Lógica Matemática

 Centro Interdisciplinario de Investigación y Docencia en Educación
Técnica

(CIIDET)

 Resumen:

Trabajo que contiene los aspectos importantes en la
lógica
matemática, desde la definición de
proposición, tipos de operadores lógicos,
tautología, contradicción, proposiciones
condicionales y bicondicionales, demostración
formal.

Palabras clave:

Lógica matemática, proposición,
tautología, contradicción, operadores
lógicos, unión, intersección,
complementación, proposición condicional,
proposición bicondicional, teoremas, hipótesis, demostración
formal.

Introducción.

Aprender matemáticas, física y química "es muy
difícil"; así se expresan la mayoría de
estudiantes de todos los niveles, sin embargo pocas veces se
busca una explicación del porqué no aprenden las
ciencias
exactas los alumnos. Nuestra teoría
es la siguiente: "Los alumnos no aprenden ciencias
exactas, porque no saben relacionar las conocimientos que se
proporcionan en la escuela (leyes, teoremas,
formulas) con los problemas que
se le presentan en la vida real". Otro problema grave es que
el aprendizaje
no es significativo. El presente trabajo pretende motivar a los
estudiantes para que con ayuda de la "lógica
matemática", él sea capaz de encontrar estos
relacionamientos entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para
que de esta manera tenga una buena estructura
cognitiva. Consideramos que si el alumno sabe lógica
matemática puede relacionar estos conocimientos, con los
de otras áreas para de esta manera crear conocimiento.

La lógica estudia la forma del razonamiento, es
una disciplina que
por medio de reglas y técnicas
determina si un argumento es válido. La lógica es
ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la
filosofía para determinar si un razonamiento es
válido o no, ya que una frase puede tener diferentes
interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el
significado correcto. En las matemáticos para demostrar
teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser
aplicados en investigaciones.
En la computación para revisar programas. En
general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que
cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento
lógico, por el ejemplo; para ir de compras al
supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento
lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea
pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento
lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la
pintura, o no
debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la
parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado,
también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede
pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda
según el caso, todo esto es la aplicación de la
lógica.

La lógica es pues muy importante; ya que permite
resolver incluso problemas a
los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente
su inteligencia y
apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden
obtener nuevos inventos
innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización
de los mismos.

El orden en que se presenta el documento es el
siguiente: Primeramente se establece la importancia de la
lógica matemática, después definimos el
concepto de
proposición. Se establece el significado y utilidad de
conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas.
Más tarde abordamos las proposiciones condicionales y
bicondicionales. Definimos tautología,
contradicción y contingente, y proporcionamos una lista de
las tautologías más importantes, así mismo
explicamos a que se le llama proposiciones lógicamente
equivalente apoyándonos de tablas de verdad. Para
finalizar; abordamos los métodos de
demostración: directo y por contradicción, en donde
incluye reglas de inferencia.

En este trabajo se trata además de presentar las
explicaciones con ejemplos que le sean familiares. Nuestro
objetivo es
que el alumno aprenda a realizar demostraciones formales por el
método
directo y el método por
contradicción. Ya que la mayoría de los libros
comerciales únicamente se quedan en explicación y
demostración de reglas de inferencia. Consideramos que
sí el alumno aprende lógica matemática no
tendrá problemas para aprender ciencias exacta y
será capaz de programar computadoras,
ya que un programa de
computadora no
es otra cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la
persona
establece para resolver n problema determinado.

Es importante mencionar que en las demostraciones no hay
un solo camino para llegar al resultado. El camino puede ser mas
largo o más corto dependiendo de las reglas de inferencia
y tautologías que el alumno seleccione, pero
definitivamente deberá llegar al resultado. Puede haber
tantas soluciones
como alumnos se tenga en clase y todas estar bien. Esto permite
que el estudiante tenga confianza en la aplicación de
reglas y fórmulas. De tal manera que cuando llegue a poner
en practica esto, el sea capaz de inventar su propia
solución, porque en la vida cada quien resuelve sus
problemas aplicando las reglas de inferencia para relacionar los
conocimientos y obtener el resultado.

Desarrollo.

La lógica matemática es la disciplina que
trata de métodos de
razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona
reglas y técnicas para determinar si es o no valido un
argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en
matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la
computación para verificar si son o no correctos los
programas; en
las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones
de experimentos; y
en las ciencias
sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud
de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el
razonamiento lógico para realizar cualquier
actividad.

