/70
• Liu Hui (China, 260 d.C.): 3.1416
• Tsu Chung Chih (480 d.C.): Entre 3.145926 y
  3.1415927
• Al-Khowarizmi (800 d.C.): 3.1416 (3 decimales
  correctos)
• Bhaskhara, el Sabio (India, siglo XII): 3 +
  17/120
• Fibonacci (1220 d.C.): 3.141818
• Al-Kashi (Persia, 1429): 14 decimales
• Franciscus Viete (Francia,
  1540-1603, en 1593): 9 decimales
• Newton (Inglaterra, 1642-1727, en 1665 d.C.): 16
  decimales
• William Shanks, matemático inglés, dedico 20 años de su
  vida a la obtención de 707 decimales de pi. En 1945 se
  descubrió que había cometido un error en el
  decimal 528 y a partir de éste, todos los demás
  eran incorrectos.

Con las computadoras
todo fue mucho más fácil:

• En 1949, Reitwiesner con uno de los primeros
  computadores, el ENIAC, trabajando durante 70 horas,
  determinó pi con 2,037 decimales.
• En 1959, Guilloud obtuvo 16,167
  decimales.
• En 1961 Daniell Shanks y Wrench, obtuvieron en 8
  horas y 23 minutos 100,265 cifras en una computadora
  IBM 7090.
• En Octubre de 1995, Daisuke Takahashi y Yasumasa
  Kanada llegaron a obtener 6,442’450,938 decimales tras
  superar varios récords suyos anteriores.
• En Julio de 1997, los mismos Yasumasa Kanada y
  Daisuke Takahashi obtuvieron 51,539’600,000 cifras,
  utilizando un computador
  HITACHI SR2201 con 1024 procesadores.