Introducción a las Propiedades Matemáticas de la Gran Pirámide (página 2)

CAPÍTULO I

LA GRAN
PIRÁMIDE

El monumento al
misterio

Es la única de las siete
maravillas del mundo antiguo que todavía existe,
aunque "descascarada" por el egoísmo y la ignorancia de
los seres que usaron su recubrimiento para construir edificios
más modernos y menos maravillosos.

Ha despertado la curiosidad de todo tipo de personas y
en torno a ella se
construyeron las más variadas teorías. Para todos los gustos: desde
influencia de seres extraterrestres hasta las explicaciones
"clásicas", en donde un ejército de hormigas
humanas coloca dos millones seiscientos mil bloques de piedra, de
un peso promedio de dos y media toneladas métricas,
¡a razón de una piedra cada dos minutos! (Es
necesario aclarar que la pila de rocas
tenía una altura de ciento cuarenta y ocho metros y el
lado del cuadrado base unos doscientos treinta y dos metros; todo
ello en un terreno arenoso y con temperaturas de más de
cuarenta grados centígrados durante el día. Hasta
la construcción de la Torre Eiffel, en 1.889,
fue el edificio más alto del mundo)

La primera afirmación que vamos a analizar es la
idea directriz que define las proporciones de la pirámide,
según refiere Herodoto: "Si se levanta un cuadrado sobre
su altura, su superficie corresponderá a la de cada una de
las superficies triangulares."

En la figura 1, el segmento AC es un lado del cuadrado
base, DO es la base del triángulo de la sección
meridiana de la pirámide, BD la apotema y BO la
altura.

Figura 1

Tenemos que la superficie del triángulo de una
cara de la pirámide, igual a la mitad del producto de la
apotema y un lado de la base, debería ser igual al
cuadrado de la altura. La apotema puede calcularse aplicando el
teorema de Pitágoras; además DO es conocido e igual
a la mitad de AC, porque la pirámide es recta y la altura
cae en el centro del cuadrado base. Llamemos "y" a AC y "h" a BO;
luego:

Calculando la superficie del triángulo e
igualando con el cuadrado de h, queda: . Para eliminar la raíz, podemos
elevar el conjunto al cuadrado. Aunque esto introduce soluciones
extrañas, nos servirá para resolver el problema. De
esta forma, tenemos:

Calculamos la altura h en función de
un valor dado al
lado del cuadrado base:

Aquí se presenta un caso análogo al de las
ecuaciones
"bicuadráticas" en problemas con
una incógnita: la diferencia de cuadrados es igual a otro cuadrado,
y2 h2.

La expresión = F es el número
áureo, solución real positiva de la ecuación
x2 – x – 1 = 0. La raíz del número
áureo es la solución real positiva de la
ecuación x4 – x2 – 1 =
0. Para las pirámides que cumplen la condición
enunciada por Herodoto, el triángulo de la sección
meridiana DBO tiene las siguientes medidas:

BO =
"y" es el lado de la pirámide.

DB = ;
DO = = , M es la sección
áurea de DB y MN = .

Éste es un triángulo singular: es el
único triángulo rectángulo en el que los
lados están en progresión geométrica, siendo
la razón .
También hay un único triángulo
rectángulo cuyos lados están en progresión
aritmética, a saber, el triángulo sagrado egipcio
(3, 4, 5), según demostró W. A. Price en un
artículo de la revista The
Field, publicada en Gran Bretaña. Price es el principal
defensor de la tesis
áurea como criterio constructivo.

El ángulo ODB tiene por coseno a 0,61803398875..;
además,
@ 0,7861 5137 775… El
número es
la solución real positiva de la ecuación
x2 + + x -1 = 0 y lo es de la ecuación x4 +
x2 – 1 = 0. Tenemos que sen2
a = =cos a
y tan a = . Las aristas de la pirámide valen
= = y sen
72º @ y 0,9510 5651 6295…
Esta relación con el ángulo central de un
pentágono la examinaremos más adelante.

El ángulo a , que da
la pendiente de las caras, resulta igual a 51º 49’
38,2525 4275.."

Las medidas de una pirámide como la descripta, en
función del radio de la
circunferencia que inscribe una cara, son las
siguientes:

Lado =;
apotema =; altura
=

Hasta aquí, hemos trabajado en base a la
afirmación de Herodoto; pero hay opiniones discrepantes.
La mayoría de los investigadores se inclina a favor de un
sutil intento de cuadratura del círculo, porque,
casualmente, se
aproxima a . En
la pirámide, la comparación entre las medidas
resultantes de ambas posibilidades da una diferencia de unos
pocos centímetros; los errores inevitables de toda
construcción y la incertidumbre que deja la ausencia del
recubrimiento original hacen que los empiristas tengan la
posibilidad de elegir la hipótesis que más les satisfaga.
Para mí, el testimonio de Herodoto es concluyente;
además, la construcción basada en el número
áureo es teóricamente exacta y da significado al
monumento, mientras que la construcción de una cuadratura
basada en una aproximación empírica del valor de
p no tiene ningún valor
teórico y hasta es carente de sentido. Antes de continuar,
estudiaremos un poco el número áureo y la
sección áurea.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN MEDIA Y EXTREMA
RAZÓN

Dividir un segmento en media y extrema razón
significa partirlo en dos partes tales que la menor esté
con la mayor en la misma relación que la mayor con el
todo.