Proposiciones y operaciones
lógicas.

Una proposición o enunciado es una oración
que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La
proposición es un elemento fundamental de la lógica
matemática.

A continuación se tienen algunos ejemplos de
proposiciones válidas y no válidas, y se explica el
porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las
proposiciones se indican por medio de una letra minúscula,
dos puntos y la proposición propiamente dicha.
Ejemplo.

p: La tierra es
plana.

q: -17 + 38 = 21

r: x > y-9

s: El Morelia será campeón en la presente
temporada de Fut-Bol.

t: Hola ¿como estas?

w: Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar
un valor de falso
o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El inciso
r también es una proposición valida, aunque
el valor de falso
o verdadero depende del valor asignado a las variables
x y y en determinado momento. La proposición
del inciso s también esta perfectamente expresada
aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que
esperar a que terminara la temporada de fut-boll. Sin embargo los
enunciados t y w no son válidos, ya que no
pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un
saludo y el otro es una orden.

Conectivos lógicos y proposiciones
compuestas.

Existen conectores u operadores lógicas que
permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias
proposiciones). Los operadores o conectores básicos
son:

Operador and (y)

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben
cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Si
símbolo es: {Ù , un punto (.), un paréntesis}.
Se le conoce como la multiplicación
lógica:

Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado "El coche enciende cuando
tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la
batería"

Sean:

p: El coche enciende.

q: Tiene gasolina el tanque.

r: Tiene corriente la batería.

De tal manera que la representación del enunciado
anterior usando simbología lógica es como
sigue:

p = q Ù r

Su tabla de verdad es como sigue:

Donde.

1 = verdadero

0 = falso

En la tabla anterior el valor de q=1 significa que el
tanque tiene gasolina, r=1 significa que la batería tiene
corriente y p = q Ù r=1 significa que el coche puede
encender. Se puede notar que si q o r valen cero implica que el
auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede
encender.

Operador Or (o)

Con este operador se obtiene un resultado verdadero
cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se eindica por
medio de los siguientes símbolos: {Ú
,+,È }. Se conoce como las suma
lógica. Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al
cine si compra
su boleto u obtiene un pase". Donde.

p: Entra al cine.

q: Compra su boleto.

r: Obtiene un pase.

Operador Not (no)

Su función es
negar la proposición. Esto significa que sí alguna
proposición es verdadera y se le aplica el operador not se
obtendrá su complemento o negación (falso). Este
operador se indica por medio de los siguientes símbolos:
{‘, Ø
,- }.
Ejemplo.

Además de los operadores básicos (and, or
y not) existe el operador xor, cuyo funcionamiento es semejante
al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero
solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas con
verdad el resultado es falso.

En este momento ya se pueden representar con
notación lógica enunciados más complejos.
Ejemplo

Sean las proposiciones:

p: Hoy es domingo.

q: Tengo que estudiar teorías
del aprendizaje.

r: Aprobaré el curso.

El enunciado: "Hoy es domingo y tengo que estudiar
teorías
de aprendizaje o no aprobaré el curso". Se puede
representar simbólicamente de la siguiente
manera:

p Ù
qÚ
r

Por otro lado con ayuda de estos operadores
básicos se pueden formar los operadores compuestos Nand
(combinación de los operadores Not y And), Nor (combina
operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).

Proposiciones condicionales.

Una proposición condicional, es aquella que
está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p
y q. La cual se indica de la siguiente manera:

p ®
q Se lee "Si p entonces q"

Ejemplo.

El candidato del PRI dice "Si salgo electo presidente de
la República recibirán un 50% de aumento en su
sueldo el próximo año". Una declaración como
esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la
siguiente:

Sean

p: Salió electo Presidente de la
República.

q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el
próximo año.

De tal manera que el enunciado se puede expresar de las
siguiente manera.

p ®
q

Su tabla de verdad queda de la siguiente
manera:

La interpretación de los resultados de la tabla
es la siguiente:

Considere que se desea analizar si el candidato
presidencial mintió con la afirmación del enunciado
anterior. Cuando p=1; significa que salió electo, q=1 y
recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo tanto p
® q =1; significa
que el candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p=1
y q=0 significa que p ® q =0; el candidato mintió, ya que
salió electo y no se incrementaron los salarios. Cuando
p=0 y q=1 significa que aunque no salió electo hubo un
aumento del 50% en su salario, que
posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto;
tampoco mintió de tal forma que p ® q =1.

Proposición bicondicional.

Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar
la proposición bicondicinal de la siguiente
manera:

p «
q Se lee "p si solo si q"

Esto significa que p es verdadera si y solo si q es
también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q
también lo es. Ejemplo; el enunciado siguiente es una
proposición bicondicional

"Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de
diez"

Donde:

p: Es buen estudiante.

q: Tiene promedio de diez.

por lo tanto su tabla de verdad es.

A partir de este momento, ya se está en
condiciones de representar cualquier enunciado con conectores
lógicos.

Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado "Si no pago la luz, entonces me
cortarán la corriente
eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me
quedaré sin dinero o
pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido
prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy
desorganizado"

Donde:

p: Pago la luz.

q: Me cortarán la corriente
eléctrica.

r: Me quedaré sin dinero.

s: Pediré prestado.

t: Pagar la deuda.

w: soy desorganizado.

(p’ ® q) Ù [
p ®
(rÚ
s) ]
Ù [ (rÙ s) ® t’ ] «
w

Tablas de verdad.

En estos momentos ya se está en condiciones de
elaborar cualquier tabla de verdad. A continuación se
presenta un ejemplo para la proposición
[(p®
q)Ú
(q’Ù r) ] «
(r®
q).

El número de líneas de la tabla de verdad
depende del número de variables de
la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente
formula.

No de líneas = 2n Donde n =
número de variables distintas.

Es importante destacar a medida que se avanza en el
contenido del material el alumno deberá participar
activamente. Estos significa que cuando se esta definiendo
proposiciones y características propias de ellas,
además de los ejemplos que el maestro explique, el alumno
deberá citar proposiciones diferentes, deberá
entender el porque un enunciado no es válido. Cuando se
ven conectores lógicos, los alumnos deberán saber
emplearlos en la representación de proposiciones
más complejas. Pero algo muy importante, es que los
ejemplo que el maestro y los alumnos encuentren en la clase,
deben ser de interés
para el estudiante. Cuando se ven tablas de verdad el alumno
deberá saber perfectamente bien el porque de cada uno de
los resultados. En pocas palabras el
conocimiento deberá ser significativo.

Tautología y
contradicción.

Tautología, es aquella proposición
(compuesta) que es cierta para todos los valores de
verdad de sus variables. Un ejemplo típico es la
contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a
continuación.

Note que en las tautologías para todos los
valores de
verdad el resultado de la proposición es siempre 1. Las
tautologías son muy importantes en lógica
matemática ya que se consideran leyes en las
cuales nos podemos apoyar para realizar
demostraciones.

A continuación me permito citar una lista de las
tautologías más conocidas y reglas de inferencia de
mayor uso en las demostraciones formales que obviamente el autor
no consideró..

1.- Doble negación.

a). p''Ûp

2.- Leyes conmutativas.

a). (pÚq)Û(qÚp)

b). (pÙq)Û(qÙp)

c). (p«q)Û(q«p)

3.- Leyes asociativas.

a). [(pÚq)Úr]Û[pÚ(qÚr)]

b. [(pÙq)Ùr]Û[pÙ(qÙr)]

4.- Leyes distributivas.

a). [pÚ(qÙr)]Û[(pÚq)Ù(pÚr)]

b. [pÙ(qÚr)]Û[(pÙq)Ú(pÙr)]

5.- Leyes de idempotencia.

a). (pÚp)Ûp

b). (pÙp)Ûp

6.- Leyes de Morgan

a). (pÚq)'Û(p'Ùq')

b). (pÙq)'Û(p'Úq')

c). (pÚq)Û(p'Ùq')'

b). (pÙq)Û(p'Úq')'

7.- Contrapositiva.

a). (p®q)Û(q'®p')

8.- Implicación.

a). (p®q)Û(p'Úq)

b). (p®q)Û(pÙq')'

c). (pÚq)Û(p'®q)

d). (pÙq)Û(p®q')'

e). [(p®r)Ù(q®r)]Û[(pÙq)®r]

f). [(p®q)Ù(p®r)]Û[p®(qÙr)]

9.- Equivalencia

a). (p«q)Û[(p®q)Ù(q®p)]

10.- Adición.

a). pÞ(pÚq)

11.- Simplificación.

a). (pÙq)Þp

12.- Absurdo

a). (p®0)Þp'

13.- Modus ponens.

a). [pÙ(p®q)]Þq

14.- Modus tollens.

a). [(p®q)Ùq']Þp'

15.- Transitividad del «

a). [(p«q)Ù(q«r)]Þ(p«r)