Según la definición, pedimos que se
cumplan las relaciones ; o bien, . De la igualdad de
los productos de
extremos y medios, e
igualando a cero, se obtiene la ecuación [1]. De ella se deduce
que: 1º) dado A, ; 2º) dado B, . El primer enfoque corresponde en la práctica
a realizar lo siguiente: dado un segmento, prolongarlo hasta que
el primero sea su sección áurea; o sea, encontrar
un segmento mayor tal que el dato esté en media y extrema
razón con el producto. En este caso, el valor es el número
áureo, la longitud del segmento obtenido, tomando
como unidad al dato. La segunda consigna es inversa a la primera:
dado un segmento, encontrar su sección áurea.
Aquí, el valor es la sección áurea del
segmento tomado como unidad. En ambos casos, estos valores son
los coeficientes por los que hay que multiplicar los datos para
obtener las soluciones pedidas, en caso de no poder tomar
los datos como unidades.

Estos números tienen propiedades algebraicas
notables, cuyo estudio profundo daría para escribir un
libro; entre
ellas: .

En el proceso
anterior transformamos la ecuación [1] en otras con una
incógnita, dándole el valor unitario a una de las
incógnitas. Para cada caso, hay un par de valores reales,
uno mayor y otro menor que cero. También es posible
calcular los dos valores positivos simultáneamente como
par de soluciones de la ecuación . De la ecuación cuártica
(y bicuadrática) se obtienen las cuatro soluciones reales.

CONSTRUCCIÓN Y
APROXIMACIONES

El núcleo del problema de construir con regla no
graduada de un solo borde y compás la sección
áurea o el número áureo, consiste en la
construcción de la raíz cuadrada de cinco; ya que
sumar o restar la unidad a un segmento y hallar su mitad no tiene
inconveniente. La raíz cuadrada de cinco se obtiene como
la diagonal de un rectángulo de base 2x y altura x (o
viceversa), donde x es la unidad de medida. El rectángulo
también se puede dibujar dividiendo en dos partes iguales
un cuadrado de lado 2x.

Un rectángulo como el descrito sirve como
representación del límite de la serie, como muestra la figura
4.

Tanto las pulgadas egipcias, como las inglesas y muchas
otras medidas antiguas, se subdividen en fracciones de
denominadores 2k. Justamente, el rectángu-lo
que aquí aparece acostado, contiene una diagonal que forma
un ángulo de cotangente 2, una de las inclinaciones
sugeridas por Moreux para la Gran Pirámide. La geometría sagrada antigua permitía
nada más que mediaciones y duplicaciones. Hasta el Renacimiento,
las operaciones
aritméticas eran realizadas de esta manera por expertos.
La introducción de la numeración de
posición simplificó las cosas al punto de hacer
accesibles las operaciones al común de la
gente.

Para
puede tomarse una muy buena aproximación racional con :
<10-5. El número , es una mejor
aproximación con <10-11. Asimismo, cualquiera de las dos
fracciones propias anteriores sirve para aproximar a la
sección áurea con los errores indicados. La
fracción impropia es el valor aproximado de la raíz cuadrada de
cinco, con error inferior a 10-11.

Tanto los dos números dorados como la raíz
cuadrada de cinco pueden ser descriptos teóricamente por
fracciones continuas infinitas:

Hay otras expresiones con un número infinito de
pasos:

Esta
fórmula como caso particular de una identidad
general publicada por Nathan Altshiller-Court, de la Universidad de
Oklahoma, en la revista American Mathematical Monthly,
1.917.

Pese al gran valor teórico de los procesos
infinitos, el hombre no
es capaz de trasladar a la práctica más que
magnitudes finitas. Si para obtener un valor cualquiera es
menester seguir un número interminable de pasos, es obvio
que acortando ese proceso se obtendrá otro valor, tan
próximo al primero cuanto más larga sea la cadena
de cálculos. En el caso de las fracciones continuas,
cortando la secuencia en algún punto, y resolviendo las
operaciones indicadas hasta el corte, se obtendrá un
número racional que lleva los nombres de
"convergente", "fracción reducida" o,
simplemente, "reducida". Las reducidas se numeran
según el orden creciente desde el valor de menor
aproximación; o sea, el primer elemento de la cadena. Las
reducidas impares son menores que el valor teórico que se
intenta representar y las pares son mayores. Esto ocurre
sólo si la fracción continua es simple; esto es, si
sus numeradores son todos iguales a la unidad. La fracción
continua simple siempre converge. Cada par de valores acota
inferior y superiormente el número buscado y la longitud
del intervalo decrece a medida que se calculan reducidas
más avanzadas. Cuando las fracciones continuas representan
a la sección áurea y el número áureo,
las reducidas tienen numeradores y denominadores pertenecientes a
la Sucesión de Fibonacci, como puede verse
en el cuadro de la siguiente página. La quinta reducida
para la fracción continua que representa a la raíz
cuadrada de cinco es <10-5.