16.- Transitividad del ®

a). [(p®q)Ù(q®r)]Þ(p®r)

17.- Mas implicaciones lógicas.

a). (p®q)Þ[(pÚr)®(qÚs)]

b). (p®q)Þ[(pÙr)®(qÙs)]

c). (p®q)Þ[(q®r)®(p®r)]

18.- Dilemas constructivos.

a). [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÚr)®(qÚs)]

b). [(p®q)Ù(r®s)]Þ[(pÙr)®(qÙs)]

Contradicción es aquella
proposición que siempre es falsa para todos los valores de
verdad, una de las mas usadas y mas sencilla es
pÙ
p’ . Como lo muestra su
correspondiente tabla de verdad.

Si en el ejemplo anterior

p: La puerta es verde.

La proposición pÙ p’ equivale a decir que "La
puerta es verde y la puerta no es verde". Por lo tanto se esta
contradiciendo o se dice que es una falacia.

Una proposición compuesta cuyos resultados en sus
deferentes líneas de la tabla de verdad, dan como
resultado 1s y 0s se le llama contingente.

Equivalencia lógica.

Se dice que dos proposiciones son lógicamente
equivalentes, o simplemente equivalentes. Si coinciden sus
resultados para los mismo valores de
verdad. Se indican como p º q.

Considero que un buen ejemplo es el que se
estableció para ilustrar la tautología en donde se
puede observar que las columnas de (p® q) y (q’® p’) para los mismo
valores de verdad, por lo tanto se puede establecer que
(p®
q) º
(q’®
p’)

Reglas de inferencia

Los argumentos basados en tautologías representan
métodos de razonamiento universalmente correctos. Su
validez depende solamente de la forma de las proposiciones que
intervienen y no de los valores de verdad de las variables que
contienen. A esos argumentos se les llama reglas de
inferencia. Las reglas de inferencia permiten relacionar dos
o más tautologías o hipótesis en una
demostración.

Ejemplo 1

¿Es valido el siguiente argumento?.

Si usted invierte en el mercado de
valores, entonces se hará rico.

Si se hace usted rico, entonces será
feliz.

____________________________________________________

Si
usted invierte en el mercado de
valores, entonces será feliz.

Sea:

p: Usted invierte en el mercado de
valores.

q: Se hará rico.

r: Será feliz

De tal manera que el enunciado anterior se puede
representar con notación lógica de la siguiente
manera:

p ®
q

q ®
r

______

p ®
r

Ejemplo 2.

¿Es valido el siguiente argumento?.

Si bajan los impuestos,
entonces se eleva el ingreso

El ingreso se eleva.

_________________________________________

Los impuestos
bajan

Solución:

Sea

p: Los impuestos bajan.

q: El ingreso se eleva.

p ®
q

q

_____

p

El aplicar la regla de inferencia es lo que le cuesta
más al alumno y se deberá poner mucha atención para que el alumno aprenda a
aplicar dicha regla.

En una demostración no solamente hay
tautologías e hipótesis, también existen reglas de
inferencia que permiten obtener nuevas líneas
válidas, esta es la parte en donde la mayoría de
alumnos tienen problemas y en donde no sabe que regla aplicar
para resolver un determinado problema. A continuación se
cita una lista de las principales reglas de inferencia que se
pueden aplicar en una demostración.

19.-
Adición 23.- Conjunción

p p

_______ q

pÚ
q _________

p Ù
q

20.- Simplificación 24.- Modus
pones

p Ù
q p

____________ p® q

p _________

q

21.- Silogismo disyuntivo 25.- Modus
tollens

pÚ
q p®
q

p’ q’

_________ ___________

q
p’

22.- Silogismo hipotético

p®
q

q® r

________

p® r

Métodos de demostración.

Demostración por el método
directo.

Supóngase que p® q es una tautología, en donde p y q
pueden ser proposiciones compuestas, en las que intervengan
cualquier número de variables propositvas, se dice que q
se desprende lógicamente de p. Supóngase una
implicación de la forma.

(p1 Ù p2 Ù …….Ù pn) Þ q

Es una tautología. Entonces está
implicación es verdadera sin importar los valores de
verdad de cualquiera de sus componentes. En este caso, se dice
que q se desprende lógicamente de p1,p2,……,pn. Se
escribe.

p1

p2

pn

___

q

Realmente el camino que se debe seguir para llevar a
cabo una demostración formal usando el método
directo. Significa que sí se sabe que p1 es verdadera, p2
es verdadera,…… y pn también es verdadera, entonces se
sabe que q es verdadera.

Prácticamente todos los teoremas
matemáticos están compuestos por implicaciones de
este tipo.

(p1 Ù
p2 Ù
…….Ù
pn) Þ
q

Donde la pi son llamadas hipótesis o
premisas, y q es llamada conclusión. "Demostrar el
teorema", es demostrar que la implicación es una
tautología. Note que no estamos tratando de demostrar que
q (la conclusión) es verdadera, sino solamente que q es
verdadera si todas las pi son verdaderas.

Toda demostración debe comenzar con las
hipótesis, seguidas de las tautologías y reglas de
inferencia necesarias, hasta llegar a la
conclusión.

A continuación se prueba un enunciado en donde se
puede apreciar el uso tanto de las tautologías como de las
reglas de inferencia.

Sean

p: Trabajo.

q: Ahorro.

r: Compraré una casa.

s: Podré guardar el coche en mi casa.

Analizar el siguiente argumento:

"Si trabajo o ahorro,
entonces compraré una casa. Si compro una casa, entonces
podré guardar el coche en mi casa. Por consiguiente, si no
puedo guardar el coche en mi casa, entonces no
ahorro".

El enunciado anterior se puede representar
como:

p Ú q ® r; y r ®
s; entonces s' ® q'

Equivale también a probar el siguiente
teorema:

[(p Ú q) ® r] Ù [r
® s] Þ [s' ®
q']

Como se trata de probar un teorema de la forma
general:

p1 Ù
p2 Ù……Ù
pn Þ q

Se aplica el procedimiento general para
demostración de enunciados válidos. A
continuación se demuestra el teorema respaldando cada uno
de sus pasos en tautologías o reglas de inferencia ya
conocidas.

1.- (p Ù q) ® r Hipótesis

2.- r ®
s Hipótesis

3.- q ® (q Ù p) Adición tautología
10

4.- q ® (p Ú q) 3; ley
conmutativa, regla 2

5.- q ® r 4,1; silogismo
hipotético, regla 22

6.- q ® s 5,2; regla 22

7.- s' ® q' 6;
contrapositiva, regla 7.

El enunciado es válido aunque la
conclusión puede ser falsa o verdadera.

Es recomendable numerar cada uno de los pasos. Se puede
notar que las primeras líneas son hipótesis, la
línea 3 es una tautología conocida y de la
línea 4 a 7 se obtuvieron aplicando reglas de inferencia.
Se indica la regla de inferencia aplicada por medio del
número de la derecha, y las líneas a las cuales se
les aplicó dicha regla de inferencia por medio de los
números de la izquierda.

El ejemplo anterior es una demostración sencilla,
pero puede ser tan complicada como sea necesario y el
método debe funcionar.

Demostración por
contradicción.

El procedimiento de la demostración por
contradicción es semejante a la que se realizó por
el método directo con la diferencia de que las
líneas iniciales de dicha demostración no son
únicamente las hipótesis, sino además se
incluye en la demostración una línea con la
negación de la conclusión. Por otro lado el
objetivo de la
demostración es llegar a una
contradicción.

La demostración del siguiente teorema por el
método de contradicción es como se
indica

[ p ® (p Ù r)
] Ù
[ (q Ú s) ® t ]
Ù (p Ú s) Þ
t

Demostración

1.- p ® (p Ù r) Hipótesis

2.- (q Ú s) ® t Hipótesis

3.- p Ú
s Hipótesis

4.- t’ Negación de la conclusión

5.- (qÚ s)’ 2,4;
Modus tollens, regla 25

6.- q’ Ù
s’ 5; Ley de Morgan,
6ª

7.- q’ 6; Simplificación, regla 20

8.- s’ Ù
q’ 6; Ley conmutativa, 2b

9.- s’ 8; Simplificación, regla 20

10.- sÚ p 3; Ley
conmutativa, 2ª

11.- p 10,9; Silogismo disyuntivo, regla 21

12.- q Ù r 11,1; Modus
ponens, regla 24

13.- q 12; Simplificación, regla 29

14.- q Ù q’ 13,7;
Conjunción, regla 23

15.- Contradicción.

Note que juntamente con las premisas se debe incluir la
negación de la conclusión. En este momento el
alumno ya tiene los elementos para llevar a cabo demostraciones
con el apoyo del maestro. Es conveniente plantear varios
enunciados, para que el alumno los represente con
simbología lógica en forma de teorema. Que ese
mismo teorema lo represente con su tabla de verdad y haga la
correspondiente demostración por los dos métodos
antes mencionados.