Las fracciones continuas simples suelen abreviarse
escribiendo entre paréntesis el valor entero, el signo de
punto y coma, y la sucesión de los denominadores entre
comas. Por ejemplo: .

Estas fracciones distan de ser meros "entretenimientos
matemáticos" o formas "rebuscadas" de expresar cosas de
otra manera más simples. Tienen gran utilidad en la
resolución de ecuaciones diofánticas de segundo
grado; especialmente, las mal llamadas ecuaciones de Pell que, en
realidad, fueron estudiadas por Brouncker, pero Euler
atribuyó erróneamente a John Pell (1.610, 1.685).
Las soluciones a estas ecuaciones, cuya forma es , con D no cuadrado
perfecto, sirven para resolver las ecuaciones cuadráticas
más generales en dos incógnitas, reduciendo
cualquiera de ellas a la forma descripta más atrás
mediante sustituciones de las variables; por
lo que el estudio de éstas es suficiente para liquidar
todo lo referente a los problemas cuadráticos en dos
incógnitas.

Las potencias de utilizan también como coeficientes a los
números pertenecientes a la Sucesión de Fibonacci y
otros que pertenecen a una sucesión recurrente de ley similar, pero
con distintos primeros dos elementos. Sin embargo, los cocientes
de los términos de esta sucesión y todas las
sucesiones
aditivas recurrentes de orden dos tienden al mismo
límite.

El elemento an de la sucesión 1, 3, 4,
7, 11, 18, … se calcula de manera muy parecida al
homólogo de la sucesión de Fibonacci: . Las potencias de las
otras tres raíces de se construyen análogamente, excepto los
signos.

Dada una potencia natural
de , la potencia
inmediatamente anterior, en el orden natural creciente, es su
sección áurea. O sea, es sección áurea de
. Inversamente,
cada potencia de
es la sección áurea de la potencia inmediatamente
anterior: es
sección áurea de .

Suele llamarse "espectro" de un
número racional "R" a la sucesión de enteros [R],
[R1], [R2], …, [Rn],
tales que ellos son los denominadores de la fracción
continua simple equivalente a R. Existe una notable interpretación geométrica de esta
sucesión, que paso a describir:

1. Primero se construye un rectángulo de base
   igual a la unidad y altura R.
2. Procedemos a dibujar en el rectángulo todos
   los cuadrados de lado unidad que podamos.
3. En el rectángulo residual, aplicamos el
   mismo procedimiento
   anterior, pero ahora los cuadrados se reducen a la
   dimensión menor del rectángulo
   residual.
4. Repetimos este proceso hasta cubrir totalmente el
   rectángulo original.

Este proceso es aplicable a todo número racional
y agota la superficie del rectángulo en un número
finito de pasos. La cantidad de cuadrados contenidos en cada uno
de los sucesivos rectángulos nos indica el valor del
término correspondiente del espectro de R. Cuando R es un
número irracional, el proceso es interminable.

Si construimos el espectro del número
áureo, los cuadrados que iremos encontrando tienen lados
cuyos valores son potencias de , la sección áurea. Cada uno de
esos lados es la sección áurea del lado del
cuadrado anterior. Las dos diagonales trazadas son: la menor, el
lado de un pentágono regular inscripto en una
circunferencia de radio unitario; la mayor, una diagonal de ese
pentágono y el lado del pentagrama o estrella de cinco
puntas resultante, desde tiempo
inmemorial el símbolo de la magia y de lo
oculto.

AD = BC = 1

AB = CD =

AC =

EC =

EF =

FG =

HI =

es
sección áurea de = 2 sen 72º; o, lo que es igual a sen
36º = cos 54º es sección áurea de sen
72º = cos 18º. También tenemos que:

Figura 5.

y
.

LA
SECCIÓN ÁUREA Y EL NÚMERO ÁUREO EN
GEOMETRÍA EUCLIDIANA

En algunos casos interesa indicar el valor del lado de
un polígono regular en función del radio de la
circunferencia en la que se inscribe. Para el pentágono,
por ejemplo, tenemos que una diagonal vale:

En la expresión [*] define un triángulo
rectángulo: la diagonal de un pentágono es la
hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene por
catetos a la unidad y el número áureo. La siguiente
otro con los catetos iguales a la raíz cuadrada de dos y
la raíz del número áureo. Si obtenemos la
sección áurea de esta última
expresión, tenemos que: . Este es el valor por el que hay que
multiplicar el radio para obtener la longitud del lado de un
pentágono, que es igual a dos veces el seno de 36º. O
sea, el lado de un pentágono resulta de multiplicar el
radio por la sección áurea de dos veces el seno del
ángulo central: . También podemos decir que el seno del
ángulo central de un decágono es la sección
áurea del seno del ángulo central de un
pentágono. La sección áurea de una diagonal
de un pentágono es el lugar exacto por donde pasa otra
diagonal. El lado de un pentágono es la menor de las
diagonales de un decágono. La prolongación de los
lados de un pentágono crea una figura estrellada que se
denomina pentagrama; sus diagonales dibujan otro pentagrama
inscripto que resulta invertido con el que circunscribe al
pentágono.

El lado de un decágono es la sección
áurea del radio. Hay una relación entre los lados
del decágono, del hexágono y del pentágono
inscribibles en una misma circunferencia: ; los tres conforman un
triángulo rectángulo. Otras ternas que generan
triángulos rectángulos son:

.
También tenemos las siguientes relaciones:

No sólo en geometría
euclidiana plana se encuentra a los dos números
áureos, sino también en los sólidos
platónicos y otros semi-regulares; en general, en todos
aquellos en los que intervenga la raíz cuadrada de cinco o
números derivados.

LA SECCIÓN ÁUREA Y EL
NÚMERO ÁUREO EN LA NATURALEZA

Los dos números áureos y los enteros
pertenecientes a la sucesión de Fibonacci se encuentran en
muchos organismos vivos. Por ejemplo, en la distribución de las inflorescencias, donde
es común encontrar dos espirales en las que los objetos
que las componen suman números pertenecientes a la
sucesión de Fibonacci, cuyos cocientes tienden a .

Algunas cosas son casi indiscutibles y otras no; en este
campo ciertas mentalidades aceptan algunas cosas y otras las
rechazan. Entre las que a mí me parecen de
aceptación inequívoca se halla la
distribución de las hojas o ramas de una
planta.

Para que las hojas o las ramas de una planta, colocadas
en hélice ascendente sobre la rama o el tronco, tengan el
máximo de insolación con la mínima
interferencia entre ellas, éstas deben crecer separadas
según un ángulo constante igual a Para el cálculo se
considera iluminación vertical y el criterio
matemático es que las proyecciones horizontales de unas
sobre otras no se recubran exactamente. Aunque la
iluminación del Sol no es, en general, vertical y
varía con la latitud y las estaciones, esto garantiza el
máximo aprovechamiento de la luz solar. Este
hecho fue descubierto empíricamente por Church y
confirmado matemáticamente por Weisner en
1.875.

Hay dos grandes obras en las que encontrar muchos datos
acerca de estos números, ambas agotadas en las
librerías, pero presentes en bibliotecas
importantes: La Divina Proporción, Luca Paccioli,
Editorial Losada, Buenos Aires,
1.946; Estética de las Proporciones en la Naturaleza y
en las Artes, Matila Ghyka, Editorial Poseidón, Buenos
Aires, 1.953.

CAPÍTULO II

Propiedades de la cara

Entre los más famosos hombres que se dedicaron a
investigar la Gran Pirámide se encuentran Charles
Piazzi-Smyth (1.819 – 1.900), Sir William Matthew Flinders
Petrie (1.853 – 1.942), el abate Théophile Moreux
(1.867 – 1.954), el coronel Richard Howard Vyse (1.784
– 1.853) y los matemáticos W. A. Price, Jarolimek y
K. Kleppisch. Los tres primeros realizaron mediciones que no
concuerdan entre sí y fueron partidarios de la
hipótesis "p "
(sostenían que los constructores habían intentado
una cuadratura del círculo y no tomaban en cuenta una
construcción basada en el número
áureo).

Para Petrie, el lado de la pirámide mide 230,516
metros; lo que da una altura máxima de 146,610 metros,
para la hipótesis . Moreux mide 232,170 metros (altura 147,662 metros)
y Piazzi-Smyth 232,805 metros (altura 148,066 metros). Si tomamos
un valor de 3,1415926 para el número pi, las alturas
aumentan 14,2 cm; algo insignificante si se lo compara con las
medidas del edificio y, además, falta la punta. Basados en
mediciones no es posible elegir entre una y otra
hipótesis.

Los dos estudios matemáticos más serios
son: "Der Mathematische Schlussel zu der Pyramide des Cheops", de
Jarolimek (Viena, 1.890) y "Die Cheops-Pyramide: Ein Denkmal
Mathematischer Erkenntnis", de K. Kleppisch (editado por
Oldenburg, Munich, 1.921). Ambos matemáticos fueron
partidarios de la hipótesis áurea; lo que no me
parece casual por su actividad, ellos estaban más
acostumbrados a las ideas que a los hechos experimentales. (Ver
segunda parte)

Si bien respeto todas las
posturas intelectuales,
en la suposición de un intento de cuadratura me parece ver
un prejuicio
respecto de los pueblos de la antigüedad. Se pretende un
progreso gradual del conocimiento
desde grupos de
salvajes simiescos hasta la actualidad, con una
aceleración del progreso desde el Renacimiento. Me
recuerda a la actitud del
adolescente que considera a su padre un tonto que no entiende
nada.