La forma en que el aprende a aplicar reglas de
inferencia es semejante a la manera en que deberá realizar
una factorización o una aplicación de una
fórmula en cálculo
diferencial o integral o la formula que debe aplicar para
resolver un problema en física. Lo que debe aprender es a
relacionar los distintos conocimientos para poder llegar a
la solución. Es importante mencionar que el camino que
debe seguir el alumno no es el mismo que el maestro siguió
sino uno distinto pero que ambos llegan al resultado.

Conclusiones.

La idea principal de este trabajo es que el alumno
aprenda el concepto de
proposición, la forma en que se pueden formar
proposiciones compuestas usando los conectores lógicos,
representar enunciados por medio de simbología
lógica, conocer los conceptos de tautología,
equivalencia lógica, regla de inferencia. Realizar
demostraciones de teoremas por medio del método directo y
contradicción. Pero con problemas que le sean familiares e
interesantes. Se trata de que en cada uno de los subtemas
participe proponiendo sus propios ejemplo y que sobre todo al
final de la unidad él tenga la habilidad, confianza e
iniciativa para inferir posibles soluciones.

Todo enunciado puede ser planteado en términos de
teoremas. Un teorema por lo general es resultado de un
planteamiento de un problema, este planteamiento debe tener el
siguiente formato.

(p1 Ù p2 Ù …….Ù pn) Þ
q

Como se establece p1, p2 ,……,pn son hipótesis
(o premisas) derivadas del
mismo problema y que se consideran válidas. Pero
además deberán conectarse con el operador And
(Ù ), lo
cual implica que p1 es cierta y (Ù ) p2 es verdad y (Ù )…… y pn
también es cierta entonces (Þ ) la conclusión (q) es
cierta. Para realizar la demostración formal del teorema
se deberá partir de las hipótesis, y después
obtener una serie de pasos que también deben ser
válidos, ya que son producto de
reglas de inferencia. Sin embargo no solamente las
hipótesis y reglas de inferencia pueden aparecer en una
demostración formal, sino también
tautologías conocidas. En el teorema anterior cada uno de
los pasos p1, p2,…pn son escalones que deberán
alcanzarse hasta llegar a la solución.

Lo mismo ocurre con todo tipo de problemas que se nos
presentan en la vida, antes de llegar a la solución
debemos alcanzar ciertas metas (p1,p2,….pn) hasta llegar al
objetivo o conclusión (q). Pero una vez que logramos el
objetivo debemos plantearnos nuevos objetivos que
nos permitirán superarnos.

Dependiendo del área de interés al
estudiante puede transportad dichos conocimientos, de tal manera
que le auxilien para entender y resolver otro tipo de problemas.
En el caso de computación cada línea de un programa se
obtiene inconcientemente aplicando una regla de inferencia y por
lo tanto cada instrucción tiene su orden en que debe de ir
colocada, si se cambia esa línea seguramente el resultado
ya no será igual. Pero hay tantas formas de resolver un
problema por medio de un programa como alumnos distintos tenga un
maestro.

Una demostración formal equivale a relacionar
esquemas para formar estructuras
cognitivas. Sí el alumno sabe inferir soluciones
lógicas, estará en condiciones de resolver todo
tipo de problemas.

Uno de los objetivos
principales del constructivismo,
es la construcción del conocimiento.
El tema de "lógica matemática", se presta para que
el alumno pueda realizar los relacionamientos entre las distintas
proposiciones, esto permite crear nuevas formas de resolver
problemas en distintas ramas: matemáticas, física,
química
pero también en las ciencias
sociales y por su puesto cualquier problema de la vida real.
Porque cada vez que nos enfrentamos a un problema, manipulamos la
información por medio de reglas de
inferencia que aunque no estén escritas debemos respetar.
Cada vez que realizamos una actividad empleamos la lógica
para realizarla, quizá algunos realicen dicha actividad
por caminos más corto, otros realizan recorridos
más largos, pero al fin de cuentas lo que
importa es llegar al resultado. Si se le da la confianza al
alumno para que cree e innove, su estructura
cognitiva seguramente va a crecer.

 Bibliografía.

José Alfredo Jiménez Murillo.
e-mail:

Ma. Aleida Hernández Yánez
e-mail:

Alumnos del Centro Interdisciplinario
De Investigación y Docencia en
Educación
Técnica (CIIDET)
Querétaro Qro. México.

Autor:

Jose Alfredo Jiménez