Existe una lamentable tendencia a despreciar u ocultar
cualquier idea, conclusión o evidencia que asigne a los
antiguos más conocimiento que el que permite el orgullo de
la clase
intelectual de los últimos tres siglos. Es común
encontrar comentarios como el que sigue, debido a Paul Couderc:
"Las Pirámides suponen constructores con una
técnica para entonces muy notable, pero es inútil
tratar de descubrir en la orientación, situación y
dimensiones, maravillosos conocimientos secretos. Con los
rudimentarios instrumentos que poseían y de los que, por
lo general, extrajeron todo el partido posible, los antiguos no
pudieron hacer sino observaciones mediocres, y es burlarse del
lector no advertido darle a entender que los faraones
conocían veinte decimales del número , las nebulosas espirales
y, quizá, el análisis espectral." ("Las Etapas de la
Astronomía", EUdeBA, Cuadernos de EUdeBA
nº 63, Buenos Aires, 1.965)

No discuto que el análisis
matemático realizado en este trabajo es
propio de esta civilización y no de la egipcia. No prueba
que los egipcios lo hayan realizado de la misma manera; pero, de
alguna forma, hay resultados mínimos indispensables que
debieron obtener, aunque, quizás, con una técnica
muy diferente a la nuestra, pero de efectos
equivalentes.

En lo que atañe a la Gran Pirámide, hay
que entender que si el monumento tenía función
funeraria (yo no termino de aceptarlo), la concreción de
la obra debía hacerse en un lapso de no más de
veintidós años. En ese tiempo hubo que proyectar el
edificio, preparar y acopiar el material y concretar la obra; lo
que no deja espacio para la improvisación, el tanteo y las
contramarchas. En los largos corredores de la Pirámide no
hay marcas de negro
de humo atribuibles a los constructores en ninguna parte.
¿Cómo iluminaron el interior de los pasadizos para
poder trabajar? Los toscos espejos de bronce pulido
dejarían en la oscuridad a los obreros después de
una tercera o cuarta reflexión. ¿Quién se
burla de quién?

Otro edificio notable, el Partenón, fue
construido con medidas sutiles que evitan ilusiones de óptica
que resultarían antiestéticas para un observador.
Las columnas y otras superficies fueron deformadas a
propósito para hacer que se vean paralelas y rectas
cuando, si realmente lo fueran, parecerían no serlo. Esto
hace intervenir pequeños ángulos de 2,61 a 2,65
segundos de arco, para que las tres vistas principales del
edificio resulten ópticamente perfectas. ¿Imagina
al arquitecto gritándole a un artesano con un cincel en un
andamio: "¡un poco más, que lo veo torcido!"? Las
correcciones ópticas del Partenón fueron
descubiertas recién en 1.837.

No es necesario que los conocimientos técnicos
adecuados estuvieran en poder de la civilización que
encargó y financió el proyecto. No
debemos rechazar, a priori, que existiera un grupo de
constructores de templos que aplicara sus conocimientos al
servicio de
reyes y sacerdotes y que los fueran heredando a sus sucesores; de
alguna manera precursores de los talleres secretos de albañiles de la Edad Media y
que desembocaron en la Masonería Operativa
primitiva.

Leyendas de
una edad de oro, de la
Atlántida y otras similares podrían tener mucho de
cierto y dar cuenta de un conocimiento parcial y penosamente
reconstruido, después de un cataclismo que destruyó
una civilización anterior tan adelantada como la nuestra,
aunque diferente (Ver nota al final del capítulo). Si los
antiguos tenían tan poca sabiduría y técnicas
tan toscas, ¿cómo es posible que nosotros, en la
cumbre del desarrollo
intelectual de la especie, no nos pongamos de acuerdo con las
medidas de la base?

El triángulo ACD de la figura cinco es la mitad
de una cara. Si "m" designa al lado del cuadrado base, la arista
vale , la altura
de la cara es y
la altura de la pirámide . El rectángulo que define la mitad de la
cara es un rectángulo áureo, llamado así
porque el cociente de sus lados es igual a . Sencillos
cálculos trigonométricos permiten conocer las
medidas de los ángulos del triángulo que forma una
cara: los dos ángulos iguales que corresponden al lado del
triángulo que está sobre la base de la
pirámide miden 58º 16’ 57,092 118 740 380 832
829 948 696 815 930 …" y el ángulo del
vértice superior, 63º 26’ 5,815 762 519 238 334
340 102 606 368 139 …". En el rectángulo
áureo de la figura 5, el ángulo ACD es exactamente
la mitad de este último ángulo, idéntico al
ángulo BCE. El triángulo menor es semejante al
mayor y el cociente de la superficie del menor sobre la del mayor
es la sección áurea.

El ángulo ECA, que completa el recto, es igual a
26º 33’ 54,184 237 …". El ángulo del
vértice superior también resulta ser el que forman
la diagonal de un rectángulo igual a un doble cuadrado y
uno de sus lados menores. Esa diagonal es proporcional al
número raíz cuadrada de cinco y los lados
proporcionales a la unidad y el número dos.

Desde muy antiguo casi todos los templos utilizan el
doble cuadrado en el trazado de su planta y en otros desarrollos
verticales; esto también se aprecia en las catedrales
góticas y otros templos más modernos. En algunos
casos suele utilizarse el triple cuadrado, asociado a la
raíz cuadrada de diez. En la figura seis se ilustran estas
propiedades.

Figura 6.

El corredor de entrada es un telescopio meridiano
natural que permite la observación de la estrella polar.
Nuevamente, los estudiosos no logran acuerdo en sus medidas de la
inclinación del corredor con respecto al horizonte: Moreux
dice 26º 10’; Piazzi-Smyth, 26º 18’ 10";
Petrie, 26º 31’ 23". Pero Kleppisch sugiere un
ángulo tal que su tangente sea 0,5; o sea, el
ángulo de 26º 33’ 54,184 237 …" que nace
"naturalmente" del doble cuadrado y el rectángulo
áureo de la construcción anterior.

Otra notable coincidencia se encuentra en la cara de la
Gran Pirámide: dividiendo ésta en dos partes
iguales, desde el punto medio de la base al vértice
superior, cada parte resultante es el triángulo
rectángulo formado por la reunión de los lados de
un hexágono, un decágono y un pentágono
inscribibles en una misma circunferencia, que encontramos en el
capítulo anterior. También hay algunas propiedades
interesantes con respecto al ángulo del vértice
superior: éste es igual a la reunión del
ángulo central de un octógono y la mitad del
ángulo más agudo del triángulo sagrado
egipcio (3, 4, 5) y a la suma del ángulo de la
inclinación del corredor de entrada (tangente = 0,5) y la
totalidad del mismo ángulo agudo del triángulo
sagrado egipcio. Con respecto a la inclusión de un
octógono, hay una observación interesante: cuando
calculamos el coseno de la mitad de un ángulo, interviene
siempre el ángulo central de un octógono. En
efecto:
. Esto es lo
mismo que decir que la expresión es la diagonal de un cuadrado que tiene
por lado a . En
mi trabajo anterior, "Números Triangulares y
Tópicos de Teoría
de Números", vimos la relación entre las letras del
alfabeto hebreo y las figuras geométricas planas
regulares, además de la presencia de dos octógonos,
un eneágono y un polígono de dieciocho lados en el
Tetragrámaton, el conjunto de cuatro consonantes que se
utilizaba en el Israel antiguo
para escribir el nombre de Dios. Intuyo que hay alguna
relación matemática
entre la Pirámide, el triángulo sagrado egipcio, el
nombre de Dios y otras construcciones u objetos
matemáticos con denominaciones sagradas, que
permitirían la construcción, mediante regla no
graduada de un solo borde y compás, de un ángulo de
un número de grados no múltiplo de tres ni de sus
sucesivas mediaciones.

Esto daría por tierra con el
Teorema General de Ciclotomía de Gauss, del año
1.801, porque permitiría la construcción de
cualquier ángulo de un número entero de grados y
las trisecciones de muchos ángulos, ahora consideradas
imposibles por medios cuadráticos. Matemáticamente
esto sería una revolución, pero puede haber mucho
más: quizás abra las puertas del dominio de las
interacciones débiles (en el ámbito de la física nuclear) por
medio de bajas energías; una tecnología que
nuestra civilización todavía no pudo
lograr.

En la figura siete vemos las ubicaciones de estas tres
figuras con respecto a la cara de la pirámide y uno de los
dos doble-cuadrados.

Figura 7.

Otra cosa digna de ser mencionada es que las aristas que
van desde la base al vértice superior coinciden con las
diagonales de un pentágono; implícitamente en cada
cara pueden ubicarse cuatro estrellas de cinco puntas o
pentagramas, como se muestra en las figuras "ocho a" a "ocho d".
Considerando al triángulo de cada cara sobre un plano,
todo termina ahí; pero, como las caras están
ubicadas en el espacio, las diferentes posiciones de estos
pentagramas mencionados sugieren cuatro sólidos de
revolución sobre una pirámide, como se puede ver en
las figuras "nueve a" a "nueve e". Para mí es indudable
que el monumento tiene significado mágico.

Los sacerdotes egipcios practicaban la alta magia; pero
el verdadero significado mágico del complejo es tan
avanzado como las fórmulas matemáticas que manejaba Einstein en su
teoría del campo unificado. Este significado está
completamente fuera de mi alcance y del de muchas personas con
conocimientos más profundos que los míos en la
materia.

Si hay algún conjunto de personas vivas que
puedan comprender cabalmente el significado mágico de la
construcción y los efectos que produce sobre la materia o
el espíritu, dudo mucho que su número supere la
docena y, seguramente, sus conocimientos están
resguardados por un juramento de silencio. Con todo, (y esto es
especulación pura) creo que el edificio procesa
algún tipo de energía oscilante. Esto podría
justificar el hecho de que se encuentre en el meridiano y en el
paralelo que cruzan más tierras, y en un lugar que
corresponde a la culminación del Sol en el cenit sobre el
vértice de la Gran Pirámide en las fechas que
corresponderían a los equinoccios de un gran ciclo de
31.756 años, causado por el movimiento del
ángulo que forman el plano de la eclíptica y el
plano del ecuador
terrestre. Este ángulo varía por la
superposición de dos movimientos, debidos a la
precesión del polo de la eclíptica y el corrimiento
del eje mayor de la eclíptica o línea de los
ábsides, que producen que la inclinación del eje de
la Tierra
varíe cíclicamente de 23º 25’ 57" a
35º 25’ 47". Esto coincide con una teoría del
"año cósmico" formulada por Drayson.

Figura 8 a

Dos estrellas sobre una de las aristas. El segmento AB
puede ser considerado como un eje de giro para un sólido
de revolución.

Figura 8 b. Las cuatro estrellas sobre
una cara.

El ángulo CAE mide 8º 33’
54,18423748…". La línea AD divide este
ángulo en dos partes iguales de 4º 16’
57,09211874…"

Figura 8 c. Sólido de revolución en una
arista. Vista lateral en corte.

Figura 8 d. Vista de una cara con los dos sólidos
de revolución sobrepuestos.

Figura 9 a. Los cuatro sólidos de
revolución sobre la pirámide, vista orbital en
3D.

Figura 9 b. Otra vista orbital en 3D.

Figura 9 c. Otra vista orbital desde un ángulo
diferente.

Figura 9 d. Vista orbital en 3D por
detrás de la base.
Detalle de los sectores de los sólidos de
revolución virtuales que quedan "bajo tierra".

Figura 9 e. Vista isométrica
sudeste.

Nota final: "Algunas de las creencias y leyendas
que la Antigüedad nos ha legado están tan universal y
profundamente arraigadas, que nos hemos habituado a considerarlas
casi tan viejas como la misma Humanidad. Sin embargo, nos
sentimos inclinados a investigar hasta qué punto la
coincidencia de muchas de estas creencias y leyendas es fruto de
la casualidad, o bien hasta qué punto podrían ser
el reflejo de la existencia de una antigua civilización,
desconocida e insospechada, y todos cuyos otros vestigios
hubiesen desaparecido." Sir Frederic Soddy (1877 – 1956;
Premio Nobel 1921)

CAPÍTULO III

La "pirámide plana"

Algunos llaman "pirámide plana" a la figura que
resulta de "volcar" las cuatro caras sobre la base mediante un
movimiento de "bisagra", con cada eje de giro ubicado sobre un
lado del cuadrado que sirve de planta al edificio. Los
geómetras llaman a esta acción
"abatimiento".

Figura 10.

En la figura diez vemos las cuatro caras abatidas sobre
la base. Además del cuadrado de la base, se distinguen
otros tres; de los cuales los cuadrados ABCD y EFGH tienen sus
lados proporcionales a los números y , respectivamente (para el
lado de la base proporcional a 2). Los cuatro ángulos
agudos que se abren desde los cuatro vértices del cuadrado
base, y cuyas aberturas contienen los lados del cuadrado EFGH,
nuevamente son de 26º 33’ 54,184742…"; para
mí, la más probable de las inclinaciones del
corredor de la entrada.

Figura 11. Pentagramas sobre la
"pirámide plana".

Si volcamos conjuntamente con cada cara las cuatro
estrellas de cinco puntas o pentagramas que se hallan en su mismo
plano, obtenemos la intrincada imagen de la
figura once. Tanto el dibujo de la
figura diez como éste se aproximan más a los
símbolos que suelen dibujarse en el piso
para la práctica de la alta magia Para el lector no
informado, permítaseme explicar algunas cosas acerca de
esta práctica. Se distingue entre la hechicería y
la magia.

Para lograr sus fines, el hechicero manipula la materia;
se vale de objetos, sustancias químicas y otras cosas
tangibles. El mago, en cambio,
utiliza su espíritu; se vale de rezos, invocaciones y
símbolos más abstractos. La práctica de la
alta magia recurre a construcciones geométricas y al
"recitado" de fórmulas verbales. En la alta magia, el
ritual involucra a una tríada: número, sonido y forma.
No sólo es importante lo que se dice, sino cómo se
dice; adquieren valor no sólo las palabras, sino su
entonación y ritmo.

Existe un dogma que "explica" el por qué de las
acciones que
lleva a cabo el mago, pero yo no soy capaz de dar todavía
una explicación científica racional a todo esto. No
obstante, mi actitud inicial no es despreciar ni burlarme de lo
que no conozco o no entiendo; antes bien, observo con atención, prudencia y respeto. Hasta tanto
no tenga premisas suficientes, no emito juicio, ni a favor, ni en
contra, de la validez de ciertas explicaciones. Dada la
prohibición bíblica de involucrarse en estas
prácticas (Levítico 19: 26 y 19: 31), aconsejo
enfáticamente al lector no participar de ninguna actividad
de este tipo; inclusive para el lector agnóstico o ateo,
esto es cualquier cosa menos un juego. Y no
olviden que "la curiosidad mató al gato".En cuanto a la
vinculación de sonidos con formas, hay una
observación interesante.

En las proporciones de las construcciones
geométricas, en algunas leyes
físicas o astronómicas (como la ley de Bode) y en
las proporciones de las construcciones arquitectónicas, se
hallan a menudo acordes musicales mayores y menores.
Inversamente, en la música hay
implícitamente construcciones geométricas. Si fuera
posible determinar la correspondencia exacta entre ciertos
conjuntos de
sonidos y algunas figuras geométricas (esto no puede
hacerse arbitrariamente), se podrían "ver" las grandes
sinfonías y las grandes óperas. De las imágenes
obtenidas, seguramente podrían derivarse interesantes
teoremas y, quizás, también mensajes de otra
naturaleza. La música, formulada especialmente para ello,
no sólo produciría estados de ánimo, sino
que podría introducir ciertos mensajes
subliminales o disparar algunos procesos mentales. Los
antiguos hablaban de la "sinfonía de las esferas" o la
"sinfonía cósmica" y no era una licencia
poética. Aunque no afirmo nada, llamo la atención
del lector al hecho de que, desde Einstein, el universo es
una síntesis
geométrica y todo parece, además, reducirse a
fenómenos ondulatorios. (Ver notas al final del
capítulo)

Para terminar, les cuento una
anécdota vinculada al tema. Cuando vi la película
"En nombre de la rosa", me sorprendió una escena en la que
un monje queda atónito cuando observa que Sean Connery lee
un libro con la vista, en vez de en voz alta, como los
demás. Reconocí inmediatamente un fondo
mágico en todo esto. Para el punto de vista mágico
antiguo, la palabra era una potencia, debía ser enunciada
para que cobrara efectividad.

La actitud apresurada del hombre actual
es la de calificar estas acciones como tonterías,
supercherías de las mentes ignorantes de entonces.
¿Qué diferencia puede haber entre leer "con la
vista" y en voz alta? La única posible –dirán
con cara de doctos- es que de una forma actúa solamente
la memoria
visual y, de la otra, también la auditiva.
¡Ajá! ¿Sólo eso?

¿Está seguro…?
Yo no lo estoy tanto. La lectura en
voz alta elimina completamente el ritmo alfa, aún para el
individuo cuyo
electro-encefalograma pertenece al tipo P extremo.

Tanto en la hechicería como en la magia hay lo
que podríamos llamar "una escala cultural".
Ciertas formas mágicas son producto de mentes poco
desarrolladas, de individuos de escasa sabiduría. Como
ejemplo, podemos citar el "Culto del Cargo", una forma primitiva
de magia imitativa que desarrollaron unos nativos que
vivían tal como creemos lo hacían los hombres del
neolítico.

En medio de la Segunda Guerra
Mundial, esta tribu encontró de pronto a los hombres
blancos y comenzaron a observarlos con curiosidad ávida.
Los militares plantaban antenas de radio,
colocaban las cajas que contenían el transmisor y el
receptor sobre mesas y se sentaban a hablar frente a ellas.
Posteriormente llegaban unos enormes aviones, de los que
descargaban equipos y todo tipo de pertrechos. En los contactos
que se produjeron más tarde con estas primitivas personas,
algunos soldados les obsequiaron chocolates, espejos, peines,
comida enlatada y otros objetos comunes para nosotros; pero que
para esta gente resultaban tesoros maravillosos que
–literalmente- venían del cielo. Cuando la guerra
terminó, los soldados se marcharon y, con ellos, la
llegada de tesoros. Poco tiempo después comenzaron a
construir mesas con ramas y hojas. Sobre ellas colocaron cajas
armadas de la misma manera, y plantaron largas cañas a
manera de antenas. En su sencilla lengua
comenzaron a pedir "a los dioses" que les mandaran esos tesoros
que salían de las entrañas de esos pájaros
enormes y ruidosos, pero nada llegó. Trataron de "hacer lo
mismo" que esos misteriosos blancos, pero no les dio resultado.
Sin embargo, se creó un culto que duró un tiempo
considerable y que podría ser un tiempo largo en tanto
estos seres no desarrollen su mente para comprender lo que les
ocurrió.

En realidad ignoro si hoy subsiste ese culto, si esa
tribu desapareció o si fue "absorbida" por nuestra
civilización. En ciertos ritos mágicos elementales,
en la hechicería de poca monta y en las supersticiones lo
que subyace es ignorancia; objetivamente, ignorancia. No digo
esto con desprecio hacia quienes tienen pobreza
intelectual, pero honestidad; hacia
quienes se comportan sin engaño hacia los demás,
creyendo en lo que hacen. Hay una colección enorme de
ritos y costumbres que no sirven para nada y una
constelación de timadores que se aprovechan de la
ignorancia ajena para vivir sin trabajar. Pero no hay que poner
todo en el mismo saco. Como contrapartida hay, también, un
conocimiento secreto y profundo de ciertas técnicas que no
son para ignorantes y que operan eficientemente sobre realidades
que la ciencia no
admite oficialmente. A ellas han accedido y se han dedicado
hombres de la talla de Roger Bacon, el abate Juan Tritemo,
Giordano Bruno y hasta Newton. Al
igual que Bergier, digo: "no creo en todo, pero todo debe ser
revisado" (Y agregaría: sin preconceptos).

"La arquitectura es
música congelada" Matila Gyka duda en atribuir esta frase
a Novalis o a Schelling. Para mayor confusión,
busqué en Internet la frase
encomillada y figura como pronunciada por el filósofo
alemán Arthur Schopenhauer.

"La matemática es un verdadero arte, que puede
colocarse junto a las artes plásticas y a la
música… Sobre todo, está relacionada con las
grandes arquitecturas dórica y gótica, etc. La
arquitectura de los grandes templos egipcios constituye un
tratado mudo de geometría…y el análisis
matemático es a la inversa una arquitectura del más
alto estilo." Oswald Spengler (La Decadencia de
Occidente)

Carlos Alberto Carcagno

Ramos Mejía, Provincia de Buenos
Aires.